基于剪切滑移的圓形洞室應力狀態(tài)研究

李 杰，李文培, ，施存程, ，王德榮，范鵬賢

（1. 解放軍理工大學 爆炸沖擊防災減災國家重點實驗室，南京 210007；2. 海軍工程設(shè)計研究局，北京 100070；3. 第二炮兵指揮學院 五系，武漢 430012）

1 引 言

地下工程的應力、應變狀態(tài)分析是巖土力學的一個基本問題，是隧道、采礦通道以及鉆井等工程初步設(shè)計的重要依據(jù)，也是驗證數(shù)值結(jié)果及軟件的重要方法。過去許多研究者從不同的巖體力學特性得出許多圓形洞室的解析解[1－5]。這些力學特性包括相關(guān)和不相關(guān)塑性流動法則、應變軟化、脆性、黏性、剪脹和構(gòu)造缺陷等。廣泛使用的材料模型有彈性-理想塑性模型、彈-脆-塑性模型、彈性-應變軟化模型等，此外用分段曲線逼近實測巖石應力-應變?nèi)緲?gòu)曲線也是一種途徑[6]。應用較廣泛的屈服或破壞準則有Mohr-Coulomb準則、Hoek-Brown強度準則、Drucker-Prager強度準則和統(tǒng)一強度理論等[5, 7－10]。

巖石內(nèi)包含各種尺度的孔隙、微裂縫甚至裂縫等缺陷，并不均勻連續(xù)，特別在峰后出現(xiàn)剪切應變局部化現(xiàn)象，位移場將出現(xiàn)間斷。文獻[11]采用光滑函數(shù)組合來描述巖石間斷位移場變形特征并得出相應控制方程。將其應用于圓形坑道開挖中，考慮滑移面上不同的應力-滑移關(guān)系，研究了圓形坑道圍巖穩(wěn)定性問題[12－13]。文獻[14]給出一個非連續(xù)平面應變彈塑性模型，并用Fortran語言編寫局部剪切變形有限元程序，通過簡單算例與傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)理論彈性結(jié)果進行比較。但這種比較還不充分，需推導一種非連續(xù)模型彈塑性解析解來進一步比較驗證。

本文引入圓形洞室非連續(xù)數(shù)學模型[12－13]，推導得到開挖后應力狀態(tài)的非連續(xù)表達式。研究了圍巖的應力分區(qū)情況并得到了各分區(qū)中應力值。通過引入邊界條件來確定荷載參數(shù)，解決了荷載參數(shù)不確定的問題。進一步根據(jù)圍巖中應力分布狀態(tài)確定荷載參數(shù)取值范圍，并得出圍巖應力分布圖。將其與研編的有限元程序數(shù)值解比較驗證。該解析考慮了巖石變形破壞的物理本質(zhì)，可作為工程設(shè)計的依據(jù)以及數(shù)值計算驗證的方法。

2 圓形洞室非連續(xù)數(shù)學模型

陳士林等[12]將巖石滑移線上的非線性本構(gòu)關(guān)系應用于圓形洞室圍巖的計算中，結(jié)合平面應變極坐標的動量守恒方程，利用對稱原理得出了在極坐標系（r,θ ）下圓形洞室的計算模型：

進而利用該模型推導得出了圓形洞室圍巖應力狀態(tài)非連續(xù)解為：

洞室開挖后，原始圍巖中的應力平衡被破壞，其應力狀態(tài)將發(fā)生巨大改變，通過變形圍巖應力逐步向洞室圍巖深處轉(zhuǎn)移，并且最后達到一個新的平衡。圖1給出了洞室圍巖應力狀態(tài)分布示意圖，圖中為洞室半徑，為塑性軟化區(qū)半徑，為殘余強度區(qū)半徑，為未擾動區(qū)域巖石初始地應力。

圖1 圍巖應力狀態(tài)分區(qū)Fig.1 Distribution of stress state for surrounding rock

對式（1）進行積分變換可得

由式（4）可確定函數(shù)τ(r,p)，滑移量δ(τ)具有長度量綱，需要通過試驗確定。應力–滑移量的變化規(guī)律與外摩擦的變化規(guī)律近似，可以應用研究外摩擦的類似方法間接地確定應力–滑移量圖[16]。

當圍巖的剪切應力-滑移關(guān)系如圖2所示時，結(jié)合式（4）可得到應力狀態(tài)分區(qū)半徑分別為

從圖1中可以看出，隨著荷載參數(shù)的變化，洞室圍巖可以出現(xiàn)3個不同的分區(qū)：彈性區(qū)、塑性軟化區(qū)以及殘余強度區(qū)。利用式（4）結(jié)合圖2可得到應力表達式：

圖2 剪切應力與滑移的關(guān)系Fig.2 Relationship between shear stress and slip

由式（6）～（8）可見，剪切應力τ =τ（ r, p ）是一個不定值，隨著距圓形洞室中心的距離而變化，并受荷載參數(shù)p的影響，不同的荷載參數(shù)決定圍巖處于何種應力狀態(tài)。

為了分析方便引入無量綱參數(shù)：

洞室挖只影響到周圍一定范圍內(nèi)的巖石，這部分巖石簡稱為圍巖，圍巖以外的巖石仍保持原始應力狀態(tài)。在這里圍巖的半徑用R 表示，大量研究表明，洞室開挖的影響主要集中在10倍開挖半徑范圍內(nèi)，超出這個范圍，開挖的影響很小，可忽略。因此，可假定圍巖深部應力為原始地應力作為邊界條件。即

利用無量綱參數(shù)可將式（5）轉(zhuǎn)化為：

由式（11）可知，洞室圍巖殘余區(qū)和軟化區(qū)半徑不僅和巖石的性質(zhì)有關(guān)，還取決于荷載參數(shù)λ。

3 圓形洞室圍巖應力狀態(tài)非連續(xù)解析

下面將對圓形洞室圍巖應力狀態(tài)非連續(xù)解進行分析。在深部條件下，圍巖初始壓力很大，這樣體積力影響就相對較小，故忽略體積力Xr的影響，同時令這樣式（2）可簡化為：

在這里只考慮開挖后圍巖不支護的情況，此時圍巖的內(nèi)壓力為0，即 σrr(r0)= 0。

3.1 只出現(xiàn)彈性應力狀態(tài)情況

當0 ≤ λ＜m2，此時有 r1＜r0，說明洞室圍巖處于完全彈性狀態(tài)，

將式（13）代入到式（12）中可得出該條件下圍巖的應力狀態(tài)為：

在式（14）中荷載參數(shù)λ是未知的，需要通過邊界條件來確定。

下面通過一個算例來說明問題，在初始地應力為20 MPa的巖石中開挖一個半徑為2 m的圓形洞室。剪切模量μ=5 GPa，泊松比ν=0.3，初始剪切強度τ1=7.5 MPa，殘余剪切強度τ4=1.5 MPa，滑移 長 度k1=0.05 m， k2= μ/ （1- ν ）τ1， 重 度 γ=25 kN/m3。

計算可知，圍巖的徑向和法向應力都出現(xiàn)了集中，集中系數(shù)為2.0，與彈性理論解符合。隨距洞室中心距離的增大，圍巖中應力漸接近初始應力狀態(tài)。

3.2 出現(xiàn)兩個應力狀態(tài)分區(qū)情況

（1）在軟化區(qū)， r0≤ r＜r1，此時有：

將式（15）代入式（12）得到

（2）在彈性區(qū)， r1≤ r ，此時有

將式（18）代入式（12）得到

采用前算例，參數(shù)不變，可得到圍巖中僅存軟化區(qū)和彈性區(qū)時應力狀態(tài)。圖3為圍巖分為軟化區(qū)和彈性區(qū)時的應力隨距離變化圖。從圖中可知，徑向應力σrr在洞室周圍減小為0，隨著距離的增大逐漸回復到原始應力；環(huán)向應力σθθ在洞室周圍有松弛，逐步向圍巖深處轉(zhuǎn)移，在軟化區(qū)和彈性區(qū)交接面上達到最大，約為1.4倍初始應力，在彈性區(qū)又逐步減小到初始應力大小。

圖3 洞室圍巖比例應力隨圍巖深度變化圖Fig.3 Variations of proportional stresses vs. depth of surrounding rock around circular opening

3.3 出現(xiàn)3個應力狀態(tài)分區(qū)情況

（1）在 r0≤ r＜r4區(qū)域內(nèi)為殘余強度區(qū)，此時有

將式（21）代入式（12）得到

（2）在 r4≤ r＜r1區(qū)域內(nèi)變成軟化區(qū)，有

將式（23）代入式（12）得到

（3）在 r1≤ r 區(qū)域內(nèi)為彈性區(qū)，此時有

將式（23）代入式（12）得到

同樣，圖4為洞室圍巖分為3個區(qū)時的圍巖應力隨距離變化圖。從圖中可以看出，3個分區(qū)的應力連續(xù)。在殘余強度區(qū)，圍巖的徑向和環(huán)向應力都很小，說明此處圍巖處于一個十分不利的條件，將產(chǎn)生異常的變形，必須及時采取相應的工程處理措施。在軟化區(qū)內(nèi)，徑向應力σrr在隨著距洞室中心距離的增大逐漸回復，達到 0.7σ0；環(huán)向應力σθθ也逐步變大，在軟化區(qū)和彈性區(qū)交接面上達到最大，約為1.4倍初始地應力。在彈性區(qū)兩個方向的應力都逐步回復到初始應力大小。

圖4 洞室圍巖比例應力隨圍巖深度變化圖Fig.4 Variations of proportional stresses vs. depth of surrounding rock around circular opening

4 比較與討論

通過前面的分析可知，荷載系數(shù)λ對圍巖的應力狀態(tài)影響很大，不同的荷載系數(shù)決定了洞室圍巖出現(xiàn)幾個分區(qū)。而真實條件下，圍巖只可能處于一個特定的應力狀態(tài)。由工程實際可知，洞室開挖后，圍巖中應力轉(zhuǎn)移是一個漸進的過程。沒有開挖前都處于彈性狀態(tài)；開挖后，在開挖表面應力卸載，洞室周圍逐漸進入軟化區(qū)，當荷載足夠大的情況下，洞室周圍會進入到殘余強度狀態(tài)。

文獻[12－13]研究表明：隨著荷載系數(shù)λ的變化，洞室圍巖中將出現(xiàn)不同的應力狀態(tài)分區(qū)，應力也逐步向圍巖深處轉(zhuǎn)移，相應的圍巖自身承載能力也將發(fā)生變化。圍巖自身承載能力的無量綱化表達式可以寫成：

對上述3種不同情況分別計算T并對λ求導，可以得到當λ的取值在范圍內(nèi)時，函數(shù)T(λ)有惟一的最大值T(λ*)，此時 r4＜r0＜r1，說明洞室圍巖中沒有殘余強度區(qū)出現(xiàn)，只有彈性區(qū)和軟化區(qū)。因此，在圍巖初始應力狀態(tài)沒有超過圍巖的最大自身承載能力之前，可以認為，此時圍巖不會出現(xiàn)殘余強度區(qū)。殘余強度區(qū)的出現(xiàn)只能是在圍巖外部荷載超過圍巖最大自身承載能力的情況，此時應力進一步向圍巖深部轉(zhuǎn)移，而圍巖的承載能力卻有一定降低，這樣就形成了一個不穩(wěn)定的狀態(tài)，即沒有外部能量的輸入，變形也將繼續(xù)開展。因此，在外部荷載沒有達到圍巖自身最大承載能力之前，式（19）、（20）能夠表示當前的應力狀態(tài)。

通過一個簡單算例將編寫的有限元程序與非連續(xù)解析解相互比較驗證。巖石中開挖一個半徑為2.5 m的圓形洞室。剪切模量μ=5 GPa，泊松比ν=0.3，初始剪切強度τ1=7.5 MPa，殘余剪切強度τ4=1.5 MPa，滑移長度k1=0.05m，k2=μ/ （1- ν）τ1，重度γ=25 kN/m3。利用式（19）、（20）能夠計算出此時圓形洞室圍巖應力狀態(tài)解析解。

根據(jù)非連續(xù)解析解算例的輸入數(shù)據(jù)反推得出有限元程序的巖石參數(shù)。從圖2中可知，初始黏聚力τ0=τ1， 殘 余 黏 聚 力 τr=τ4， 卸 載 模 量Eu=(τ4-τ1)/k1，其他具體參數(shù)見表1中。

表1 計算所采用巖石參數(shù)Table 1 Parameters for rock

圖5為有限元程序的數(shù)值解與非連續(xù)解析解比較圖。從圖中可以看出，數(shù)值解和解析解較一致。兩種結(jié)果在孔洞周圍的應力軟化區(qū)半徑幾乎相同，這種表象的應力軟化的根源是滑移面上因剪切力超過了巖石的剪切強度而產(chǎn)生沿滑移面的滑移。應力軟化區(qū)圍巖已經(jīng)發(fā)生了剪切滑移破壞，處于峰后變形狀態(tài)，但由于殘余黏結(jié)強度及調(diào)動起來的摩擦作用，還具有一定的承載能力。在應力軟化區(qū)的外圍是彈性區(qū)，由于邊界的影響，徑向應力在邊界附近有很小的誤差，可忽略。在軟化區(qū)和彈性區(qū)交接面上環(huán)向應力最大，都約為1.4倍初始地應力。

推導的圓形洞室周圍應力狀態(tài)解析解中荷載參數(shù)是不確定的，而荷載參數(shù)控制著應力分區(qū)以及各分區(qū)中應力值。本文通過引入邊界條件來確定其中的荷載參數(shù)，解決了荷載參數(shù)不確定的問題，并且得到了不同荷載參數(shù)范圍的洞室開挖后應力分布圖。深入分析得知，在沒有超過圍巖的極限承載能力時開挖后圍巖應力狀態(tài)為第2種。采用這個應力狀態(tài)解析解比較驗證了有限元程序數(shù)值解。

圖5 數(shù)值解與解析解比較Fig.5 Comparison between analytical solution and numerical solution

5 結(jié) 論

（1）荷載參數(shù)控制著應力分區(qū)以及各分區(qū)中的應力值。通過引入邊界條件來確定其中的荷載參數(shù)，解決了荷載參數(shù)不確定的問題。

（2）根據(jù)圍巖中應力分布狀態(tài)確定了荷載參數(shù)取值范圍，并得出不同荷載參數(shù)范圍內(nèi)的洞室開挖后圍巖應力分布圖。采用剪切應力滑移模型來表示巖石的軟化十分適合，不僅可在宏觀上體現(xiàn)巖石的應力軟化力學特性，而且能更好地刻畫巖石變形破壞的物理本質(zhì)。

（3）將推導的圓形洞室開挖后圍巖應力分布解析解與局部剪切應變二維有限元程序數(shù)值解進行了比較驗證，一致性較好。

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