兩種IGS精密星歷多項(xiàng)式插值方法的比較分析

劉剛，邵楠

(1.重慶市勘測(cè)院，重慶 400020; 2.沈陽(yáng)市勘察測(cè)繪研究院，遼寧 沈陽(yáng) 110004)

1 引言

利用IGS提供的精密星歷和鐘差參數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)高精度的定位。IGS發(fā)布的SP3格式的精密星歷通常給出的是15 min或者5 min等間隔的衛(wèi)星位置和鐘差信息，而在實(shí)際應(yīng)用中可能需要任意歷元時(shí)刻的位置和鐘差信息，這就需要利用精密星歷提供的等間隔時(shí)刻的信息進(jìn)行內(nèi)插方法得到特定的歷元時(shí)刻的衛(wèi)星位置和鐘差，然后再進(jìn)行后續(xù)的計(jì)算。因此，高精度、快速實(shí)現(xiàn)對(duì)精密星歷和鐘差的內(nèi)插或擬合就成為了GPS數(shù)據(jù)處理中的一項(xiàng)基礎(chǔ)而重要的內(nèi)容。

用于內(nèi)插的方法有很多種，包括:切比雪夫多項(xiàng)式插值、拉格朗日多項(xiàng)式插值、牛頓多項(xiàng)式插值、三角函數(shù)多項(xiàng)式插值等。目前在GPS數(shù)據(jù)處理中，應(yīng)用比較多的是拉格朗日多項(xiàng)式插值和切比雪夫多項(xiàng)式插值。本文首先對(duì)這兩種插值方法進(jìn)行了介紹，然后通過(guò)自編程序?qū)崿F(xiàn)了這兩種插值方法并對(duì)兩種插值方法的結(jié)果進(jìn)行比較分析。

2 切比雪夫多項(xiàng)式插值與拉格朗日多項(xiàng)式插值

2.1 切比雪夫多項(xiàng)式插值

切比雪夫多項(xiàng)式擬合就是根據(jù)給定的數(shù)據(jù)擬合出一個(gè)函數(shù)，使其在給定點(diǎn)的函數(shù)值與給定值之間的方差和最小，且該函數(shù)是以切比雪夫多項(xiàng)式為基函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)［1，2］。

假定欲將在時(shí)間間隔［t0，t0+△t］的衛(wèi)星星歷用n階切比雪夫多項(xiàng)式進(jìn)行逼近(或標(biāo)準(zhǔn)化)，其中t0和△t分別是開始?xì)v元和擬合時(shí)間區(qū)間的長(zhǎng)度。為了用切比雪夫多項(xiàng)式對(duì)衛(wèi)星軌道標(biāo)準(zhǔn)化，首先時(shí)間t∈［t0，t0+△t］變換成 τ∈［－1，1］，變換公式為［3］:

則衛(wèi)星坐標(biāo)X，Y，Z分量可用如下切比雪夫多項(xiàng)式表示:

在式(2)中，n為切比雪夫多項(xiàng)式的系數(shù)，Cxi，Cyi，Czi分別為X坐標(biāo)分量、Y坐標(biāo)分量、Z坐標(biāo)分量切比雪夫多項(xiàng)式的系數(shù)。切比雪夫多項(xiàng)式Ti用以下遞推公式確定:

根據(jù)精密星歷，設(shè)衛(wèi)星的Xk坐標(biāo)為觀測(cè)值，則誤差方程為:

誤差方程的矩陣展開式為:

則有向量表達(dá)式:

應(yīng)用最小二乘法平差中的間接平差，可以得出法方程為:

式(6)中，N=BTPB，fex=BTPfx，此處，權(quán)矩陣 P 為單位陣，因此，N=BTB，fex=BTfx，則方程(5)的解為:

此時(shí)，X各分量便為切比雪夫多項(xiàng)式擬合系數(shù)Cxi。同理，對(duì)Y、Z分量完成上述類似的計(jì)算便可得到關(guān)于某顆GPS衛(wèi)星在［t0，t0+△t］區(qū)間內(nèi)各坐標(biāo)分量的切比雪夫多項(xiàng)式擬合系數(shù) Cxi，Cyi，Czi(i=0，1，2，…，n)。通過(guò)這三組系數(shù)，便可利用(1)～(3)式分別計(jì)算得到［t0，t0+△t］時(shí)間區(qū)間內(nèi)任意時(shí)刻的衛(wèi)星坐標(biāo)。

為了檢查擬合的質(zhì)量，還需要對(duì)擬合結(jié)果進(jìn)行質(zhì)量評(píng)定。一般來(lái)說(shuō)是利用中誤差來(lái)評(píng)定的，評(píng)定公式如下:

mx，my，mz和 mp分別表示衛(wèi)星坐標(biāo) X，Y，Z 方向上的中誤差和點(diǎn)位中誤差。

2.2 拉格朗日多項(xiàng)式插值

設(shè) y=f(x)是區(qū)間［a，b］上的一個(gè)實(shí)函數(shù)，xi(i=0，1，…，n)是［a，b］上 n+1 個(gè)互異實(shí)數(shù)，且 y=f(x)在 xi處的值為yi=f(xi)，則區(qū)間［a，b］上任意一點(diǎn)x的n階拉格朗日插值多項(xiàng)式的代數(shù)表達(dá)式為［4，5］

點(diǎn)xi(i=0，1，…，n)稱為插值節(jié)點(diǎn)，包含插值節(jié)點(diǎn)的區(qū)間［a，b］稱為插值區(qū)間。

3 計(jì)算實(shí)例及比較分析

為了比較兩種方法的插值精度，作者根據(jù)上述插值原理利用VC編制了程序來(lái)實(shí)現(xiàn)兩種插值方法。文中選取了IGS發(fā)布的2009年3月29日的精密星歷數(shù)據(jù)作為算例來(lái)研究不同階數(shù)多項(xiàng)式下兩種插值方法的精度。由于精密星歷給出的衛(wèi)星位置的時(shí)間間隔為15 min，因此本文計(jì)算中以30 min為時(shí)間間隔選取內(nèi)插點(diǎn)內(nèi)插計(jì)算得到各個(gè)內(nèi)插時(shí)間段中間時(shí)刻的衛(wèi)星位置，以便將兩種方法內(nèi)插得到的結(jié)果與精密星歷給出的衛(wèi)星位置進(jìn)行比較，獲得兩種插值方法的精度。從上述的兩種插值原理中可以看出，當(dāng)采用n階多項(xiàng)式插值時(shí)，至少需要n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，為了檢驗(yàn)坐標(biāo)內(nèi)插的質(zhì)量，選取n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)中間已知坐標(biāo)的n個(gè)點(diǎn)作為插值點(diǎn)，計(jì)算出這n個(gè)插值點(diǎn)的坐標(biāo)，與已知值進(jìn)行比較，檢核其精度。作者利用自編程序用兩種插值方法分別計(jì)算了32顆衛(wèi)星在不同階次下各插值點(diǎn)處的平均點(diǎn)位誤差，表1給出了不同階次多項(xiàng)式下兩種插值方法在內(nèi)插時(shí)段中心點(diǎn)出的平均點(diǎn)位誤差。

不同階次多項(xiàng)式內(nèi)插中心點(diǎn)處精度比較 表1

從表1中可以看出，隨著插值多項(xiàng)式階次的提高，切比雪夫多項(xiàng)式插值的精度先是逐漸提高，當(dāng)階次達(dá)到20次以后，插值精度迅速降低，這稱為高次插值的“龍格”現(xiàn)象。而采用拉格朗日多項(xiàng)式插值，隨著多項(xiàng)式階次的提高，插值精度先是提高，然后趨于穩(wěn)定。

按照切比雪夫多項(xiàng)式插值時(shí)間歸化的原理，兩種多項(xiàng)式插值結(jié)果反映為時(shí)間與精度的關(guān)系如圖1、圖2所示，式中T為所取插值點(diǎn)位于整個(gè)插值區(qū)段的位置，取中心節(jié)點(diǎn)處為0，整個(gè)插值區(qū)段為(－1，1)。

圖1 切比雪夫多項(xiàng)式插值結(jié)果

圖2 拉格朗日多項(xiàng)式插值結(jié)果

圖1和圖2分別表示了用不同階次切比雪夫多項(xiàng)式和拉格朗日多項(xiàng)式插值在整個(gè)插值區(qū)間的精度。從圖中可以看出，兩種插值方法均表現(xiàn)出兩頭大中間小的誤差分布情況，特別是在10階、20階和22階時(shí)，兩端處的誤差跳躍較大。從圖中也可以看出，兩種插值方式從10階上升到20階時(shí)，走勢(shì)基本一致，當(dāng)多項(xiàng)式階次上升到22階時(shí)，兩種方法表現(xiàn)出不同的走勢(shì):切比雪夫多項(xiàng)式插值精度明顯變差，隨時(shí)間變化的趨勢(shì)也發(fā)生了改變，出現(xiàn)了不規(guī)則的波動(dòng)，這是因?yàn)殡A數(shù)太高，使數(shù)據(jù)噪聲納入了擬合模型，影響了模型的精度［6］。而拉格朗日插值法則保持了之前的走勢(shì)，離插值中心點(diǎn)較近的地方仍舊保持了較高的精度，在兩端處精度迅速下降。為了更好地分析兩種插值在高階時(shí)的差異，抽取圖形局部放大，如圖3所示，可看出在20階時(shí)切比雪夫多項(xiàng)式插值精度顯著降低，波動(dòng)較大，差于拉格朗日插值法。

圖3 20階多項(xiàng)式插值精度對(duì)比

由此可以看出，當(dāng)多項(xiàng)式階數(shù)上升到一定程度后，利用切比雪夫多項(xiàng)式插值的結(jié)果不再可靠，而拉格朗日插值法仍舊保持高精度的插值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，利用兩種方法進(jìn)行插值時(shí)，采用一定階次的多項(xiàng)式進(jìn)行插值，在插值區(qū)間范圍內(nèi)，80%左右的插值區(qū)間均能取得很好的插值效果。根據(jù)這一特性，采用切比雪夫多項(xiàng)式進(jìn)行插值時(shí)，可適當(dāng)提高階次以提高插值區(qū)間覆蓋的范圍，在有效范圍內(nèi)，只需一次計(jì)算多項(xiàng)式系數(shù)進(jìn)行存儲(chǔ)即可直接使用，可以免去多項(xiàng)式系數(shù)的重復(fù)計(jì)算。對(duì)于一天的數(shù)據(jù)，需要銜接前后一天的數(shù)據(jù)，分為幾個(gè)時(shí)段，分別存儲(chǔ)幾組系數(shù)，在應(yīng)用中根據(jù)所需時(shí)間直接調(diào)用系數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可。而對(duì)于拉格朗日插值法，在各個(gè)不同的時(shí)間點(diǎn)上進(jìn)行插值時(shí)需要單獨(dú)進(jìn)行運(yùn)算。

4 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)程序?qū)崿F(xiàn)了利用切比雪夫和拉格朗日多項(xiàng)式對(duì)IGS精密星歷進(jìn)行插值的功能，分析了不同階次多項(xiàng)式對(duì)于插值精度的影響，并對(duì)兩種方法進(jìn)行了比較。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，按照 30 min間隔選取插值節(jié)點(diǎn)，在多項(xiàng)式階次達(dá)到10階以上時(shí)，兩種方法均能取得毫米級(jí)的插值精度，在一定階次范圍內(nèi)，兩種插值方法插值精度相當(dāng)。當(dāng)多項(xiàng)式階次上升到20階以上時(shí)，切比雪夫插值法精度迅速下降，而拉格朗日插值法仍維持較高的精度，說(shuō)明高次插值時(shí)，切比雪夫多項(xiàng)式插值方法“龍格”現(xiàn)象更為突出。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，兩種插值方法的運(yùn)算都較簡(jiǎn)單，精度也較高。在選取插值方法以及多項(xiàng)式階次時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要擬合時(shí)間長(zhǎng)度來(lái)選擇，對(duì)于切比雪夫多項(xiàng)式插值法可適當(dāng)提高多項(xiàng)式階次以實(shí)現(xiàn)較長(zhǎng)時(shí)段的高精度擬合，而對(duì)于拉格朗日插值法，在達(dá)到要求的插值精度后，再提高多項(xiàng)式的階次已無(wú)益于插值精度的提高，因此無(wú)需采用過(guò)高的階次以提高運(yùn)算效率。

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