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    耦合馬爾科夫鏈和伽馬分布函數(shù)的降水模擬模型及其應(yīng)用

    2012-10-17 02:42:36強,王
    黑龍江大學工程學報 2012年4期
    關(guān)鍵詞:伽瑪馬爾科夫降水量

    付 強,王 斌

    (東北農(nóng)業(yè)大學 水利與建筑學院,哈爾濱 150030)

    由于降水現(xiàn)象具有隨機性特點,在水文水利計算等科研實踐工作中,一般應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計方法研究降水現(xiàn)象,應(yīng)用這類方法的前提是降水資料的樣本系列較長。然而,我國大部分地區(qū)難以收集到長系列的降水數(shù)據(jù),其資料系列一般只有幾十年,且多以逐日數(shù)據(jù)為主。近些年來,各國學者均對降水的模型化和模擬化產(chǎn)生了濃厚的興趣,很通用的一種方法是采用馬爾科夫鏈和某種分布函數(shù)相結(jié)合的模型模擬逐日的降水過程,即用馬爾科夫鏈描述降水日的發(fā)生,再用選定的某種分布函數(shù)產(chǎn)生降水日的降水量[1-4]。本文應(yīng)用哈爾濱降水資料驗證這種延展降水系列的方法,以期為評估我國高寒區(qū)降水對農(nóng)業(yè)的影響、旱作區(qū)雨水的高效利用、制定合理的灌溉制度等方面提供科學依據(jù)。

    1 逐日降水的隨機模擬模型

    1.1 馬爾科夫鏈的兩狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

    大量研究表明,在一定的環(huán)境條件下,用一階馬爾科夫鏈描述降水的發(fā)生是簡單有效的,這種模型不僅能夠保持降水的很多重要特性,并且適用性也很好[5-8]。一階馬爾科夫鏈的兩狀態(tài)分別是降水日 (wet day)和非降水日 (dry day),狀態(tài)的轉(zhuǎn)換可以用兩個轉(zhuǎn)移概率來描述,即由降水日到降水日的轉(zhuǎn)移概率P (W/W)和由非降水日到降水日的轉(zhuǎn)移概率P (W/D)。Shu Geng等對7個站點降水數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)計分析,結(jié)果表明,在每個站點,各月份P (W/D)、P (W/W)均與同月降水日出現(xiàn)的頻率f間存在線性關(guān)系,尤其P (W/D)與f之間具有很強的相關(guān)性,可用下式表示[2]:

    式中f為某月降水日出現(xiàn)頻率的多年平均值,可根據(jù)實測降水資料推求;a、b為回歸系數(shù)。

    Shu Geng等發(fā)現(xiàn)利用式 (1)可以解釋各站點不同時間轉(zhuǎn)移概率總變異的96.5%,因此建議采用式 (3)、式 (4)推求轉(zhuǎn)移概率[2]:

    1.2 伽瑪分布及其參數(shù)

    如果連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為式 (5),則稱X服從伽瑪 (Gamma)分布:

    式中α為伽瑪分布的形狀參數(shù);β為伽瑪分布的尺度參數(shù)。

    設(shè)X為表示日降水量的隨機變量,當X服從伽瑪分布時,根據(jù)伽瑪分布函數(shù)的統(tǒng)計特性,參數(shù)α和β也可根據(jù)實測降水資料求得。Shu Geng等在分析各站點降水數(shù)據(jù)時還發(fā)現(xiàn),參數(shù)β與多年平均各月降水日的降水量之間也存在很強的線性關(guān)系,應(yīng)用7個站點的平均結(jié)果得到了式 (6)、式 (7),在不同地區(qū)和不同的月份間,利用該式也可以解釋96.5%總變異[2]:

    式中p為某月降水日降水量的多年平均值。

    1.3 逐日降水序列的產(chǎn)生

    當轉(zhuǎn)移概率和伽瑪分布參數(shù)確定以后,利用計算機產(chǎn)生 [0,1]區(qū)間上均勻分布的隨機數(shù),并將這個隨機數(shù)與P (W/D)和P (W/W)相比較,估計該日是否產(chǎn)生降水。對降水日降水量的模擬就是求出指定P所對應(yīng)的隨機變量X的取值xP,即求出的xP應(yīng)滿足F (X>xP)=P,亦即:

    當為降水日時,利用式 (8)通過數(shù)值積分即可求得降水日的降水量。

    2 模型應(yīng)用實例

    利用f和p估計轉(zhuǎn)移概率和伽瑪分布參數(shù),不僅簡化了逐日降水模擬模型,而且擴大了該模型的適用范圍。本文應(yīng)用哈爾濱1961~2008年的逐日降水數(shù)據(jù),檢驗該方法在我國高寒地區(qū)應(yīng)用的有效性。由于直接積分式 (8)非常繁雜,因此應(yīng)用Matlab軟件的伽瑪分布函數(shù) (GAMRND)實現(xiàn)式(8)的計算過程,即將α、β兩個參數(shù)提供給GAMRND函數(shù),令該函數(shù)產(chǎn)生服從伽瑪分布的隨機數(shù)列[3-4]。

    2.1 轉(zhuǎn)移概率和伽瑪分布參數(shù)的確定

    應(yīng)用哈爾濱48a的降水資料,統(tǒng)計出哈爾濱各月的P (W/D)、P (W/W)及f見圖1。由圖1可見,P (W/D)、P (W/W)與f的月份變化趨勢基本一致。統(tǒng)計分析結(jié)果表明,哈爾濱的P(W/D)、P (W/W)與f之間均存在很強的相關(guān)性,且P (W/D)與f之間的相關(guān)性更強,這與文獻 [2]的研究結(jié)論相同,P (W/D)、P (W/W)與f的回歸方程見式 (9)、式 (10):

    圖1 哈爾濱降水的轉(zhuǎn)移概率和降水日發(fā)生頻率Fig.1 Precipitation transition probability and occurrence frequency per day in Harbin

    根據(jù)哈爾濱48a實測降水資料,求得哈爾濱12個月份的α、β及p見圖2。由圖2可見,α與p間的月份變化趨勢差別很大,而β與p各月的變化趨勢基本一致。統(tǒng)計分析結(jié)果表明,哈爾濱的α與p之間的線性關(guān)系很差,但β與p之間具有很強的線性關(guān)系,這也與文獻 [2]的研究結(jié)論相同。β與p的回歸方程見式 (11):

    對比式 (9)、式 (10)與式 (3)、式 (4),以及式 (11)與式 (6)可以看出,應(yīng)用哈爾濱實測降水數(shù)據(jù)求得的回歸模型與文獻 [2]中建議的經(jīng)驗公式存在較大差別,但與文獻 [4]的研究結(jié)果相近。因此,即使在外國能適應(yīng)很大環(huán)境變化范圍的模型,卻不一定適合我國的部分地區(qū)。

    圖2 哈爾濱降水的伽瑪分布參數(shù)和降水日降水量Fig.2 Precipitation Gamma distribution parameters and daily precipitation in Harbin

    2.2 逐日降水過程模擬及分析

    以50、100、200、500、1 000a為模擬年限 (對于每種年限的模擬,均假設(shè)從一個非降水日開始),采取兩種方案模擬哈爾濱的逐日降水過程,兩種方案依次為:①統(tǒng)計分析實測降水數(shù)據(jù)直接確定P (W/D)、P (W/W)、α、β;②根據(jù)統(tǒng)計實測降水數(shù)據(jù)得到的f、p,再利用式 (9)、式 (10)、式 (11)、式(7)間接推求出P (W/D)、P (W/W)、α、β。模擬的月份平均結(jié)果見表1、表2,精度分析 (各月份的模擬數(shù)據(jù)與實測數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)r)見表3。

    表1 哈爾濱降水量模擬值Table 1 Precipitation simulation values in Harbin /mm

    表2 哈爾濱降水天數(shù)模擬值Table 2 Simulation value of precipitation day in Harbin /d

    表3 模擬值與觀測值的相關(guān)系數(shù)Table 3 The correlation coefficient between simulation values and observed values

    由表1~表3可見:對于不同模擬年限的降水系列,模型模擬的精度很高,不同模擬年限間的模擬結(jié)果間并無顯著差別。因此,根據(jù)實際需要,可以應(yīng)用上述方法,選擇一定的模擬年限模擬哈爾濱的逐日降水過程。對于哈爾濱周邊地區(qū),當降水資料不全時,如果能收集到該地區(qū)每月降水天數(shù)和降水量的多年平均值,即可確定f、p,利用式 (9)、式 (10)、式 (11)、式 (7)等即可模擬該地區(qū)的逐日降水過程。

    3 結(jié) 論

    哈爾濱的P (W/D)和P (W/W)與f之間,以及β與p之間均存在很強的線性關(guān)系,這與國外的研究結(jié)論相同,但建立的回歸模型系數(shù)與國外地區(qū)的經(jīng)驗公式差別較大,因此,在引進國外模型模擬逐日降水過程時,模型及其參數(shù)的有效性需要實地數(shù)據(jù)驗證。

    利用哈爾濱實測降水資料確定P (W/D)、P(W/W)、α、β后,應(yīng)用一階馬爾科夫鏈和伽瑪分布函數(shù)相結(jié)合的隨機模型可以模擬哈爾濱的逐日降水過程,模型的模擬精度很高;本文建立的3個回歸模型的R2>0.97,應(yīng)用此3個模型,也可為資料不全的哈爾濱周邊地區(qū)模擬逐日降水過程時提供參考。

    [1]Stern R.D.,Coe R.The use of rainfall models in agricultural planning [J].Agric.Meteorogy,1982,26:35-50.

    [2]Shu Geng,F(xiàn)rits W.T.Penning de Vries,Iwan Supit.A simple method for generating daily rainfall data [J].Agricultural and Forest Meteorology,1986,36:363-376.

    [3]王 斌,付 強,王 敏,等.幾種模擬逐日降水的分布函數(shù)比較分析 [J].數(shù)學的實踐與認識,2011,41 (9):128-133.Wang Bin,F(xiàn)u Qiang,Wang Min,et al.Comparative analysis on three distribution functions simulating daily rainfall [J].Mathematics in Practice and Theory,2011,41 (9):128-133.

    [4]王 斌,付 強,張金萍,等.逐日降水的隨機模擬模型及其在黑龍江省的應(yīng)用 [J].農(nóng)機化研究,2011,(9):65-69.Wang Bin,F(xiàn)u Qiang,Zhang Jinping,et al.Stochastic model of generating daily rainfall data and its application in Heilongjiang Province [J].Journal of Agricultural Mechanization Research,2011,(9):65-69.

    [5]Ahmed J.,Van Bavel,C.H.M.,et al.Optimization of crop irrigation strategy under a stochastic weather regime:a simulation study [J].Water Resour.Res.,1976,12:1 241-1 247.

    [6]Delleur J.W.,Kavvas M.L.Stochastic models for monthly rainfall forecasting and synthetic generation[J].J.AppL MeteoroL,1978,17:1 528-1 536.

    [7]Nicks A.D.,Harp J.F.Stochastic generation of temperature and solar radiation data [J].J.Hydrol.,1980,48:1-17.

    [8]Bruhn J.A.,F(xiàn)ry W.E.,F(xiàn)ick G.W.Simulation of daily weather data using theoretical probability distributions[J].J.Appl.Meteorol.,1980,19:1 029-1 036.

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