合金定向凝固一次枝晶間距模擬

張顯飛, 趙九洲

(1. 中國科學院 金屬研究所，沈陽 110016；2. 沈陽理工大學 材料科學與工程學院，沈陽 110159)

合金定向凝固一次枝晶間距模擬

張顯飛1,2, 趙九洲1

(1. 中國科學院 金屬研究所，沈陽 110016；2. 沈陽理工大學 材料科學與工程學院，沈陽 110159)

建立二元合金樹枝晶生長的二維元胞自動機模型，模擬丁二腈?2.5%(質(zhì)量分數(shù))乙醇定向凝固枝晶生長和一次枝晶間距選擇過程。模擬結(jié)果表明：在給定的凝固條件下，定向凝固一次枝晶間距可在一個范圍內(nèi)變化，其具體取值與凝固歷史具有相關性。在相同的溫度梯度和不同冷卻速度下，模擬給出的一次枝晶間距上、下限與實驗結(jié)果吻合較好，詳細分析影響定向凝固一次枝晶間距上下限的因素。結(jié)果表明：在給定凝固條件和合金系條件下，液相中無對流，影響一次枝晶間距上下限的主要因素是界面能和溶質(zhì)擴散系數(shù)。

合金；定向凝固；枝晶間距；元胞自動機；模擬

定向凝固一次枝晶間距一直是凝固理論研究的一個重要課題。許多研究結(jié)果表明定向凝固一次枝晶間距與凝固條件存在單值對應關系，即在一定的生長條件下，一次枝晶間距λ1是一個定值，λ1與凝固速度v和凝固界面前沿溫度梯度G間滿足函數(shù)關系λ1∝v-aG-b[1?9]。然而，一些定向凝固實驗卻表明，一次枝晶間距與穩(wěn)態(tài)凝固時的凝固條件并非一一對應，而是可以在一定范圍內(nèi)變化，具體取值與枝晶達到穩(wěn)態(tài)生長的過程有關，即一次枝晶間距具有歷史相關性[10?13]。WARREN和LANGER[14]以及HUNT和LU等[15]分別分析了枝晶列的穩(wěn)定性，分析結(jié)果也表明穩(wěn)態(tài)一次枝晶間距存在一個范圍。HUNT和LU等[15]根據(jù)枝晶間溶質(zhì)流的方向確定了定向凝固一次枝晶間距的下限，上限取為下限的兩倍。

近年來，樹枝晶生長的數(shù)值模型發(fā)展很快，元胞自動機(CA)方法是廣泛應用的數(shù)值模型之一。RAPPAZ和GANDIN[16]最早用CA方法研究了等溫場內(nèi)凝固組織形成過程。GANDIN和RAPPAZ[17]將元胞自動機模型與有限元方法相耦合，建立了CA-FE模型，實現(xiàn)了對二維非等溫度場內(nèi)凝固組織形成過程的模擬。SPITTLE和BROWN[18]將元胞自動機與有限差分方法相耦合，建立了CA-FD模型，模擬研究了柱狀晶生長過程。NASTAC[19]耦合了溫度場、濃度場計算，用界面溶質(zhì)守恒方法計算固/液界面生長速度，模擬了單個枝晶和小型定向凝固組織。ZHU等[20]發(fā)展了MCA模型，計算了固相和液相的濃度場，考慮了曲率過冷和界面溶質(zhì)再分配，模擬了等軸晶、定向凝固柱狀晶組織。元胞自動機模型可以很好地模擬枝晶的分枝結(jié)構(gòu)，可用來模擬定向凝固一次枝晶間距選擇。WANG等[21]模擬了鎳基單晶高溫合金的枝晶生長，考慮了成分過冷和曲率過冷，成功模擬了定向凝固一次枝晶間距的上下限形成過程。單博煒等[22]模擬了丁二腈?2.5%(質(zhì)量分數(shù))乙醇合金定向凝固一次枝晶間距的上下限，在處理一次枝晶間距選擇范圍的問題時關注更具物理意義的單個枝晶間距的選擇行為，通過對模擬結(jié)果的擬合得到了定向凝固一次枝晶間距的上下限，模擬結(jié)果與實驗結(jié)果吻合較好。但是沒有考慮界面能的各向異性。

本文作者應用元胞自動機模型模擬了丁二腈?2.5%(質(zhì)量分數(shù))乙醇定向凝固一次枝晶間距選擇過程，分析了影響定向凝固一次枝晶間距范圍的因素。

1 模型及數(shù)值算法

假設液相無對流，溶質(zhì)傳輸由擴撒控制，液相溶質(zhì)濃度場控制方程為

式中：cl為液相溶質(zhì)濃度；t為時間；Dl為液相溶質(zhì)擴散系數(shù)；為固/液界面固相溶質(zhì)濃度；φs為界面元胞固相分數(shù)。式中右邊第二項表示因固/液界面推進而排出的溶質(zhì)量。

假設固/液界面處于平衡態(tài)，固/液界面液相溶質(zhì)濃度和固相溶質(zhì)濃度為

式中：c0為初始液相溶質(zhì)濃度；T*為固/液界面溫度；Teq為初始熔體平衡液相線溫度；ml為平衡液相線斜率，假定為常數(shù)；Γ為Gibbs–Thomson系數(shù)；k0為平衡溶質(zhì)分配系數(shù)；θ為擇優(yōu)生長方向與x軸的夾角；φ為界面法向與x軸的夾角[23]，如圖1所示；f(φ,θ)為各向異性函數(shù)[24]；ε為界面能各向異性強度；為固/液界面平均曲率[25]；?s為元胞尺寸；N為鄰近元胞數(shù)，取近鄰和次近鄰作為鄰近元胞，N=8；φsk為鄰近元胞固相分數(shù)；k為第k個鄰近元胞。

根據(jù)固/液界面處溶質(zhì)守恒關系計算界面法向生長速度vn[23]。

固/液界面元胞固相分數(shù)可用下式計算：

式中：S為固/液界面沿法向方向在界面元胞內(nèi)掃過的面積，如圖1所示；Scell為界面元胞的總面積。

圖1 固/液界面元胞固相分數(shù)算法示意圖Fig. 1 Schematic diagram of algorithm for solid fraction of interfacial cell

2 結(jié)果及討論

2.1 一次枝晶間距的歷史相關性

對丁二腈?2.5%乙醇的凝固過程進行了模擬研究。丁二腈?2.5%乙醇的熱物性參數(shù)見表1。模擬針對HUANG等[10]所用的定向凝固實驗條件：凝固界面前沿熔體的溫度梯度G=10.8 K/mm、冷卻速率為0.54 K/s(對應的穩(wěn)態(tài)凝固速度為v=50 μm/s)。模擬區(qū)域?qū)挾?垂直于凝固方向)為3 mm。模擬考察了不同初始枝晶數(shù)目(n)條件下定向凝固組織演變過程，結(jié)果示于圖2?？梢姡攏≤13時，在兩個初始一次枝晶間均形成新的一次枝晶，穩(wěn)態(tài)生長時的一次枝晶間距小于初始一次枝晶間距；當33≥n≥14時，在初始的一次枝晶間沒有新的一次枝晶形成，穩(wěn)態(tài)生長時的一次枝晶間距與初始一次枝晶間距相同；當n≥34時，初始一次枝晶發(fā)生間湮沒現(xiàn)象，穩(wěn)態(tài)生長時的一次枝晶間距大于初始一次枝晶間距。這些結(jié)果表明，在給定的凝固條件下，穩(wěn)態(tài)生長一次枝晶間距與初始一次枝晶間距(取決于初始形核過程，具有一定的隨機性)有關，可在一定范圍內(nèi)變化(見圖3)，即一次枝晶間距與初始一次間距不具備一一對應關系。這一現(xiàn)象可如下解釋：當兩個一次枝晶的間距過大時，通常通過分枝的機制對間距進行調(diào)整。兩個一次枝晶間能否形成新的一次枝晶取決于兩方面因素：1)固/液界面的穩(wěn)定性；2)一次枝晶間液相成分過冷情況。這兩個方面均與兩個原始枝晶的間距有關。圖4所示為兩個一次枝晶間的凝固界面能否失穩(wěn)并成長成一個新的枝晶與兩個原始枝晶間距之間的關系。當兩個枝晶間間距較小時(λ12)，兩個一次枝晶周圍的溶質(zhì)濃度場相互疊加，枝晶間液相沿凝固方向的溶質(zhì)濃度梯度較小，不足以在兩個一次枝晶間的液相內(nèi)造成成分過冷區(qū)，因此，界面保持穩(wěn)定，沒有新枝晶的形成；當兩個枝晶間間距增加至λ23時，兩個一次枝晶周圍的溶質(zhì)濃度場交疊程度下降，枝晶間液相沿凝固方向的溶質(zhì)濃度梯度增加，一次枝晶間液相內(nèi)出現(xiàn)了成分過冷區(qū)，因此，界面失穩(wěn)，形成凸起，但在凸起長大過程中，凸起尖端排出的溶質(zhì)向外擴散困難，造成在凸起尖端處液相出現(xiàn)較高的溶質(zhì)富集，使凸起尖端過冷度趨向于0，凸起不能繼續(xù)長大形成一次枝晶；當兩個枝晶間間距增加至λ34時，兩個一次枝晶周圍的溶質(zhì)濃度場交疊程度大幅度下降，甚至沒有交疊，枝晶間液相沿凝固方向的溶質(zhì)濃度梯度和成分過冷區(qū)進一步增加，界面失穩(wěn)，形成凸起，并且在凸起長大過程中，排出的溶質(zhì)能順暢地向遠處擴散傳輸，凸起逐漸長成一次枝晶。由此可見，在給定凝固條件下，存在著一個臨界的一次枝晶間距，當兩個枝晶間的間距大于臨界枝晶間距時，枝晶間可以形成新的一次枝晶，使枝晶間距減?。划攦蓚€枝晶間的間距小于臨界枝晶間距(即枝晶間距在λ12～λ34之間)時，枝晶間不能生成形成新的一次枝晶，即一次枝晶間距可在一定范圍內(nèi)變化，具體取值與凝固時枝晶形成的歷史有關。

表1 丁二腈?乙醇的熱物性參數(shù)Table 1 Thermophysical properties of succinonitrile-2.5% ethanol

圖2 不同初始枝晶條件下丁二腈?2.5%乙醇定向凝固達到穩(wěn)態(tài)時的枝晶列Fig. 2 Steady state dendrite arrays in directionally solidified succinonitrile-2.5% ethanol sample with different initial dendrite seeds number (n) (Temperature gradient in front of solidification interface is 10.8 K/mm. Sample were solidified at rate of 50 μm/s): (a)n=8; (b)n=13; (c)n=14; (d)n=25; (e)n=33; (f)n=34)

圖3 穩(wěn)態(tài)生長時的一次枝晶間距與初始一次枝晶間距的關系Fig. 3 Relationship between stable-steady spacing and initial dendrite spacing

圖4 不同一次枝晶間距條件下枝晶間熔體的成分過冷及新枝晶的形成過程示意圖Fig. 4 Schematic diagrams of constitutional undercooling of liquid between two dendrites of different spacing and possibility to form new dendrite between two original dendrites (Dash-dot lines are temperature profile, solid lines indicate liquidus temperature, dashed lines are concentration of liquid, cross hatched region is constitutional undercooling zone,t1＜t2＜t3)

由上述分析可知，凡是影響固/液界面穩(wěn)定性和濃度場的因素，均會影響一次枝晶間距的上、下限。對于給定的合金和凝固條件，在沒有對流的條件下，影響一次枝晶間距上、下限的因素主要有溶質(zhì)擴散系數(shù)和固/液界面能。溶質(zhì)擴散系數(shù)越小，一個枝晶周圍的溶質(zhì)濃度場梯度越高、影響范圍越小，兩個相鄰枝晶周圍的濃度場只有在較小的枝晶間距條件下才能發(fā)生交疊，因此，一次枝晶間距上、下限越小。由固/液界面穩(wěn)定性的動力學理論可知[29]，固/液界面能有利于固/液界面的穩(wěn)定，即隨著固/液界面能的增加，界面失穩(wěn)的臨界過冷度增加。由此可以推斷，在其它條件都不變時，隨著固/液界面能的增加，枝晶間距的上、下限增大。

為了證明以上分析，通過假定不同的固/液界面能,模擬計算了定向凝固二腈?2.5%乙醇一次枝晶間距的上、下限隨固/液界面能的變化關系，結(jié)果示于圖5。由圖5可見，枝晶間距的上、下限隨著固/液界面能的增加而增大。

圖5 溫度梯度為10.8 K/mm和凝固速度為50 μm/s時定向凝固二腈?2.5%乙醇試樣中一次枝晶間距上、下限隨固/液界面能(σsl)的變化關系Fig. 5 Variation of simulated upper (λmax) and lower (λmin) limits of primary dendrite spacing in directionally solidified succinonitrile-2.5% ethanol sample with solid/liquid interface energy (Temperature gradient in front of solidification interface is 10.8 K/mm, samples were solidified at rate of 50 μm/s)

2.2 一次枝晶間距的上、下限與凝固速度間關系

上述分析表明，在給定的凝固條件下，存在一個最大臨界間距λmax或最小臨界枝晶密度nmin(單位長度內(nèi)一次枝晶的數(shù)目，λmax=1/(nmin?1))，當n=nmin時，會有新的一次枝晶生成；n=nmin+1時，沒有新的一次枝晶形成，則一次枝晶間距上限λmax應滿足：1/nmin＜λmax＜1/(nmin?1)。同樣，在給定的凝固條件下，存在一個最小臨界間距λmin或最大臨界枝晶密度nmax，當n=nmax時，一次枝晶穩(wěn)定生長，沒有一次枝晶湮沒現(xiàn)象；當n=nmax+1時，發(fā)生一次枝晶湮沒現(xiàn)象，則一次枝晶間距下限λmin應滿足：1/nmin＜λmin＜1/(nmin?1)。據(jù)此，在模擬計算中，可以通過逐漸增加一次枝晶的密度來確定給定凝固條件下一次枝晶間距的上、下限。

針對HUANG等[10]的定向凝固實驗條件，模擬計算了丁二腈?乙醇定向凝固一次枝晶間距上、下限與凝固速度間的關系，模擬結(jié)果示于圖6?？梢娔M結(jié)果與實驗結(jié)果吻合得很好。通常一次枝晶間距與凝固速度間的關系可用冪函數(shù)表示：λmax=av-b，λmin=a′v-b′[10]。將模擬結(jié)果進一步整理，對丁二腈?2.5%乙醇，溫度梯度為10.8 K/mm時，定向凝固一次枝晶間距上、下限與凝固速度間滿足：

HUANG等[10]的實驗表明，b=0.430，b′=0.254，可見本研究的模擬結(jié)果與實驗結(jié)果十分接近，上限與實驗結(jié)果的吻合程度要優(yōu)于單博煒等的模擬結(jié)果。

圖6 定向凝固丁二腈?2.5%乙醇試樣中一次枝晶間距上、下限與凝固速度間關系Fig. 6 Relationship between upper and lower limits of primary dendrite spacing in directionally solidified succinonitrile-2.5% ethanol sample and solidification rate (Temperature gradient in front of solidification interface is 10.8 K/mm)

3 結(jié)論

1) 用元胞自動機方法模擬了丁二腈?2.5%乙醇合金定向凝固組織形成過程。結(jié)果表明：在給定凝固條件下，一次枝晶間距可在一定范圍內(nèi)變化，即穩(wěn)態(tài)凝固一次枝晶間距與凝固歷史具有相關性。

2) 凡是影響固/液界面穩(wěn)定性和濃度場的因素，均影響一次枝晶間距的上、下限。對于給定合金和凝固條件，在沒有對流的條件下，影響一次枝晶間距上、下限的因素主要為溶質(zhì)擴散系數(shù)和固/液界面能。

REFERENCES

[1]HUNT J D. Solidification and casting of metals[M]. London: The Metal Society, 1979: 3.

[2]KURZ W, FISHER D J. Dendrite growth at the limit of stability: tip radius and spacing[J]. Acta Metallurgica, 1981, 29: 11?20.

[3]TRIVEDI R. Interdendritic spacing: Part Ⅱ. A comparison of theory and experiment[J]. Metallurgical Transactions A, 1984, 15(6): 977?982.

[4]KAYA H, ?ADIRLI E, KESLIOGLU K, MARA?LI N. Dependency of the dendritic arm spacings and tip radius on the growth rate and composition in the directionally solidified succinonitrile-carbon tetra bromide alloys[J]. Journal of Crystal Growth, 2005, 276: 583?593.

[5]GüNDüZ M, ?ADIRLI E. Directional solidification of aluminium-copper alloys[J]. Materials Science and Engineering A, 2002, 327: 167?185.

[6]QU M, LIU L, TANG F T, ZHANG J, FU H Z. Effect of sample diameter on primary dendrite spacing of directionally solidified Al-4%Cu alloy[J]. Transactions of Nonferrous Metals Society of China, 2009, 19(1): 1?8.

[7]HU X W, LI S M, CHEN W J, GAO S F, LIU L, FU H Z. Primary dendrite arm spacing during unidirectional solidification of Pb-Bi peritectic alloys[J]. Journal of Alloys and Compounds, 2006, 484: 631?636.

[8]司乃潮, 許能俊, 司松海, 李達云, 史 劍. 溫度梯度對定向凝固Al-4.5%Cu合金一次枝晶間距的影響[J]. 材料工程，2011(4): 75?79. SI Nai-chao, XU Neng-jun, SI Song-hai, LI Da-yun, SHI Jian. Effect of temperature gradient on primary dendrite spacing during directional solidification of Al-4.5%Cu Alloy[J]. Journal of Materials Engineering, 2011(4): 75?79.

[9]司乃潮, 史 劍, 司松海, 李達云, 許能俊. 晶體生長速率對定向凝固Al-4.5%Cu合金一次枝晶間距的影響[J]. 鑄造, 2010, 59(11): 1172?1177. SI Nai-chao, SHI Jian, SI Song-Hai, LI Da-yun, XU Neng-jun. Effect of crystal growth rate on primary dendritic spacing for Al-4.5%Cu alloy during directional solidification[J]. Foundry, 2010, 59(11): 1172?1177.

[10]HUANG W D, GENG X G, ZHOU Y H. Primary spacing selection of constrained dendritic growth[J]. Journal of Crystal Growth, 1993, 134: 105?115.

[11]LIN X, HUANG W, FENG J, LI T, ZHOU Y. History-dependent selection of primary cellular/dendritic spacing during unidirectional solidification in aluminium alloys[J]. Acta Materialia, 1999, 47(11): 3271?3280.

[12]丁國陸, 林 鑫, 黃衛(wèi)東, 周堯和. 定向凝固一次枝晶的歷史相關性[J]. 金屬學報, 1995, 31(10): 469?474. DING Guo-lu, LIN Xin, HUANG Wei-dong, ZHOU Yao-he. History dependence of primary dendritic spacing during unidirectional solidification[J]. Acta Metallurgica Sinica, 1995, 31(10): 469?474.

[13]üSTüN E, ?ADIRLI E, KAYA H. Dendritic solidification and characterization of a succinonitrile-acetone alloy[J]. Journal of Physics: Condensed Matter, 2006, 18: 7825?7839.

[14]WARREN J A, LANGER J S. Prediction of dendritic spacings in a directional-solidification experiment[J]. Physical Review E, 1993, 47(4): 2702?2712.

[15]HUNT J D, LU S Z. Numerical modeling of cellular/dendritic array growth: spacing and structure predictions[J]. Metallurgical and Materials Transactions A, 1996, 27: 611?623.

[16]RAPPAZ M, GANDIN C H A. Probabilistic modelling of microstructure formation in solidification processes[J]. Acta Metallurgica et Materialia, 1993, 41(2): 345?360.

[17]GANDIN Ch A, RAPPAZ M. A coupled finite element-cellular automaton model for the prediction of dendritic grain structures in solidification processes[J]. Acta Materialia, 1994, 42(7): 2233?2246.

[18]SPITTLE A, BROWN S G R. A cellular automaton model of steady-state columnar-dendritic growth in binary alloys[J]. Journal of Materials Science, 1995, 30: 3989?3994.

[19]NASTAC L. Numerical modeling of solidificaiton morphologies and segregation patterns in cast dendritic alloys[J]. Acta Materialia, 1999, 47(17): 4253?4262.

[20]ZHU M F, CAO W, CHEN S L, HONG C P, CHANG Y A. Modeling of microstructure and microsegregation in solidification of multi-component alloys[J]. Journal of Phase Equilibria and Diffusion, 2007, 289(1): 130?138.

[21]WANG W, LEE P D, MCLEAN M. A model of solidification microstructures in nickel-based superalloys: predicting primary dendrite spacing selection[J]. Acta Materialia, 2003, 51(10): 2971?2987.

[22]單博煒, 黃衛(wèi)東, 林 鑫, 魏 雷. 元胞自動機模型模擬枝晶一次間距的選擇[J]. 金屬學報, 2008, 44(9): 1042?1050. SHAN Bo-wei, HUANG Wei-dong, LIN Xin,WEI Lei. Dendrite primary spacing selection simulation by the cellular automaton model[J]. Acta Metallurgica Sinica, 2008, 44(9): 1042?1050.

[23]LAZARO B S, STEFANESCU D M. A quantitative dendrite growth model and analysis of stability concepts[J]. Metallurgical and Materials Transactions A, 2004, 35: 2471?2485.

[24]DANTZIG J A, RAPPAZ M. Solidification[M]. Lausanne: EPFL Press, 2009: 290.

[25]SASIKUMAR R, SREENIVASAN R. Two dimensional simulation of dendrite morphology[J]. Acta Metallurgica et Materialia, 1994, 42: 2381?2386.

[26]GLICKSMAN M E, SCHAEFER R J, AYERS J D. Dendritic growth-a test of theory[J]. Metallurgical Transactions A, 1976, 7(11): 1747?1759.

[27]SCHAEFER R J, CORIELL S R. Convection-induced distortion of a solid-liquid interface[J]. Metallurgical Transactions A, 1984, 15(10): 2109?2115.

[28]CHEN Z, CHENG C L, HAO L M. Numerical simulation for isothermal dendritic growth of succinonitrile-acetone alloy[J]. Transactions of Nonferrous Metals Society of China, 2008, 18: 654?659.

[29]KURZ W, FISHER D J. 凝固原理[M]. 包協(xié)民, 包冠乾, 譯.西安: 西北工業(yè)大學出版社, 1987: 190. KURZ W, FISHER D J. Fundamentals of solidification[M]. BAO Xie-min, BAO Guan-qian, transl. Xi’an: Northwestern Polytechnical University Press, 1987: 190.

(編輯 李艷紅)

Simulation of primary dendrite spacing in unidirectionally solidified alloy

ZHANG Xian-fei1,2, ZHAO Jiu-zhou1
(1. Institute of Metal Research, Chinese Academy of Sciences, Shenyang 110016, China；2. School of Materials Science and Engineering, Shenyang Ligong University, Shenyang 110159, China)

A two-dimensional cellular automaton model for simulation of dendritic growth during solidification of binary alloy was built. The microstructural evolution in a directionally solidified succinonitile-2.5% (mass fraction) ethanol alloy was simulated. The results show that the primary dendrite spacing may vary in a range under a given solidification condition. Its value depends on the solidification history of the sample. The calculated upper and lower limits of primary dendrite spacing at different cooling rates are in good agreement with the experimental results. The effect factors of the solidification history dependence of the primary dendritic spacing were analyzed in detail. It indicates that the interfacial energy and the solute diffusion coefficients are the main factors if there is no convection in the liquid phase.

alloy; directional solidification; primary dendrite spacing; cellular automaton; simulation

TG111.4

A

國家自然科學基金資助項目(51071159, 51031003, u0837601)

2011-09-07；

2011-12-27

趙九洲，研究員，博士；電話：024-23971918；E-mail: jzzhao@imr.ac.cn

1004-0609(2012)10-2868-07