二維正方晶格光子晶體的光子帶隙分析

張曉娟

(渭南師范學(xué)院a.物理與電氣工程學(xué)院;b.x射線基礎(chǔ)研究中心，陜西渭南714000)

起初，制作光子晶體光纖(photonic crystal fiber，PCF)材料的折射率不能隨意改變，設(shè)計(jì)大光子帶隙(photonic bandgap，PBG)PBG光子晶體的方法主要是針對某個(gè)特定的晶格結(jié)構(gòu)，通過調(diào)控其結(jié)構(gòu)參數(shù)來實(shí)現(xiàn)大PBG優(yōu)化［1－3］，這就限制了優(yōu)化和設(shè)計(jì)大PBG研究工作的進(jìn)一步開展.目前，可以通過在空氣孔中注入一定介質(zhì)［4－5］(如EIT原子氣體或不同固體介質(zhì))實(shí)現(xiàn)填充材料折射率的改變，進(jìn)而得到不同頻率范圍內(nèi)的PBG.因此，研究PBG與晶格結(jié)構(gòu)、原子占有率及材料折射率之間的關(guān)系對制作大帶隙PCF至關(guān)重要.

結(jié)構(gòu)參數(shù)定義如下：原子介電常數(shù)εa，背景材料介電常數(shù)εb，晶格常數(shù)a，原子半徑R.經(jīng)多次模擬發(fā)現(xiàn)，在計(jì)算中，當(dāng)平面波支數(shù)大于100時(shí)，可以獲得穩(wěn)定的能帶圖.因此，在沒有特殊說明的情況下，計(jì)算中選取平面波支數(shù)均為121.

1 周期性正方晶格的PBG

對于在正方結(jié)構(gòu)晶格［6－9］中的圓形原子，單位元為正方形，可以直接利用倒格矢構(gòu)造介電常數(shù)的傅里葉變換，計(jì)算介電常數(shù)在倒格子空間的分布.正方晶格是最簡單的二維光子晶體結(jié)構(gòu)，如圖1所示，其中(a)為晶格結(jié)構(gòu)圖，(b)為對應(yīng)的正方晶格的單位元，(c)為第一布里淵區(qū).

圖1 二維正方晶格 (a)晶格結(jié)構(gòu)圖;(b)單位元;(c)第一布里淵區(qū)

對于正方晶格光子晶體，晶格常數(shù)為a，基矢如圖1(b)中所示，為

Γ、X、M定義了第一布里淵區(qū)的基矢量，在PWM的計(jì)算中，波矢量k取如圖1(c)所示的黑色區(qū)域邊界就可以計(jì)算得到對應(yīng)能帶.選擇εa=11.56(磷化銦)，εb=1(背景材料為空氣)，R=0.20a，計(jì)算得到完全周期性正方光子晶體的PBG，如圖2所示.圖中有正方形標(biāo)記的曲線為TM波所形成的PBG，三角形標(biāo)記的曲線為TE波對應(yīng)的PBG，橫軸代表波矢量k，縱軸為歸一化頻率ωa/2πc(a/λ).

圖2 正方晶格的PBG

可以看出，TM波在第一和第二個(gè)能帶之間有一個(gè)較大的PBG，歸一化頻率范圍為0.3～0.44，而TE波不存在PBG.因此，即使相同結(jié)構(gòu)參數(shù)的光子晶體，對于同一入射方向不同偏振態(tài)的入射光波的調(diào)制也有所不同，結(jié)果使得該結(jié)構(gòu)參數(shù)下的光子晶體不存在完全PBG.

2 原子半徑R對PBG的影響

仍然選擇εa=11.56，εb=1.0，討論周期性正方晶格原子半徑對PBG的影響.計(jì)算過程中發(fā)現(xiàn)，TE波始終沒有形成PBG，因此這里僅討論TM波所形成的PBG，如圖3(a)所示.可以看出，TM波傳輸時(shí)可以形成較大的不完全PBG，且隨著原子半徑R的增加，PBG數(shù)量隨之增加，但PBG寬度卻越來越小，最后消失.因此實(shí)際中需要選擇合適的R，得到所需波長范圍的PBG.

如果選擇原子的介電常數(shù)εa為1(即空氣孔)，背景材料的介電常數(shù)εb為11.56，即在高折射率的材料上挖周期性的空氣孔，則其PBG隨原子半徑的變化曲線如圖3(b)所示，圖中豎線區(qū)域?yàn)門E波形成的PBG，點(diǎn)區(qū)域?yàn)門M波對應(yīng)的PBG，斜線圍起來的區(qū)域是TM波和TE波重合的區(qū)域，即為完全PBG.可以看出，相比較于圖3(a)，該結(jié)構(gòu)參數(shù)下的光子晶體在原子半徑較大的情況下才可以形成不完全PBG，且PBG寬度隨原子半徑的增加而增加.TE波先出現(xiàn)PBG，隨后TM波出現(xiàn)，而且在R≥0.45a時(shí)出現(xiàn)完全PBG.

圖3 正方晶格PBG隨原子半徑R的變化 (a)a=11.56，b=1;(b)a=1，b=11.56

3 原子介電常數(shù)εa對PBG的影響

選擇εb=1，R=0.20a，改變?chǔ)臿，得到如圖4所示的PBG圖.計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，TE波仍然不存在PBG，因此這里僅討論TM波所形成的PBG.圖中豎線和點(diǎn)線分別表示所形成的第一個(gè)和第二個(gè)PBG.可以看出，εa增加，兩個(gè)PBG對應(yīng)的歸一化頻率都下移(即波長紅移)，但PBG寬度幾乎不變，第一個(gè)PBG寬度稍稍增加，第二個(gè)PBG先增加后減小.可以證明：當(dāng)εa=1.452，εb=1，R=0.20a時(shí)，不存在PBG.說明在二維入射的情況下，選擇制作PCF的硅材料時(shí)，上述同等結(jié)構(gòu)參數(shù)下的PCF并不存在PBG.

4 點(diǎn)缺陷對PBG的影響

PWM主要處理的是周期性的光子晶體，若要用于計(jì)算帶有缺陷的二維光子晶體，則需要引入超原胞［10］.選取包括缺陷及其周圍的幾個(gè)周期作為超原胞，按照平面波理論，以超原胞為周期進(jìn)行延拓計(jì)算，這樣處理雖然有可能造成缺陷與缺陷之間的模式耦合，但只要選擇的超原胞足夠大，模式耦合的影響相對較小，因而可以忽略.缺陷的形式有多種，如單點(diǎn)、多點(diǎn)及線缺陷等.點(diǎn)缺陷可以形成性能良好、具有很高的品質(zhì)因數(shù)的微腔，有希望在激光諧振腔、窄帶濾波等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.

取 εa=11.56，εb=1.0，R=0.2a，比較圖5所示三種點(diǎn)缺陷的情況.圖5(a)為中心去掉一個(gè)介質(zhì)柱的情況，這里稱其為實(shí)心光子晶體;(b)為在中心填充一個(gè)半徑(R1=0.7a)較大的介質(zhì)柱，稱為空芯缺陷光子晶體;(c)為中心去掉三個(gè)介質(zhì)柱，因?yàn)橹行姆植汲示匦危虼朔Q為類矩形光子晶體.

這里仍討論TM波所形成的PBG.得到不同點(diǎn)缺陷分布光子晶體的PBG如圖6所示.為了進(jìn)行比較，也列出了無缺陷周期性光子晶體的PBG，如圖6(a)、(b)、(c)、(d)分別對應(yīng)圖5(a)(b)(c)結(jié)構(gòu)的PBG.

由圖6(a)可以看出，對于在理想周期性結(jié)構(gòu)的光子晶體中傳輸?shù)腡M波，在歸一化頻率為0.3055～0.4448的范圍內(nèi)形成PBG，即該頻率范圍內(nèi)的光被禁止傳輸;當(dāng)去掉一中心介質(zhì)柱，形成實(shí)心光子晶體結(jié)構(gòu)時(shí)，如圖6(b)所示，歸一化頻率在0.3024～0.3902和0.394～0.4461范圍內(nèi)的光被禁止，說明當(dāng)去掉中心一個(gè)原子，PBG的寬度變寬了，同時(shí)在PBG的中心增加了一個(gè)通帶(或者稱作為導(dǎo)帶)，該通帶覆蓋的頻率范圍很窄，近似為單一的歸一化頻率;圖6(c)表明，當(dāng)中心添加一個(gè)半徑R1=0.7a的原子時(shí)，則該結(jié)構(gòu)形成四個(gè) PBG(0.3037 ～ 0.334，0.3345 ～ 0.3716，0.3749 ～ 0.38649，及0.39045 ～ 0.44999)，其能帶的低頻邊緣下移，高頻邊緣上移，但不太明顯，相比較周期性光子晶體增加了三個(gè)通帶，同樣的，其通帶的頻率范圍都很窄，近似為三個(gè)特定頻率的光波;圖6(d)顯示去掉中心三個(gè)原子而形成類矩形的光子晶體結(jié)構(gòu)，其能帶的總體寬度幾乎不變，但PBG中間增加了兩個(gè)通帶.以上這些結(jié)果充分表明設(shè)置不同的點(diǎn)缺陷，可以在禁帶中形成不同頻率的通帶.因此，為了使不同波長的光波通過，可以在光子晶體中引入不同類型的點(diǎn)缺陷.

圖6 不同點(diǎn)缺陷的PBG分布 (a)周期性;(b)實(shí)心;(c)空心;(d)類矩形

5 線缺陷對PBG的影響

線缺陷指的是將周期性光子晶體中的一排或者一列原子去掉的一種光子晶體結(jié)構(gòu).圖7(a)所示為移去中心一排原子而形成的線缺陷結(jié)構(gòu).仍取εa=11.56，εb=1.0，R=0.2a，得到其能帶分布如圖7(b)所示.計(jì)算中采用9×9的超原胞.圖7(b)中的橫軸代表x方向波矢量大小，縱軸代表歸一化頻率，其中上下兩個(gè)區(qū)域?yàn)橥◣?，中間區(qū)域?yàn)榻麕?，?shí)心點(diǎn)連接的曲線為禁帶中的導(dǎo)帶.相比圖6(a)所示完全周期性光子晶體PBG，其PBG中間增加了如圖7(b)所示三個(gè)導(dǎo)帶，其導(dǎo)帶的頻率范圍很窄，可以看作單一的頻率.

圖7 二維正方晶格線缺陷及其PBG分布 (a)線缺陷結(jié)構(gòu);(b)PBG分布

6 結(jié)論

采用平面波法對不同二維正方晶格光子晶體的PBG進(jìn)行了分析.結(jié)果表明，要想獲得不同波長范圍的PBG，可以通過設(shè)置不同的原子半徑和介電常數(shù)來實(shí)現(xiàn).同時(shí)，引入不同的缺陷結(jié)構(gòu)，可以在禁帶中形成不同頻率的通帶.因此，為了使不同波長的光波通過，可以在光子晶體中引入不同類型的缺陷.

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