混合分?jǐn)?shù)布朗運動下可延遲交付的附息債券期權(quán)定價

張 璐，容躍堂，劉明月

(西安工程大學(xué)理學(xué)院，西安710048)

0 引言

由于金融市場中股票價格具有長期依賴性和自相似性，近年有部分學(xué)者［1-4］使用混合布朗運動來研究歐式期權(quán).使用混合分?jǐn)?shù)布朗運動(α，β)=+βWt，t≥0作為來驅(qū)動金融市場，這種噪聲與半鞅有著相類似的性質(zhì)，且在Hurst指數(shù)H≥3/4時，這個隨機過程即等價于一個常數(shù)乘以Brownian運動.當(dāng)H∈(1/2，1)時，混合分?jǐn)?shù)布朗運動所驅(qū)動的市場是完備的且無套利.因此，本文采用混合分?jǐn)?shù)布朗運動的It?公式［5］，獲得了混合分?jǐn)?shù)布朗運動過程下的可延遲交付的附息債券期權(quán)定價模型，并選取了模型所滿足的隨機微分方程，最后證明了歐式延遲交付的附息債券看漲期權(quán)定價公式.

1 基本假設(shè)

現(xiàn)考慮這樣一個混合型Black-Scholes市場即有混合分?jǐn)?shù)布朗運動α，β)=+ βWt，t≥0 驅(qū)動的市場.原生資產(chǎn)價格演化遵循混合分?jǐn)?shù)布朗運動.其中標(biāo)的資產(chǎn)的價格S(t)滿足

其中：rt為短期利率;σ1(t)，σ2(t)為波動率(關(guān)于t的確定性函數(shù));dBH(t)為分?jǐn)?shù)布朗運動;dW(t)為布朗運動.

市場中的基本變量過程是服從Hull—White模型的短期利率過程

其中：θt是時間t的確定性連續(xù)函數(shù)，且a，σ1，σ2均為正常數(shù) .

市場中的所有衍生證券Y的價格過程為Y(t，rt，TY)，其中TY≤L，［0，TY］是衍生證券Y的有效期，且函數(shù)Y(t，rt;TY)∈C1(［0，TY］)×(-∞，+∞)).假設(shè)不支付交易費和稅收，且市場是完全的，不存在套利機會.

2 零息票債券定價公式

引理1 在以上基本假設(shè)下，市場中的衍生證券Y的價格函數(shù)Y(t，rt;TY)適合以下偏微分方程：

其中(t，r) ∈［0，TY］× (- ∞ ，+ ∞).

證明 現(xiàn)考慮一個投資組合∏ =Yt-△St，有

設(shè)Y=Y(St，t)是一個二元可微函數(shù)，若隨機過程St適合隨機微分方程dSt=μdt++ σ2dWt，則

引理2 在基本假設(shè)下，令P(t，r，T)表示零息票債券在t時刻的價格，到期日為T，那么混合分?jǐn)?shù)布朗運動下零息票債券P(t，r，T)的定價公式為

證明再根據(jù)零息票債券價格函數(shù)在到期日P(t=T，r;T)=1的特征可得到(9)成立.P(t，r;T)滿足式(3)，利用伊滕引理及偏微分方程方法可證明(8)成立.

3 模型建立與求解

根據(jù)文獻(xiàn)［6］，考慮標(biāo)的資產(chǎn)為附息票債券P的歐式看漲期權(quán)，其執(zhí)行價格為K，到期日為T，附息票債券的交付日期T?.期權(quán)的價格函數(shù)表示為Y(t，r;T，T?).本文研究可延期交付的附息票債券期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的交付日期T?與期權(quán)到期日T不一定相同，即T≤T?≤T.因此，可將此期權(quán)分為三類：

(2)設(shè)tm＜T＜T-＜tm+1，即期權(quán)到期日與延遲交付日在同一個相鄰息票交付日之間.因此需要將T-時刻可能要支付的執(zhí)行價格貼現(xiàn)到T時刻與標(biāo)的資產(chǎn)在T時刻的價值作比較.期權(quán)在T時刻的損益為Y(T，rT;T，=max{0，CiP(T，rT;ti)-KP(T，rT;}，此類可延期交付的附息票債券期權(quán)定價模型為

(3)設(shè)tm＜T＜tm+1＜… ＜tm+h＜＜tm+h+1＜… ＜tn=，即期權(quán)到期日與延遲交付日不在同一個相鄰息票交付日之間.在期權(quán)到期日T和延遲交付日期 之間有附息票債券 有h次息票支付金額為Cm+1，…，Cm+h.期權(quán)持有人若執(zhí)行期權(quán)，在延遲交付日期只能得到tm+h+1之后(包括tm+h+1)的所有息票和債券的面值，因此，該期權(quán)在到期日T時刻的損益為

證明 偏微分方程(13)的基本解Φ(T-t，r-ξ)也是

的解，其中δ(x)為Dirac函數(shù).

設(shè) Y(τ，r)= νexp(A(τ)-rB(τ))，由此得：

代入式(15)的微分方程后，有

綜上所述，引理中(13)微分方程的基本解的形式可表示為：

定理在基本假設(shè)下，模型(11)的解有如下表達(dá)形式：

根據(jù)引理3可知，定價模型的解為

同理，可以得到此期權(quán)的另外兩種類型的定價模型的解的表達(dá)式：

(2)若期權(quán)到期日與標(biāo)的資產(chǎn)交付日相同，即為標(biāo)準(zhǔn)的歐式附息票債券看期權(quán)，其定價模型(10)的解為 V(t，r;T)=-KP(t，r;T)N()，其中：

上述的 P(t，r;T)，B(t，T) 由引理2 給出l是方程(T，x;ti)-K=0唯一的實數(shù)根.N(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累積函數(shù).經(jīng)過驗證可得，當(dāng)=T時，(16)的解恰為表達(dá)式(10)的解.

推論 (歐式可延期交付的附息票債券看跌期權(quán)定價公式)Vp表示看跌期權(quán)，則

(III)設(shè)tm＜T＜tm+1＜… ＜tm+h＜＜tm+h+1＜… ＜tn=，即期權(quán)到期日與延遲交付日不在同一個相鄰息票交付日之間.

證明 利用期權(quán)看漲—看跌平價公式即可.

4 結(jié)語

文章結(jié)合了混合分?jǐn)?shù)布朗運動隨機分析理論以及偏微分方程方法對可延期交付的附息票債券期權(quán)價格進(jìn)行定價，本文還有進(jìn)一步的研究空間.

［1］Cheridito P.Regularizing Fractional Brownian Motion with a View towards Stock Pric Modelling［D］.Zurich ：Swiss Federal Institute of Technology Zurich，2001.

［2］Bender C，Sottine T，Valkeila E.Arbitrage with fractional Brownian motion［J］.Theory of Stochastic Processes，2006，12(3) ：1－ 12.

［3］Bender C，Sottine T，Valkeila E.Pricing by hedging and absence of regular arbitrage beyond semi martingales［J］.Finance and Stochastics，2008，12(4)：441－ 468.

［4］余征，閆理坦.混合分?jǐn)?shù)布朗運動環(huán)境下的歐式期權(quán)定價［J］.蘇州科技學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2008，25(4)：4－10.

［5］楊朝強.混合分?jǐn)?shù)布朗運動下一類歐式回望期權(quán)定價［J］.山東大學(xué)學(xué)報(理學(xué)版)，2012，47(9)：105－109.

［6］RONG Yue-tang，ZHANGLu.The Pricing Formula for Coupon-Bonds Option with Delay in Delivery in Fractional Brownian Motion Environment［C］//2012 3rd International Conference on E-Business and E-Government.Shanghai：the IEEE Inc，2012.2256－2260.