關(guān)于R-C-K模型中加入第三部門的探討

涂 涵

（北京大學(xué) 光華管理學(xué)院，北京 100871）

0 引言

為了全面考慮經(jīng)濟(jì)增長過程，必須考慮消費(fèi)路徑，同時放開儲蓄率外生給定的假設(shè)，允許家庭能夠自我決策。Ramsey-Cass-Koopmans增長模型（簡稱R-C-K模型）和Diamond世代重疊模型（Overlapping-Generations Model，簡稱OLG模型）就是如此。與Solow模型一樣，這兩個模型同樣假設(shè)外生給定的勞動力和知識的增長率，只是放開了儲蓄率外生給定的假設(shè)，改由微觀經(jīng)濟(jì)體——公司，通過在競爭市場中最大化利潤——和家庭，通過最大化一生效用來決定消費(fèi)和儲蓄，從而推導(dǎo)出資本積累方程和經(jīng)濟(jì)總量的動態(tài)變化。

新經(jīng)典增長理論的基本模型R-C-K模型和OLG模型，都只考慮了兩部門情形：企業(yè)和家庭。但是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)體除了分配有限資源給投資和私人消費(fèi)之外，還會分配給公共部門。美國2008年的財(cái)政支出達(dá)到了4.72萬億美元，占GDP的33.1%，比1972年的3555億美元（占GDP1.24萬億美元的28.71%）增長了1228%！平均年增長率高達(dá)34.11%，而且在36年內(nèi)一直持續(xù)快速穩(wěn)定地增長?？梢姮F(xiàn)實(shí)生活中，政府部門作為第三方，在生產(chǎn)、生活等經(jīng)濟(jì)活動中占有非常重要的地位。

本文將加入政府部門，考慮三部門情形，探討政府支出和稅收對R-C-K模型造成的影響。

1 R-C-K基本模型

考慮一個有大量相同企業(yè)和H個相同家庭的經(jīng)濟(jì)。每個企業(yè)擁有相同的生產(chǎn)技術(shù)Y=F(K,AL)，滿足一次齊次、單調(diào)遞增、Inada條件等假設(shè)。技術(shù)A和人口L的增長率外生，分別為。折舊δ=0。家庭的最優(yōu)化問題為最大化一生效用：

2 加入政府支出

假設(shè)政府每單位時間內(nèi)每單位有效勞動購買G(t)單位產(chǎn)出，并對家庭征收一次性稅收。政府收支平衡。

（1）假設(shè)政府支出不影響家庭的效用函數(shù)和未來產(chǎn)出（即不用于投資），也不改變?nèi)魏渭睢?/p>

對應(yīng)每一個k，由于政府支出G(t)，家庭消費(fèi)相應(yīng)減少G(t)，所以k'(t)=0的圖形向下移動。

因?yàn)閏的動態(tài)方程不變，c'(t)=0不移動，由f'(k*)=ρ+θg可知k*不變。由于k'(t)=0向下移動，而k不發(fā)生突變，所以c會有一個不連續(xù)的跳躍。如果c不跳到新的鞍點(diǎn)路徑上，經(jīng)濟(jì)將向左上方（c上升，k下降）或右下方（c下降，k上升）移動，都不滿足最優(yōu)化。所以c從原鞍點(diǎn)路徑直接跳到新鞍點(diǎn)路徑，c減小的幅度等于G增長的幅度。由于k*不變，實(shí)際利率r*=f'(k*)不變。

在這種情況中，G完全擠出了c，k不變，說明政府支出沒有擠出投資，這是由家庭的跨期最優(yōu)化選擇導(dǎo)致。

（2）假設(shè)政府支出G(t)不完全是公共消費(fèi)，而是分為公共消費(fèi)和公共投資兩部分，其中公共消費(fèi)所占比例為m(0≤m≤1)，公共投資占比1-m。

由于有1-m的政府支出投入到資本積累中，所以k的動態(tài)方程變?yōu)椋?/p>

資本積累方程中的漏出項(xiàng)由（1）中的G(t)減小為mG(t)，所以k'(t)=0的圖形同樣向下移動，但是幅度沒有（1）大，所以c1*＜c2*＜c*，k*不變，從而實(shí)際利率 r*=f'(k*)不變。G部分?jǐn)D出了c。

（3）上面假設(shè)政府支出不改變效用函數(shù)，現(xiàn)在假設(shè)政府支出與私人消費(fèi)完全替代，即效用函數(shù)變?yōu)椋?/p>

此時的最優(yōu)化問題變?yōu)椋?/p>

由于c(t)與G(t)完全替代，假設(shè)c(t)+G(t)=x(t)，x(t)代表總消費(fèi)。變形后的最優(yōu)化問題：

得到一階條件為：

資本積累方程仍為（2.5）：

假設(shè)政府有一個短暫的支出變化，t0時宣布從GL提高到GH，在t1時重新降低到GL。則在t0前和t1后使k'(t)=0的函數(shù)為c(t)=f(k(t))-GL-(n+g)k(t)，t0到t1之間為c(t)=f(k(t))-GH-(n+g)k(t)，即向下平移GH-GL。使c'(t)=0的方程仍為 f'(k(t))=ρ+θg，從而k*不變。

在這個假設(shè)下，即使政府支出重新降低到GL是可以預(yù)期的，c在t1時仍然會有一個跳躍，這與基本假設(shè)的結(jié)論不同。因?yàn)榇藭r假設(shè)消費(fèi)c和政府支出G在效用函數(shù)中是完全互補(bǔ)關(guān)系，如果在t1時c不發(fā)生跳躍，邊際效用則會有一個不連續(xù)的跳躍，與最優(yōu)化矛盾。所以在t0政府支出提高到GH時，c下降GH-GL，跳躍到新的鞍點(diǎn)路徑上，而在t1降低到GL時，c上升GH-GL，跳回到原來的鞍點(diǎn)路徑上。c+G保持不變。

預(yù)期的支出變化（anticipated change）和沒有預(yù)期到的支出變化（unanticipated change）對經(jīng)濟(jì)的影響相同，當(dāng)G變化時c同時發(fā)生方向相反、幅度相同的變化，跳躍到新的鞍點(diǎn)路徑。如果政府永久地提高支出，即t1趨于正無窮，那么c將會永久下降GH-GL，跳躍到新的鞍點(diǎn)路徑上。所以預(yù)期和沒有預(yù)期、暫時性和永久性的財(cái)政變化，對c和k的影響是一樣的。

3 資本稅收

3.1 稅率為τ的資本稅

假設(shè)政府宣布要對資本收入收取稅率為τ的資本稅，從而實(shí)際利率變?yōu)閞(t)=(1-τ)f–(k(t))。歐拉方程變?yōu)?/p>

從而使c'(t)=0的方程變?yōu)椋?/p>

由f’是減函數(shù)可知kN*＜k*，c'(t)=0的圖像向左移動。

3.1.1 政府把所收稅款以一次性轉(zhuǎn)移支付的形式返還給家庭

在這個假設(shè)下，k的積累方程為：

與沒有稅收時的情況（3.1.4）相同，圖像不發(fā)生移動。

k*由以往投資所決定，不能不連續(xù)地跳躍改變。如果在收稅時c不發(fā)生跳躍，則經(jīng)濟(jì)處于新的鞍點(diǎn)路徑下方，經(jīng)濟(jì)會向右下方（c下降，k上升）移動，資本將過度積累。如果c向下跳躍，則更加遠(yuǎn)離新的鞍點(diǎn)路徑，從而發(fā)散。所以c只能向上跳躍。在宣布收稅的同時，使得c'(t)=0的圖像向左移動，生成新的鞍點(diǎn)路徑，c從E向上跳躍直接到達(dá)新鞍點(diǎn)路徑上的A點(diǎn)，然后c和k沿新鞍點(diǎn)路徑移動到新平衡增長路徑EN。kN*＜k*，cN*＜c*，這是由于對資本收入收稅，投資對家庭的吸引力（實(shí)際利率）下降，導(dǎo)致儲蓄下降、消費(fèi)上升。但隨著投資的減少，資本積累減少，從而產(chǎn)出減少，導(dǎo)致消費(fèi)和儲蓄都減少，整個經(jīng)濟(jì)會下降到一個更低迷的狀態(tài)，即從E變到EN。

接下來假設(shè)有很多處于平衡增長路徑的同質(zhì)的經(jīng)濟(jì)體，家庭偏好相同（參數(shù)ρ、θ相同），但是每個國家的資本稅率τ有所不同。τ越高，資本收益對家庭的吸引力即實(shí)際利率越低，從而家庭的儲蓄動機(jī)也會越低，儲蓄越少，從而平衡增長路徑上的儲蓄率關(guān)于稅率遞減（具體證明略）。

那么生活在低稅率τ、高儲蓄、高k*國家中的人們有沒有向低儲蓄的國家投資的動機(jī)呢？因?yàn)楣と藗兊钠玫认嗤?，參?shù)ρ、θ、g相同，所以稅后資本回報(bào)率(1-τ)f'(k)=ρ+θg在不同國家之間是相同的，從而人們沒有動機(jī)向國外投資。

3.1.2 如果政府不把所收資本稅款以轉(zhuǎn)移支付的方式返還給家庭

如果政府不進(jìn)行轉(zhuǎn)移支付，歐拉方程仍如（1）中（10）式一樣：

而資本積累方程因?yàn)槁┏鲰?xiàng)增加了資本稅收而變成：最后一項(xiàng)就是資本稅收，在（1）中因?yàn)檎赞D(zhuǎn)移支付返還給家庭，該項(xiàng)被抵銷從而方程不變。所以資本稅收漏出使得k'(t)=0的圖像向下移動了τf'(k(t))k(t)的幅度。

同樣k*由歷史投資積累決定，不能不連續(xù)地跳躍改變。由于最優(yōu)化，c*可能會不連續(xù)地跳躍到新鞍點(diǎn)路徑上或者不跳躍，這就必須討論c*與新鞍點(diǎn)路徑的相對位置關(guān)系。如果c*處于新的鞍點(diǎn)路徑上，則無須跳躍，經(jīng)濟(jì)將沿新的鞍點(diǎn)路徑移動到新的平衡增長路徑上去；如果c*不在新的鞍點(diǎn)路徑上，那么c*會立刻跳躍到新鞍點(diǎn)路徑上，再沿著新的鞍點(diǎn)路徑移動到新的平衡增長路徑上去。同（1）一樣，新的平衡增長路徑的k*和c*都比不收稅時的k*和c*小。

3.1.3 預(yù)期的稅收變化和轉(zhuǎn)移支付

(1)永久的稅收

假設(shè)在t0時政府宣布從t1開始對資本收入收取稅率為τ的資本稅。從而實(shí)際利率變?yōu)閞(t)=(1-τ)f–(k(t))，在t1之前，c和k的動態(tài)方程為：

在t1之后，收稅使得c和k的動態(tài)方程變?yōu)椋?/p>

在t1開始收稅之后，c'(t)=0的圖像向左平移，k'(t)=0的圖像不動。

因?yàn)閠1時的稅收變化已經(jīng)確定，c不會有不連續(xù)的跳躍，否則與最優(yōu)化矛盾。在t0宣布政策時，c*會有一個跳躍，使得在t1時c是連續(xù)變化的。若c向下跳躍，則在t1之前，經(jīng)濟(jì)會向右下方（c減小，k增大）移動，資本過度積累；若c向上跳躍到D點(diǎn)或D點(diǎn)以上，在t1之前會繼續(xù)向左上方（c增大，k減小）移動，t1時一定會處于新鞍點(diǎn)路徑之上，t1時一定會有跳躍，與最優(yōu)化矛盾。所以c向上跳躍到D點(diǎn)與E點(diǎn)之間的某一點(diǎn)A；在t0到t1之間，動態(tài)方程仍是原來方程，所以c在t1之前會繼續(xù)向左上方（c增大，k減?。┮苿樱絫1時正好到達(dá)新鞍點(diǎn)路徑上的B點(diǎn)，此時新的c'(t)=0的圖像開始作用，經(jīng)濟(jì)沿新鞍點(diǎn)路徑移動到EN。

(2)暫時的稅收

假設(shè)在t0時政府宣布從t1到t2對資本收入收取稅率為τ的資本稅，在t1前和t2后不收稅。所以原始的動態(tài)方程為：

在收稅t1到t2期間，變?yōu)椋?/p>

從而在t1前和t2后，c'(t)=0的方程為 f'(k*)=ρ+θg；在t1到t2期間，c'(t)=0的方程為 f'(k*)=(ρ+θg)(1-τ)，向左平移。

由于該政策的稅收變化可以預(yù)期，在t1和t2兩個時點(diǎn)處c和k不會有不連續(xù)的跳躍，從而得知t2時經(jīng)濟(jì)處于原鞍點(diǎn)路徑上。通過分類討論可知在t0時c會向上跳躍到A，此時c'(t)=0,k'(t)＜0，k下降，經(jīng)濟(jì)向左上方（c增加，k減小）移動，在t1時到達(dá)B點(diǎn)。若B在新的鞍點(diǎn)路徑或上方，則在t2時必須有不連續(xù)的跳躍才能回到原鞍點(diǎn)路徑上，所以B一定在新的鞍點(diǎn)路徑下方。t1到t2期間由新的c'(t)=0,k'(t)＜0的方程即 f'(k*)=(ρ+θg)(1-τ) 決定動態(tài)變化，c和k都下降，向左下方移動。

若向左下方移動時穿過了新的c'(t)=0，那么經(jīng)濟(jì)會向左下方移動直至最后崩潰。所以經(jīng)濟(jì)不會穿過新的c'(t)=0。穿過k'(t)=0之后，在新的動態(tài)方程作用下c下降，k上升，向右下方移動，從而在t2時恰好到達(dá)原鞍點(diǎn)路徑上的點(diǎn)C。t2之后沿著原來的鞍點(diǎn)路徑移動到原來的平衡增長路徑E處。

3.1.4 未預(yù)期到的稅收變化和轉(zhuǎn)移支付

(1)永久的稅收

假設(shè)在t0時政府突然宣布開始對資本收入收取稅率為τ的資本稅。在t0前，c和k的動態(tài)方程與（16）相同，為：

在t0之后，由于開始收稅使得c和k的動態(tài)方程變?yōu)椋?/p>

在t0開始收稅之后，c'(t)=0的圖像向左平移，k'(t)=0的圖像不動。

由于這個變化是沒有預(yù)期到的，c在t0發(fā)生不連續(xù)的跳躍并不與最優(yōu)化矛盾。這種情況與（3.1.1）相同，由（3.1.1）可知，k在t0不變，c會向上跳躍到新鞍點(diǎn)路徑上，然后沿著鞍點(diǎn)路徑移動到新平衡增長路徑EN上。

(2)暫時的稅收

假設(shè)在t0時政府突然宣布從t0到t1對資本收入收取稅率為τ的資本稅，在t1之后不收稅。所以原始的動態(tài)方程為：

在收稅t0到t1期間，變?yōu)椋?/p>

從而在t0之前和t1之后，c'(t)=0的方程為 f'(k*)=ρ+θg；在t0到t1期間，c'(t)=0的方程為 f'(k*)=(ρ+θg)(1-τ)，向左平移。

由于在t0時能夠預(yù)期到t1的情況，不會有突變。通過分類討論知道在t0時c向上跳躍：如果跳到新鞍點(diǎn)路徑與c'(t)=0交叉的M點(diǎn)處，那么會沿著新鞍點(diǎn)路徑移動，在t1只有不連續(xù)的跳躍才能回到原鞍點(diǎn)路徑上，與最優(yōu)化和預(yù)期矛盾；如果跳到M點(diǎn)以上，那經(jīng)濟(jì)會一直在新的鞍點(diǎn)路徑以上，在t1時同樣必須有一個不連續(xù)的跳回到原鞍點(diǎn)路徑上的跳躍。所以c向上跳躍到E與M之間的某點(diǎn)A處。然后在新的動態(tài)方程的作用下，向左下方（c和k都下降）移動，移動路徑一直處于新的鞍點(diǎn)路徑之下。從上向下穿過k'(t)=0后，k增加從而向右下方移動。t1時恰好到達(dá)原鞍點(diǎn)路徑B，然后沿原鞍點(diǎn)路徑移動到原平衡增長路徑E上。

3.2 一次性稅收T

假設(shè)政府宣布收取一次性稅收T

（1）若政府以轉(zhuǎn)移支付返還給家庭，則動態(tài)方程均不發(fā)生變化，經(jīng)濟(jì)在平衡增長路徑不移動。

（2）若政府以公共消費(fèi)的方式使用了稅收，動態(tài)方程變?yōu)椋?/p>

此時k'(t)=0向下平移T，而c'(t)=0不動，故c向下跳躍到新平衡增長路徑上。

4 消費(fèi)稅τc

如果政府對家庭征收稅率為τc的消費(fèi)稅，那么家庭的最優(yōu)化問題變?yōu)椋?/p>

解出歐拉方程為：

與不征稅的情況一致。

由于消費(fèi)從c(t)增大到(1+τc)c(t)，經(jīng)濟(jì)中的漏出項(xiàng)增大，從而k的動態(tài)方程為：

使得k'(t)=0的函數(shù)為：

比原圖像向下平移。與有政府支出的R-C-K模型的相位圖擁有相似的動態(tài)變化。

5 結(jié)論與未來擴(kuò)展

政府支出和稅收作為經(jīng)濟(jì)中的漏出項(xiàng)，對c和k有一定的負(fù)面作用。但是瞬間的改變和之后的動態(tài)變化會因?yàn)檎С龊投愂盏目深A(yù)見性及是否轉(zhuǎn)移支付等而有所不同，具體情況需要具體分析?？偠灾?，隨著政府支出和稅收的增加，c和k呈下降趨勢。

本文只考慮了一次性稅收、資本稅和消費(fèi)稅，其他如個人所得稅、公司稅、財(cái)產(chǎn)和遺產(chǎn)稅等等很多稅收對經(jīng)濟(jì)中各個變量的動態(tài)變化和平衡增長路徑都會有相應(yīng)的影響和扭曲。其次，本文討論政府支出改變效用函數(shù)的情況，而沒有討論生產(chǎn)函數(shù)變化的情況。同效用函數(shù)一樣，政府支出、各種稅收也會對生產(chǎn)函數(shù)產(chǎn)生影響，從而對經(jīng)濟(jì)變量產(chǎn)生影響和扭曲。再次，投資的調(diào)整成本，或者把資本分為實(shí)物資本和人力資本分別加以討論，也會推導(dǎo)出不同結(jié)果。技術(shù)增長外生的不合理假設(shè)還能進(jìn)行修正和改善，20世紀(jì) 80年代中期以來,以Romer（1986）、Lucus(1988)等為代表的新增長理論就是進(jìn)一步將技術(shù)進(jìn)步內(nèi)生化，將技術(shù)外生增長的設(shè)定改為帶有內(nèi)生增長率的人力資本變量進(jìn)行分析。還可以考慮家庭偏好、各種增長率等參數(shù)變化，效用函數(shù)和生產(chǎn)函數(shù)形式的變化，以及市場不完全、信息不完全、壟斷等情況。

可以繼續(xù)推廣到四部門情形，即考慮開放市場，討論要素流動性，各國技術(shù)及增長率、人口及增長率、家庭偏好等重要參數(shù)的差異，和貿(mào)易摩擦、貿(mào)易壁壘、關(guān)稅等問題。

可以探討的內(nèi)容有無限可能性，一一分析是不現(xiàn)實(shí)的，而且模型會變得龐大和繁雜。最全面刻畫現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)的模型只有一個，就是現(xiàn)實(shí)自身，我們研究的理論模型都會有一些對真實(shí)經(jīng)濟(jì)簡化的假設(shè)。只要得出的結(jié)論對現(xiàn)實(shí)有一定的解釋力和指導(dǎo)性，我們所做的假設(shè)就是合理的。

[1]Barro，Robert J.,Sala-i-Martin，Xavier.Economic Growth[M].US：MIT Press，2003.

[2]Romer，David.Advanced Macroeconomics(3rdEdition)[M].US：Mc?Graw-Hill，2006.

[3]Mankiw，N.Gregory，Romer，David，Weil，David N.A Contribution to the Empirics of Economic Growth[J].The Quarterly Journal of Econom?ics，1992,107.

[4]謝拉·C·道.經(jīng)濟(jì)學(xué)方法論[M].上海：上海財(cái)經(jīng)大學(xué)出版社，2005.

[5]美國財(cái)政支出[EB/OL].http://www.heybrain.com/notheal/article/2909.

[6]鄒薇.宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京：中國社會科學(xué)出版社，2000.