球面波加載下黃土線黏彈性本構(gòu)關(guān)系

盧 強(qiáng)，王占江，李 進(jìn)，郭志昀，門朝舉

（西北核技術(shù)研究所，西安 710024）

1 引 言

黃土主要分布在干旱與半干旱地區(qū)，對(duì)其力學(xué)性質(zhì)的清晰認(rèn)識(shí)在防震減災(zāi)問題、環(huán)境工程問題及地下爆炸研究中具有非常重要的作用。對(duì)于土類介質(zhì)本構(gòu)模型的研究引起了眾多研究者的興趣。崔偉華等[1]通過位移反分析方法，結(jié)合遺傳算法對(duì)黃土的非線性本構(gòu)模型參數(shù)進(jìn)行了反演分析。馬君偉等[2]利用等應(yīng)變直剪儀對(duì)馬蘭黃土原狀土進(jìn)行了剪切松弛試驗(yàn)，采用三參量黏彈性固體模型對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析，確定了馬蘭黃土的黏滯系數(shù)。上述文獻(xiàn)是基于靜態(tài)試驗(yàn)方法對(duì)黃土的非線性力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行的研究。Song等[3－6]則以改進(jìn)的SHPB試驗(yàn)方法對(duì)軟介質(zhì)（砂、土等）進(jìn)行了動(dòng)態(tài)試驗(yàn)，對(duì)孔隙率、含水率等對(duì)介質(zhì)動(dòng)力學(xué)特性的影響做了討論，為軟介質(zhì)動(dòng)力學(xué)特性的研究提供了可借鑒的研究思路。

對(duì)于地下爆炸研究而言，利用微型炸藥球?qū)崿F(xiàn)球面發(fā)散波加載的試驗(yàn)技術(shù)是模擬地下爆炸中介質(zhì)的應(yīng)力-應(yīng)變狀態(tài)最為接近的技術(shù)手段[7]。從20世紀(jì)50年代以來，國(guó)外發(fā)展了球形空腔爆炸理論[8－9]，研制了用于模擬地下爆炸加載的微型炸藥球并發(fā)展了粒子速度、應(yīng)力測(cè)試技術(shù)，結(jié)合試驗(yàn)數(shù)據(jù)（粒子速度和應(yīng)力測(cè)量波形）和拉格朗日分析方法[7,10]或其他研究方法深入研究了核爆炸現(xiàn)場(chǎng)巖體和土體的動(dòng)態(tài)本構(gòu)關(guān)系。

從國(guó)內(nèi)公開發(fā)表的文獻(xiàn)看，在試驗(yàn)方面，王占江等[11－12]研制了不同規(guī)格的泰安微型炸藥球（0.125～27 gTNT當(dāng)量，直徑φ=5～30 mm），利用此類精密爆炸源，結(jié)合圓環(huán)型粒子速度測(cè)試技術(shù)得到了部分典型地質(zhì)介質(zhì)（如黃土、花崗巖等）中關(guān)于球形填實(shí)或空腔爆炸的重要試驗(yàn)結(jié)果，這對(duì)國(guó)內(nèi)球面波試驗(yàn)技術(shù)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。在理論方面，李孝蘭[13－14]在對(duì)國(guó)外文獻(xiàn)總結(jié)的基礎(chǔ)上，對(duì)彈性固體介質(zhì)中的球形空腔爆炸理論進(jìn)行了較為詳盡地分析，所得結(jié)果對(duì)于指導(dǎo)試驗(yàn)研究具有重要作用。林英睿等[15－16]則以花崗巖中實(shí)測(cè)球面波粒子速度波形為基礎(chǔ)，采用拉格朗日分析方法對(duì)花崗巖的本構(gòu)進(jìn)行了研究，得到了一些初步結(jié)論。但由于在目前的球面波試驗(yàn)中很難同時(shí)完成粒子速度及徑向或切向應(yīng)力的測(cè)試，這對(duì)于拉格朗日反分析方法的完備性來說是不利的，在通常的處理中一般是要加入一定的本構(gòu)假定去完備求解方程。

近來，賴華偉等[17－18]基于球面波試驗(yàn)得到的徑向粒子速度數(shù)據(jù)，以線黏彈性 ZWT方程假定為基礎(chǔ)，采用特征線方法對(duì)有機(jī)玻璃中的 ZWT參數(shù)反演做了深入的研究，所得參數(shù)對(duì)有機(jī)玻璃的黏彈性力學(xué)行為有較好的描述。盧強(qiáng)等[19]則以線黏彈性ZWT本構(gòu)方程為基礎(chǔ)，對(duì)球面波動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行了理論推導(dǎo)，得到了以位移u描述的三階波動(dòng)方程，以諧波解的形式詳細(xì)討論了線黏彈性球面波的吸收和彌散效應(yīng)，這對(duì)于認(rèn)識(shí)黏彈性球面波的傳播演化規(guī)律具有一定的實(shí)際意義。

本文將以黃土中球面發(fā)散波試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)，結(jié)合基于線黏彈性 ZWT方程得到的黏彈性球面波的傳播規(guī)律，對(duì)黃土的黏彈性本構(gòu)特征進(jìn)行研究。

2 黃土中的球面發(fā)散波試驗(yàn)

國(guó)內(nèi)利用柔爆索中心起爆微型炸藥球激發(fā)球面發(fā)散波技術(shù)及圓環(huán)型粒子速度測(cè)試技術(shù)已發(fā)展地較為成熟，并成功應(yīng)用在諸多研究領(lǐng)域。黃土中球面發(fā)散波試驗(yàn)采用的試驗(yàn)裝置及測(cè)試技術(shù)與文獻(xiàn)[20]是一致的。這種試驗(yàn)裝置可通過在黃土樣品上鉆孔、回填等工序，置換不同的中心爆室模型以達(dá)到樣品重復(fù)利用的效果。中心爆室模型可根據(jù)模擬源區(qū)介質(zhì)或爆室結(jié)構(gòu)的不同進(jìn)行加工，爆室介質(zhì)或結(jié)構(gòu)（如帶有空腔、環(huán)槽等結(jié)構(gòu)）不同，通過預(yù)埋的圓環(huán)型粒子速度計(jì)測(cè)量到粒子速度波形也不相同，由此可開展爆炸源區(qū)介質(zhì)或近區(qū)結(jié)構(gòu)對(duì)爆炸應(yīng)力波影響的相關(guān)研究[20]以及介質(zhì)動(dòng)力學(xué)本構(gòu)特性研究。

3 利用粒子速度數(shù)據(jù)對(duì)黃土基本力學(xué)量預(yù)估

采用 0.125 gTNT當(dāng)量的微型炸藥球作為爆炸源，其所產(chǎn)生的塑性區(qū)半徑不超過60 mm，而黃土球面波試驗(yàn)裝置中預(yù)埋的粒子速度計(jì)的最小半徑為90 mm，所以本文測(cè)得的粒子速度均是介質(zhì)彈性響應(yīng)的結(jié)果[20]。圖 1給出了球面波加載下 180～1 280 m·kt-1/3范圍內(nèi)的19個(gè)粒子速度曲線。

圖1 粒子速度曲線Fig.1 Curves of particle velocity

從圖1可以看出，0.125 gTNT當(dāng)量的微型炸藥球在黃土中激發(fā)的球面波持續(xù)時(shí)間約400～500 μs，上升沿約 30～40 μs，它們均比花崗巖中的持續(xù)時(shí)間（約10 μs量級(jí)）、上升沿（約μs量級(jí)）要大很多[11－12]，這體現(xiàn)了軟巖和硬巖中球面波傳播特性的差異。由于球面波加載下介質(zhì)承受的應(yīng)變狀態(tài)為三維應(yīng)變狀態(tài)，隨著傳播距離的增加，其應(yīng)變狀態(tài)越來越接近一維應(yīng)變狀態(tài)[21]，即徑向應(yīng)變?chǔ)舝將主導(dǎo)介質(zhì)的變形特征，切向應(yīng)變?chǔ)纽鹊呢暙I(xiàn)較小。因此，近似認(rèn)為，粒子速度幅值對(duì)應(yīng)時(shí)刻黃土中傳播的球面波的徑向應(yīng)力和徑向應(yīng)變滿足下面兩個(gè)強(qiáng)間斷波的相容條件：

通過式（1）、（2），由粒子速度幅值vmax、波速D及密度ρ0能夠求出粒子幅度最大值時(shí)刻的徑向應(yīng)變?chǔ)舝、徑向應(yīng)力σr。對(duì)于球面波，還存在粒子幅度最大值時(shí)刻對(duì)應(yīng)的切向應(yīng)變?chǔ)纽?、切向?yīng)力σθ需要確定。切向應(yīng)變?chǔ)纽鹊拇_定可通過式（3）確定，

式中：u為徑向粒子位移；r為物質(zhì)坐標(biāo)。切向應(yīng)力σθ的確定存在一定的困難，此處作類似彈性本構(gòu)方程的定義，εr、εθ、σr、σθ之間的關(guān)系可表示為

表1中的負(fù)號(hào)代表壓縮狀態(tài)。由表1可以看出，徑向應(yīng)變?chǔ)舝和切向應(yīng)變?chǔ)纽确謩e處于壓縮和拉伸狀態(tài)，其變形量隨比距離的增大而減少，但越來越大，這說明隨著傳播距離的增加，徑向應(yīng)變?chǔ)舝將主導(dǎo)介質(zhì)的變形，這一點(diǎn)和球面波加載下介質(zhì)應(yīng)變狀態(tài)趨于一維應(yīng)變狀態(tài)的理論結(jié)果是一致的。另外，結(jié)合粒子速度數(shù)據(jù)，由式（4）、（5）反演得到了彈性模量 E=(1.927±0.216)GPa、體積模量 K=(1.284±0.144)GPa、剪切模量 G =(0.771±0.086)GPa，上述數(shù)據(jù)可作為 ZWT本構(gòu)參數(shù)反演所用到的基本力學(xué)量。

表1 由粒子速度數(shù)據(jù)反推的黃土基本力學(xué)參數(shù)Table 1 Basic mechanical parameters of loess calculated from the particle velocity data

4 基于球面波試驗(yàn)數(shù)據(jù)的線黏彈性ZWT本構(gòu)參數(shù)反演

由文獻(xiàn)[17－18]的討論可知，對(duì)于1～102μs時(shí)間尺度的爆炸沖擊載荷作用，ZWT本構(gòu)關(guān)系可忽略低頻Maxwell體的松弛效應(yīng)，其本構(gòu)可表示為一個(gè)線性彈簧并聯(lián)一個(gè)高頻的Maxwell體，如圖2所示。在球坐標(biāo)下，線黏彈性 ZWT本構(gòu)方程容變律及畸變律的率形式可以寫為

圖2 線性黏彈性ZWT本構(gòu)模型Fig.2 Linear viscoelastic ZWT constitutive model

基于線黏彈性ZWT本構(gòu)方程，賴華偉等[17－18]采用特征線法推導(dǎo)出的強(qiáng)間斷球面波衰減因子α和盧強(qiáng)等[19]對(duì)諧波解的分析給出的高頻球面波的衰減因子α是一致的，衰減因子可表示為

在文獻(xiàn)[17－18]中，賴華偉等基于強(qiáng)間斷假設(shè)，結(jié)合球面波加載下有機(jī)玻璃中的徑向粒子速度幅值及波速數(shù)據(jù)擬合出了式（8）中的高頻波衰減因子α，再利用有機(jī)玻璃的準(zhǔn)靜態(tài)參數(shù)Ga，給出了線黏彈性ZWT本構(gòu)方程中的GM、θM參數(shù)，從而完成了對(duì)有機(jī)玻璃黏彈性參數(shù)的反演。在此需指出的是，文獻(xiàn)[17－18]并沒有考慮介質(zhì)的非線性黏彈性特性。對(duì)于黃土中的球面波結(jié)果，由表1可知，徑向應(yīng)變?chǔ)舝、切向應(yīng)變?chǔ)纽染h(yuǎn)小于0.01，可以忽略黃土的非線性項(xiàng)的影響[21]。前面已經(jīng)提到，粒子速度的上升沿達(dá)到了30～40 μs，若對(duì)其中傳播的球面波采用強(qiáng)間斷假設(shè)則顯得較為牽強(qiáng)，由此擬合得到的衰減因子α的誤差相對(duì)較大。由式（6）、（7）可知，對(duì)于線黏彈性ZWT本構(gòu)方程，只需確定K、G、GM（或Ga）、θM4個(gè)參數(shù)即可。K和G可采用表1給出的預(yù)估參數(shù)，但GM（或Ga）和θM目前尚不能確定。即使進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)試驗(yàn)確定了GM（或Ga），但由粒子速度幅值數(shù)據(jù)擬合式（8）中的高頻波衰減因子的前提（高頻波或強(qiáng)間斷波）會(huì)受到質(zhì)疑?？梢姴捎命S土中的球面波數(shù)據(jù)對(duì)其黏彈性本構(gòu)進(jìn)行反演需考慮新的思路。

由前所述，在黃土球面波試驗(yàn)中，預(yù)埋的 19個(gè)粒子速度計(jì)分布在φ180～1 280 mm范圍內(nèi)，最小量計(jì)的半徑為90 mm。這里假定不考慮炸藥球與源區(qū)介質(zhì)的相互作用過程，僅取半徑90 mm處粒子速度計(jì)測(cè)量得到的粒子速度波形作為邊界條件，以線黏彈性ZWT本構(gòu)作為黃土介質(zhì)的本構(gòu)描述（K和G采用表1給出的參數(shù)，Ga和θM按一定方式組合），采用一維球面波差分計(jì)算程序計(jì)算波在黃土中的傳播，以輸出的粒子速度幅值、位移幅值及其對(duì)應(yīng)的時(shí)間數(shù)據(jù)和試驗(yàn)結(jié)果通過式（9）定義的誤差函數(shù)進(jìn)行對(duì)比來確定Ga和θM。誤差函數(shù)Error(Ga，θM)為

考慮到Ga＜G，計(jì)算中Ga取值區(qū)間定為0.50～0.70 GPa，間隔為0.01 GPa，θM取值區(qū)間為10～60 μs（參考波的上升沿大?。g隔為1 μs。圖3給出了式（9）所表征的誤差函數(shù)的等值線圖。等值線的疏密變化實(shí)際上表征了誤差函數(shù) Error(Ga,θM)隨參數(shù)Ga和θM的變化快慢。等值線密集的區(qū)域，誤差函數(shù)對(duì)參數(shù)Ga和θM的數(shù)值變化較為敏感，等值線疏松的區(qū)域，誤差函數(shù)對(duì)參數(shù)Ga和θM的數(shù)值變化敏感度較小。圖3中的黑色圓點(diǎn)代表由式（9）計(jì)算的最小誤差，其值為0.233，對(duì)應(yīng)Ga=0.64 GPa（GM=0.13 GPa）、θM=21 μs。采用此參數(shù)對(duì)黃土中的球面波傳播過程進(jìn)行數(shù)值模擬，圖4～8給出了數(shù)值模擬結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比圖。圖4和圖5分別是粒子速度和粒子位移幅值隨比距離的變化曲線，可以看出，數(shù)值模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的吻合程度比較令人滿意，粒子速度幅值的偏差在±8%以內(nèi)，位移幅值的偏差在±6%以內(nèi)。圖6和圖7分別是粒子速度幅值對(duì)應(yīng)時(shí)刻和粒子位移幅值對(duì)應(yīng)時(shí)刻隨比距離變化曲線，粒子速度幅值時(shí)刻的偏差在±1%以內(nèi)，位移幅值的偏差在±5%以內(nèi)。圖8給出了數(shù)值模擬得到的粒子速度曲線和試驗(yàn)曲線的對(duì)比圖，其中實(shí)線代表試驗(yàn)結(jié)果，帶有不同形狀符號(hào)的線是數(shù)值模擬結(jié)果?？梢钥闯?，模擬得到的粒子速度曲線與試驗(yàn)曲線具有較好的一致性，這說明利用上述方法反演出的本構(gòu)參數(shù)基本反映了黃土介質(zhì)的黏彈性動(dòng)力學(xué)特性。

作為進(jìn)一步的說明，圖9給出了粒子速度幅值對(duì)應(yīng)時(shí)刻的徑向應(yīng)力σr、切向應(yīng)力σθ隨比距離R的變化。圖10給出了粒子速度幅值對(duì)應(yīng)時(shí)刻的徑向應(yīng)變?chǔ)舝、切向應(yīng)變?chǔ)纽入S比距離R的變化。圖9、10中同時(shí)加繪了表1中給出的相關(guān)數(shù)據(jù)，從圖中可以看出，采用式（1）～（5）給出的σr、σθ、εr、εθ和由數(shù)值模擬得到的相應(yīng)結(jié)果之間具有比較令人滿意的一致性，這說明表1給出的黃土基本力學(xué)參數(shù)彈性模量E、體積模量K及剪切模量G與基于ZWT本構(gòu)反演的黏彈性本構(gòu)參數(shù)之間具有自洽性，同時(shí)也證明了用球面波加載下的粒子速度數(shù)據(jù)，結(jié)合上述處理方法去研究黃土介質(zhì)粘彈性本構(gòu)的可行性。

圖3 誤差函數(shù)的等值線圖Fig.3 Isoline diagram of error function

圖4 粒子速度幅值vmax隨比距離R的變化情況Fig.4 Variations of vmax with R

圖5 粒子位移幅值umax隨比距離R的變化情況Fig.5 Variations of umax with R

圖6 tv隨比距離R的變化情況Fig.6 Variations of tv with R

圖7 tu隨比距離R的變化情況Fig.7 Variations of tu with R

圖8 粒子速度模擬曲線與試驗(yàn)曲線的對(duì)比Fig.8 Comparison between simulated and experimental curves of particle velocities

圖9 徑向應(yīng)力σ r和切向應(yīng)力σ θ 隨比距離R的變化Fig.9 Variations of radial stress σ r and tangential stress σ θ vs. R

圖10 徑向應(yīng)變?chǔ)?r和切向應(yīng)變?chǔ)?θ 隨比距離R的變化Fig.10 Variations of radial strain ε r and tangential strain ε θ vs. R

5 結(jié) 論

（1）基于變模量模型假定確定了黃土中粒子速度幅值時(shí)刻對(duì)應(yīng)的σr、σθ、εr、εθ，從εr和εθ的變化能夠看出，隨著球面波傳播距離的增加，介質(zhì)的應(yīng)變狀態(tài)趨于一維應(yīng)變狀態(tài)；同時(shí)還確定了黃土的彈性模量E=(1.927±0.216)GPa、體積模量K=(1.284±0.144)GPa、剪切模量G=(0.771±0.086)GPa。

（2）利用反演出的黃土力學(xué)量E、K、G作為基本參數(shù)，以 ZWT線黏彈性本構(gòu)為假定，通過對(duì)定義的誤差函數(shù)式（9）取極小值的方式確定了黃土的 ZWT線黏彈性本構(gòu)參數(shù)Ga=0.64 GPa（GM=0.13 GPa）、θM=21 μs。

（3）利用上述參數(shù)反演方法給出的黃土黏彈性參數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬，模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果吻合程度較好。另外，基于變模量模型確定的粒子速度幅值時(shí)刻對(duì)應(yīng)的σr、σθ、εr、εθ與數(shù)值模擬結(jié)果也進(jìn)行了對(duì)比，可以看出，兩種方法給出的應(yīng)力和應(yīng)變有較好的相容性。

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