基于斷層擦痕側(cè)伏角公式的構(gòu)造應(yīng)力張量反演

何 書，趙 奎，朱 忠，吳開興

（1. 江西理工大學(xué) 資源與環(huán)境工程學(xué)院，江西 贛州341000；2. 江西理工大學(xué) 工程研究院，江西 贛州 341000）

1 引 言

在脆性變形為主的地區(qū)，變形局限于主斷層帶，利用斷層滑動資料可以反演斷層所在地區(qū)的構(gòu)造應(yīng)力張量[1]。自從Bott首次提出利用斷層擦痕反演應(yīng)力張量的基本原理以來，利用斷層擦痕資料反演構(gòu)造應(yīng)力場的方法及其應(yīng)用在國內(nèi)外得到了迅猛發(fā)展[2－10]。Aleksandrowski利用 Bott推導(dǎo)的公式計算出在不同應(yīng)力比率條件下若干個斷層面上擦痕的側(cè)伏角，以此提出了利用斷層擦痕資料確定主應(yīng)力方向的圖示方法[11]。張銀旗等[11]利用空間解析幾何方法證明了Aleksandrowski的圖示法適用于任何應(yīng)力狀態(tài)和各向異性巖石，并能準(zhǔn)確的確定主應(yīng)力方位。在實際應(yīng)用中，Etchecopar等[5]提出的演算應(yīng)力張量的反演技術(shù)最為普及，簡稱EC法。EC法原理較為簡單，但計算過程略顯復(fù)雜。Aleksandrowski提出的斷層擦痕側(cè)伏角公式反映的是側(cè)伏角與應(yīng)力比值及主應(yīng)力之間的關(guān)系，其目的主要是為了解釋圖示法求解構(gòu)造主應(yīng)力方向的正確性。筆者將應(yīng)用于圖示法的公式與傳統(tǒng)反演法的基本原理相結(jié)合，利用最小二乘法，將兩種方法統(tǒng)一起來，改進(jìn)了原有反演法的求解過程，使得計算過程更加簡單明了，易于實現(xiàn)。在此基礎(chǔ)上，通過對江西武山銅礦北礦帶斷層滑動特征的觀測分析，將改進(jìn)后的反演法應(yīng)用于該地區(qū)的構(gòu)造應(yīng)力主方向研究中，并與震源機(jī)制解方法獲得的現(xiàn)代構(gòu)造應(yīng)力場結(jié)果進(jìn)行對比，獲得了滿意的結(jié)果。

2 研究方法及公式推導(dǎo)

2.1 反演法的基本原理

反演法應(yīng)用的基本前提是，在區(qū)域構(gòu)造應(yīng)力場作用下, 巖層中已存在或新產(chǎn)生斷層的滑動方向與斷面上剪切應(yīng)力方向一致?；谝陨锨疤幔摲椒ɡ脧椥粤W(xué)的方法，根據(jù)斷層面產(chǎn)狀計算剪應(yīng)力方向，然后與斷層面上的擦痕方向進(jìn)行非線性最小二乘法擬合，以求得某一斷層在活動時期的3個構(gòu)造主方向和 1個主應(yīng)力差之比 R（ (σ2-σ3)/(σ1-σ3)）。該方法要求參與計算的擦痕必須是同一期構(gòu)造應(yīng)力下形成的。

2.2 基于斷層擦痕側(cè)伏角公式的構(gòu)造應(yīng)力主方向求解過程

根據(jù)彈性力學(xué)的相關(guān)理論，一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可由張量T表示，在主應(yīng)力參考系中張量T可表示為

應(yīng)力張量T的確定需建立兩套坐標(biāo)系來完成，一套是主應(yīng)力方向坐標(biāo)系；另一套是地理坐標(biāo)系x,y, z（其中x軸正方向為正東方向，y軸正方向為正北方向，z軸則朝上）。兩套坐標(biāo)系之間的關(guān)系可用3個歐拉角（φ, θ, φ）（分別表示兩套坐標(biāo)系對應(yīng)坐標(biāo)軸的夾角）來表示（見圖1）。

為了探討斷層面上擦痕與主應(yīng)力之間的關(guān)系，在前人研究基礎(chǔ)上，Aleksandrowski[11]推導(dǎo)的側(cè)伏角計算公式為

式中：ζ為擦痕的側(cè)伏角；σx、σy和σz分別為與坐標(biāo)軸一致的主應(yīng)力；l、m和n為在主應(yīng)力坐標(biāo)系下斷層面法線方向余弦。

圖1 歐拉角與主應(yīng)力方向及地理坐標(biāo)系的關(guān)系Fig.1 The relation between Euler angles and principal stress direction and geographic coordinate system

假設(shè) σz=σ2， σy=σ1， σx=σ3，令R= (σ2- σ3)/(σ1- σ3)，則式（2）可變?yōu)?/p>

在此，若已知一系列同期構(gòu)造應(yīng)力場作用下形成的斷層面產(chǎn)狀及主應(yīng)力方向，即可通過坐標(biāo)變換求得式（3）中的l、m和n。由于主應(yīng)力方向及大小都是未知的，于是式（3）含有 4個未知數(shù)：（φ, θ, φ，R）。若要求解這4個未知數(shù)，必須求解一個非線性方程組，且斷層面的個數(shù)必須大于等于4個。

設(shè)在地理坐標(biāo)系統(tǒng)中斷層面都是通過坐標(biāo)原點(diǎn)的，則傾角為α，傾向為β的斷層面的向上單位法線矢量可表示為

式中： A = sin αsin β， B=sin αcos β，C=cosα

若已知3個歐拉角為φ、θ、φ，則斷層面在主應(yīng)力坐標(biāo)系中的單位法向矢量n?′可由下式求解：

其中K為方向余弦矩陣：

求解過程中，首先要產(chǎn)生一個隨機(jī)均勻分布的（φ, θ, φ，R）4個未知數(shù)的初值，其中φ，φ在0到2π中取值，θ在0到π中取值，R在0到1中取值。然后將這4個初值及一系列斷層面產(chǎn)狀數(shù)據(jù)代入式（3）中，可得到一個非線性方程組，然后根據(jù)數(shù)值方法求解。據(jù)反演方法的假設(shè)，求解該方程組的目的即為求解理論擦痕側(cè)伏角與實際測量的擦痕側(cè)伏角之間的夾角最小。這是一個非線性的最小二乘擬合問題，可表示為

函數(shù) f( φ,θ,φ, R,ni)由式（3）求解：

根據(jù)已知的斷層擦痕及斷層面數(shù)據(jù)，求解一個非線性最小二乘法擬合問題，可求出4個未知數(shù)：(φ, θ, φ，R)，從而確定主應(yīng)力方向。以上求解過程可利用Matlab軟件編制程序完成，其過程較易實現(xiàn)。

3 應(yīng)用實例

3.1 研究區(qū)概況

筆者選取位于江西瑞昌縣境內(nèi)的武山銅礦區(qū)，開展了井下斷層滑動特征的調(diào)查，對相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行了詳細(xì)測量。武山銅礦區(qū)位于九瑞礦田中部，橫立山-黃橋向斜東段北翼，據(jù)礦體控制因素及空間展布特征，將該礦床以二疊系棲霞階地層上限為界劃分為南、北兩個礦帶。武山銅礦區(qū)自晚白堊世以來，主要發(fā)育一系列北北西向斷裂，橫切礦區(qū)北礦帶（見圖2）。根據(jù)這些斷層的平面展布特征及其與地層的切割關(guān)系，可推斷屬于同一期構(gòu)造作用的結(jié)果。現(xiàn)場調(diào)查表明，北西向斷裂伴隨硅質(zhì)、鐵質(zhì)膠結(jié)與破碎構(gòu)造角礫巖的產(chǎn)出,多為高傾角斷層，傾伏角很小，滑動方向近于水平，屬于典型的走滑斷裂。這些斷層橫切礦區(qū)礦體，研究這些斷層所反映的構(gòu)造應(yīng)力特征，對礦山采礦巷道布置及其穩(wěn)定性的分析有著重要意義。

圖2 武山礦區(qū)斷裂分布圖Fig.2 The distribution of faults in the Wushan mining region

3.2 斷層滑動資料觀測及計算結(jié)果分析

對礦區(qū)北礦帶井巷工程揭露的 11條北北西向斷層進(jìn)行了實地觀測（見表1），獲得了反映斷層滑動的特征數(shù)據(jù)?，F(xiàn)場調(diào)查結(jié)果表明，斷層擦痕的傾伏向與斷層走向近于一致，傾伏角接近于 0，在利用改進(jìn)的構(gòu)造應(yīng)力張量反演方法中，式（7）中的實測擦痕Yi皆等于0，運(yùn)算過程變得更加簡單。經(jīng)過反復(fù)改變參數(shù)，得到了該區(qū)的構(gòu)造應(yīng)力主方向（見表2）。計算結(jié)果顯示，最大主應(yīng)力傾伏向為336°；中間主應(yīng)力的傾伏角為 59°；最小主應(yīng)力傾伏角僅2°，方向近于水平。實測走滑斷裂發(fā)育于橫立山-黃橋向斜的北翼，該向斜軸面呈北東-南西向展布，是該地區(qū)地層受到北西-南東向水平擠壓構(gòu)造應(yīng)力作用的結(jié)果（見圖2）。將上述計算結(jié)果與區(qū)域構(gòu)造水平擠壓方向?qū)Ρ确治霾浑y看出，兩者具有一定的相似性，說明該區(qū)受來自北西-南東向的水平擠壓具有持續(xù)性的特點(diǎn)。以上分析表明，本區(qū)構(gòu)造應(yīng)力主方向的計算結(jié)果與走滑斷裂所在地質(zhì)構(gòu)造背景基本吻合，說明反演成果是可信的。

表1 斷層觀測數(shù)據(jù)表Table 1 The observed data of faults

表2 主應(yīng)力方向計算結(jié)果Table 2 The calculated results of principal stress direction

3.3 與震源機(jī)制解的對比分析

研究區(qū)最近的一次地震活動為2005年11月26日發(fā)生的九江-瑞昌5.7級地震和4.8級強(qiáng)余震。王墩等[12]對九江-瑞昌地震的發(fā)震構(gòu)造研究認(rèn)為，地震活動主要是在近東西向擠壓應(yīng)力場作用下，瑞昌斷裂產(chǎn)生右旋逆沖走滑運(yùn)動，同時牽動引發(fā)了與其交匯的北西向武山隱伏斷裂的錯動，使其產(chǎn)生左旋滑動，兩組斷裂共軛剪切作用形成了此次地震北西向武山隱伏斷裂錯動的結(jié)果。研究表明，武山銅礦區(qū)出露的北北西向斷裂與武山深部隱伏斷裂密切相關(guān)，是隱伏斷裂在地殼表層的一種表現(xiàn)。從對地貌的控制來看，斷裂在新構(gòu)造期活動較為明顯。因此，這些斷層的錯動特征與現(xiàn)代構(gòu)造應(yīng)力場具有一定聯(lián)系。根據(jù)震源機(jī)制解，構(gòu)造應(yīng)力場主壓應(yīng)力方向在287°～297°之間，武山銅礦所在地區(qū)現(xiàn)代構(gòu)造應(yīng)力場呈現(xiàn)北西-南東向擠壓的主要特征。對比震源機(jī)制解和依據(jù)走滑斷裂滑動資料的反演成果，表明兩種方法計算的構(gòu)造應(yīng)力主方向近于一致，反映了武山銅礦區(qū)受北西-南東向擠壓的構(gòu)造應(yīng)力場特征，表明該區(qū)現(xiàn)代構(gòu)造應(yīng)力場與古構(gòu)造應(yīng)力場之間有著密切的關(guān)系。

4 結(jié) 論

（1）基于Aleksandrowski提出的側(cè)伏角計算公式和最小二乘擬合法，結(jié)合EC構(gòu)造應(yīng)力張量反演的基本原理，提出了改進(jìn)的構(gòu)造應(yīng)力張量反演方法。

（2）在實測武山銅礦區(qū)斷層滑動資料的基礎(chǔ)上，利用改進(jìn)的反演方法，得出了礦區(qū)現(xiàn)代構(gòu)造應(yīng)力場的3個主應(yīng)力方向。計算過程表明，改進(jìn)的反演方法計算過程更加簡單，容易實現(xiàn)，計算結(jié)果比較符合實際。

（3）將反演結(jié)果與最新的震源機(jī)制解結(jié)果對比分析表明，兩種方法計算的構(gòu)造應(yīng)力主方向近于一致，表明武山礦區(qū)的構(gòu)造應(yīng)力場特征具有一定的穩(wěn)定性，該區(qū)現(xiàn)代構(gòu)造應(yīng)力場與古構(gòu)造應(yīng)力場之間有著密切關(guān)系。

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