舒尚奇
(渭南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,陜西渭南714000)
在討論多代理人機(jī)制設(shè)計(jì)時(shí),我們將分別討論“自利”委托人和使代理人的福利之和最大化的“利他”委托人的最優(yōu)機(jī)制.當(dāng)然,只有委托人在所有可行配置之間選擇最優(yōu)配置時(shí),這種區(qū)別才變得重要.在此,作如下假設(shè):
B2 (私人價(jià)值)代理人i的偏好只依賴于其決策和他自己的類型及轉(zhuǎn)移收益:ui(x,ti,θi);
B3 偏好是擬線性的:ui(x,ti,θi)=Vi(x,θi)+ti,i∈ {1,…,I} .且以下兩式有且僅有一個(gè)成立:
這里V0(x,θ)=B0(x,θ) -C0(x),C0(x)是委托人在決策x下的貨幣成本,B0(x,θ)是非貨幣收益.
定義1 如果對(duì)于每一個(gè)θ,x(θ)∈χ且對(duì)于所有的θ,x(θ)是maxx,θ) 在χ上的解,就稱分配是有效率的.
定義2 如果機(jī)制設(shè)計(jì)問題滿足預(yù)算平衡約束
就稱配置y=(x,t)是可行的.如果x是通過t可實(shí)施的,且y是個(gè)體理性的.如果它還滿足以上條件,則稱y是預(yù)算平衡約束下的可行配置.
定義3如果函數(shù)y(θ)使得對(duì)于每個(gè)代理人i=1,…,I和每一個(gè)θi,^θi,θ-i均有
則稱y(θ)為優(yōu)勢(shì)策略機(jī)制.
定義4 如果函數(shù)y(θ)使得對(duì)于每個(gè)代理人i=1,…,I和每一個(gè),均有
則稱y(θ)貝葉斯機(jī)制.
由定義可以看出,優(yōu)勢(shì)策略下的激勵(lì)相容約束比貝葉斯機(jī)制下的激勵(lì)相容約束要嚴(yán)格得多.貝葉斯機(jī)制只要求激勵(lì)相容約束對(duì)類型θ-i的平均水平成立即可,這里的平均水平是代理人i關(guān)于θ-i對(duì)θi的條件期望.顯然,貝葉斯激勵(lì)相容包括優(yōu)勢(shì)策略激勵(lì)相容約束.可能的話,委托人總是會(huì)選擇優(yōu)勢(shì)策略機(jī)制(而非貝葉斯機(jī)制),因?yàn)閮?yōu)勢(shì)策略機(jī)制對(duì)參與人關(guān)于其他參與人的判斷并不敏感,而且它不要求參與人計(jì)算貝葉斯均衡策略.但是只考慮優(yōu)勢(shì)策略機(jī)制會(huì)大幅減小可實(shí)施機(jī)制集.如果優(yōu)勢(shì)策略是可行的,它一定是可實(shí)施的.但是,要使代理人的優(yōu)勢(shì)策略存在,委托人可能必須損失相當(dāng)程度的效用.
假定代理人的偏好是擬線性的,且對(duì)i=1,…,I,有
這里ti是委托人對(duì)代理人i的轉(zhuǎn)移收益.如果不限定x必須是一維的,但假定Vi只通過一個(gè)一維隨機(jī)變量hi(x)依賴于x,有
如果還進(jìn)一步假定類型服從獨(dú)立分布,即對(duì)每一個(gè)i,參與人i的類型分布Pi(*)滿足單調(diào)似然率條件非減),且偏好滿足分離假設(shè)及條件隨θ遞減.此時(shí),如果此配置使委托人的期i望效用
我們總可以適當(dāng)選擇代理人i的轉(zhuǎn)移收益,從而使代理人i的收益等于參與各方的總剩余(常數(shù)).因?yàn)榇砣薸已經(jīng)內(nèi)化了自己的剩余,因此可以令轉(zhuǎn)移收益等于總剩余減去他自己的剩余.也就是說,轉(zhuǎn)移收益是“外部收益”(即不依賴自己的類型).在不要求預(yù)算平衡時(shí),任何公共品的有效供給機(jī)制都是可實(shí)施的.甚至有,有效供給機(jī)制是優(yōu)勢(shì)策略可實(shí)施的.
這里,ti(*)是θ-i的任意函數(shù).
它的一種格羅夫斯機(jī)制是
如果格羅夫斯機(jī)制不滿足條件
我們很自然得到另一種機(jī)制,從某種意義上它可以看成是格羅夫斯機(jī)制的推廣.在格羅夫斯機(jī)制下,每個(gè)代理人的所得是根據(jù)代理人的報(bào)告所計(jì)算的其他代理人的剩余和,而在推廣的機(jī)制下,每個(gè)代理人的所得是其他代理人的剩余對(duì)該代理人的報(bào)告取條件期望而得的期望值.同樣,每個(gè)代理人都內(nèi)化了社會(huì)總剩余,無意選其他,從而決策不會(huì)改變.確切地說,假設(shè)代理人i獲得轉(zhuǎn)移收益
首先假設(shè)C0(x)=0,因此決策對(duì)委托人并無任何成本.對(duì)于成本函數(shù)按預(yù)算平衡要求
現(xiàn)在假定委托人在決策x≠0時(shí)要發(fā)生成本C0(x),此時(shí)預(yù)算平衡要求
為了在此約束下實(shí)施有效配置,不妨假設(shè)此時(shí)代理人的效用函數(shù)為
那么ti(*)是原問題中滿足預(yù)算平衡約束有效決策的轉(zhuǎn)移收益.因?yàn)閷?duì)所有的=0 成立,進(jìn)而有= - C0(x*(θ^)),所以它滿足預(yù)算平衡.
而對(duì)于激勵(lì)相容條件,對(duì)于每一個(gè)θ^和θi,都有
該結(jié)論意味著:假定I個(gè)代理人同意實(shí)施機(jī)制(x(*),t(*)),如果x*(*)是有效決策規(guī)則,顯然,如果x*(*)是可實(shí)施的,任何達(dá)到配置x*(*)的機(jī)制(x*(*),t(*))都是最優(yōu)的.
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