基于MATLAB的空間桁架梁的內(nèi)力分析計算

韓 剛，樊 濤，卜培培

(太原科技大學機械工程學院，太原 030024)

桁架梁的桿件由型鋼和鋼板組成，截面一般有槽形、工字形和箱形，常用鉚接或焊接成型，主要承受軸向力。桿件截面上應(yīng)力分布均勻，材料性能發(fā)揮好，從而節(jié)省材料，減輕結(jié)構(gòu)自重并具有較大的結(jié)構(gòu)剛度?？臻g桁架梁是由許多僅承受軸向力的桿件鉸接形成的一種空間結(jié)構(gòu)型式，具有材料省、自重輕、風阻小、造價低、便于空間幾何布置等特點，使得桁架梁成為建筑結(jié)構(gòu)和大型機械結(jié)構(gòu)中常見的結(jié)構(gòu)型式。此外，空間桁架梁的結(jié)構(gòu)布置靈活，對其結(jié)構(gòu)稍加調(diào)整便可適用于不同跨度和載荷的結(jié)構(gòu)支承。MATLAB是一種高效的工程計算仿真軟件，它將計算、參數(shù)化和可視化等功能集于一個簡單易用的操作界面環(huán)境中，大大地減少了計算量，提高了繪圖質(zhì)量，拓展了MATLAB在力學分析中的應(yīng)用范圍，在結(jié)構(gòu)力學計算和繪圖中具有普遍的適用性。

1 桁架梁結(jié)構(gòu)的力學分析

1.1 桁架梁結(jié)構(gòu)特點及其載荷分析

在鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計中，桁架梁結(jié)構(gòu)可分為平面桁架式、T形桁架式以及空間桁架式三種，每種桁架梁結(jié)構(gòu)根據(jù)其上下弦桿和腹桿的布置結(jié)構(gòu)又可分為不同的形式[1]。在工程實際中，進行空間桁架梁結(jié)構(gòu)力學分析時，考慮桁架梁桿件的內(nèi)力，上弦桿承受壓應(yīng)力，下弦桿承受拉應(yīng)力，腹桿成V字形的平行弦桿桁架結(jié)構(gòu)。

桁架梁桿件截面形式應(yīng)根據(jù)用材經(jīng)濟、連接構(gòu)造簡單且具有足夠的剛度等要求來確定?？臻g桁架梁在桿件截面型式的選擇時還要考慮桁架梁平面內(nèi)節(jié)點的連接和平面外結(jié)構(gòu)的連接。一般在節(jié)點處設(shè)置節(jié)點板，把交匯于節(jié)點的各桿件都與節(jié)點板相連接，形成桁架梁的節(jié)點，各力在節(jié)點板處互相平衡。本文擬研究的空間桁架梁，其上、下弦桿均為相同截面，并沿跨度全長連續(xù)直通，且以組成桿件的型鋼形心線作為桿件的軸線，如圖1所示。各個腹桿把其全部內(nèi)力N1、N2傳給節(jié)點板，而左右連續(xù)的弦桿則把左右節(jié)點間力N3、N4的內(nèi)力差△N傳給節(jié)點板。當弦桿上有集中力P時，則把△N和P的合力傳給節(jié)點板。

1.2 桁架梁桿件的內(nèi)力計算

圖1 有集中載荷的節(jié)點構(gòu)造圖Fig.1 The structure diagram of concentrated-load node

桁架梁的截面型式和主要參數(shù)確定之后，可根據(jù)載荷進行桁架梁的內(nèi)力分析。實際桁架梁結(jié)構(gòu)為空間結(jié)構(gòu)，常將空間結(jié)構(gòu)簡化成平面桁架來分析，而忽略各桁架之間的聯(lián)系，其計算精度通常能夠滿足工程要求，空間結(jié)構(gòu)的載荷則按照一定的規(guī)則分配到相應(yīng)平面桁架上由其獨立承擔[2]。為了簡化計算，將空間桁架梁按照載荷作用方向不同分別在各作用方向內(nèi)分解成獨立的桁架進行計算，最后再進行線性疊加。

在工程實際中采用以下假設(shè):①桁架梁中各個桿件都是直線型的;②各個桿件均采用光滑的鉸鏈連接;③桁架梁所受的載荷作用在各節(jié)點上，且分布在桁架平面內(nèi);④桁架梁桿件的重量平均分配在桿件兩端支座的鉸接點上。

將桁架梁從第一個節(jié)距截開，其受力圖如圖2所示。在工程實際中，為了計算方便和節(jié)省材料，桁架梁節(jié)距是幾個固定可選的整數(shù)，一般不可能是桁架梁總長L與節(jié)距個數(shù)n的比值，則桁架梁兩端的節(jié)距和其他段的節(jié)距不同。不失一般性，在計算時，將兩端節(jié)距定義為l1，第二段(不確定段)的長度定義為l2，第三段節(jié)距定義為l3，其余依次類推。

逐一計算桁架梁各桿件的內(nèi)力，為了計算表述方便，做以下定義:①桁架梁的上弦桿內(nèi)力定義為NiU，其節(jié)點上所受載荷定義為PiU，i為節(jié)距編號(i=1，2，…，n);②桁架梁的下弦桿內(nèi)力定義為 NiD，其節(jié)點上所受載荷定義為PiD;③桁架梁的斜桿內(nèi)力定義為Ni，④桁架梁的豎桿內(nèi)力定義為NiV;⑤桁架梁高度為h。

(1)取節(jié)距1部分為研究對象，桿件受力情況如圖2所示。力D1D、D1U的方向取為向左，即表示拉力。若計算結(jié)果為負值時，則表示壓力。

由圖中特殊形式節(jié)點的性質(zhì)可得

對力N1和N1U相交的節(jié)點取矩，有

圖2 節(jié)距1受力分析Fig.2 Force analysis of pitch 1

求得

由幾何關(guān)系，列力平衡協(xié)調(diào)方程:

求得:

(2)取節(jié)距2部分為研究對象，桿件受力情況如圖3所示。

圖3 節(jié)距2受力分析Fig.3 Force analysis of pitch 2

由圖3中特殊形式節(jié)點的性質(zhì)可得:

對N2和N2U相交的節(jié)點取矩，有:

由幾何關(guān)系，列力平衡協(xié)調(diào)方程:

求得:

依此類推，得到桁架梁內(nèi)力遞推過程，如表1所示。

表1 桁架梁內(nèi)力計算分析Tab.1 Internal force analysis of truss beam

總結(jié)表1，運用數(shù)學歸納法，得到如下遞推公式:

2 工程算例分析

快速準確地計算空間桁架梁結(jié)構(gòu)各桿件的受力情況，是進行結(jié)構(gòu)強度、剛度和穩(wěn)定性校核的基礎(chǔ)。對于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的空間桁架梁，用傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)力學計算方法進行各桿件受力分析相當繁瑣，現(xiàn)使用MATLAB仿真軟件進行求解計算。以某研究項目中的圓管帶式輸送機桁架梁為例進行分析。取一部分結(jié)構(gòu)為研究對象，為空間桁架梁結(jié)構(gòu)，簡化為平面桁架梁結(jié)構(gòu)來計算，建立簡支梁結(jié)構(gòu)模型。各桿件材料均為Q235鋼，桿件為角鋼。如圖4所示，求桁架梁結(jié)構(gòu)中各桿件在垂直載荷下的內(nèi)力。

參數(shù)條件:圓管帶式輸送機桁架梁節(jié)距個數(shù)n=20，梁高h=1200 mm，節(jié)間距l(xiāng)1=l20=531 mm，l2=l19=769 mm，其余段長度均為1200 mm，均布載荷PiD=PiU=1925 N，RB=40425 N.

圖4 單榀桁架梁結(jié)構(gòu)的受力示意圖Fig.4 Internal force analysis diagram of the single truss beam structure

圓管帶式輸送機桁架梁所承受的載荷較復(fù)雜，主要包括垂直方向載荷和水平方向載荷。垂直方向載荷主要考慮桁架梁(包括走臺)的自重載荷、輸送帶載荷、托輥窗載荷、物料載荷和冰雪載荷。

根據(jù)前述推導(dǎo)公式建立數(shù)學模式，編寫MATLAB程序，計算結(jié)果如表2所示。

表2 各桿件的內(nèi)力(單位:kN)Tab.2 Internal forces of each rod(unit:kN)

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，在MATLAB中使用plot命令繪制圖形，得到每個節(jié)距內(nèi)桿件內(nèi)力的分布情況，如圖5所示。

圖5 每個節(jié)距內(nèi)桿件的內(nèi)力分布Fig.5 The internal force distribution of each pitch in a rod

在本例中，MATLAB得到的結(jié)果和有限元計算數(shù)據(jù)吻合。上弦桿和下弦桿所承受的內(nèi)力大小都是中間大、兩頭小的對稱分布情況。實際上這也是均布載荷作用下簡支梁的彎矩效果，整個簡支梁結(jié)構(gòu)總體上看就像一根梁，梁的彎矩主要由上下弦桿的拉力和壓力來承受，這也從定性的角度證實了分析結(jié)果的正確性。

3 結(jié)論

從計算的結(jié)果可以看出，桁架梁斜腹桿在跨中位置的內(nèi)力最小，在桁架梁兩端的內(nèi)力最大，因考慮經(jīng)濟性，設(shè)計時常按照跨中載荷確定斜腹桿的截面尺寸，而將桁架梁兩端斜腹桿的截面選取大一個型號或采用雙截面形式布置。在本文的推導(dǎo)過程中，多次使用特殊節(jié)點中各種零桿的判別方法，綜合運用了節(jié)點法和截面法。使用遞推公式計算得到的數(shù)據(jù)正確，桁架梁內(nèi)力計算簡單方便?？茖W與工程實際中，常常需要處理大量的計算數(shù)據(jù)，結(jié)合數(shù)學軟件MATLAB輔助建模及計算，能使計算大大的簡化，并能達到目的。此外，還可以利用面向?qū)ο蟮腣C++界面來調(diào)用MATLAB程序，創(chuàng)建對話框，對整個桁架梁的力學分析過程進行參數(shù)化設(shè)計，實現(xiàn)可視化研究。

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