疏松金屬材料沖擊溫度理論分析＊

何 源，何 勇，張先鋒，喬 良，趙曉寧，潘緒超

(南京理工大學(xué)智能彈藥技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室，江蘇 南京 210094)

固態(tài)物質(zhì)特別是疏松金屬?zèng)_擊溫度的計(jì)算在隕石碰撞成坑、粉末爆炸燒結(jié)以及利用含能金屬毀傷元?dú)繕?biāo)等領(lǐng)域［1-2］具有十分重要的意義。有關(guān)于固態(tài)物質(zhì)沖擊溫度的計(jì)算方法，從20世紀(jì)50年代至今已有了大量的研究［3-5］，歸納起來(lái)主要有2種方法［6］:(1)利用Grüneisen方程和沖擊絕熱線或利用等熵方程為參考線的Grüneisen物態(tài)方程計(jì)算沖擊溫度;(2)利用三項(xiàng)式物態(tài)方程計(jì)算沖擊溫度。上述2種方法均可對(duì)密實(shí)材料沖擊溫度進(jìn)行計(jì)算，但對(duì)于疏松金屬材料由于活躍的自由電子易受激發(fā)且晶格的非諧振效應(yīng)明顯，因此使用上述2種方法很難對(duì)疏松金屬材料的沖擊溫度進(jìn)行準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。方法1由于未考慮電子運(yùn)動(dòng)與晶格熱的影響，因此較難獲得準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果;方法2建立在完整的物態(tài)方程基礎(chǔ)上，因此要獲得較準(zhǔn)確的計(jì)算結(jié)果需要配合合適的疏松物質(zhì)沖擊絕熱線，而疏松物質(zhì)的沖擊絕熱線理論計(jì)算還并不完善，并且材料參數(shù)如非振諧因子需要實(shí)驗(yàn)確定［7］，目前尚未有一種方法能在理論上對(duì)疏松物質(zhì)沖擊溫度進(jìn)行較好的預(yù)測(cè)。

鑒于以上原因，本文中以現(xiàn)有密實(shí)金屬?zèng)_擊絕熱線和沖擊溫度計(jì)算式為基礎(chǔ)，通過(guò)等容線法推導(dǎo)出疏松金屬材料的沖擊溫度計(jì)算式。在正確選取密實(shí)材料狀態(tài)參量的情況下，可獲得較好預(yù)測(cè)結(jié)果。并經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)疏松金屬材料的沖擊溫度受材料密實(shí)度、沖擊壓力以及金屬材料的電子比熱系數(shù)影響明顯，對(duì)于金屬材料的沖擊壓縮溫度計(jì)算和進(jìn)一步深入研究疏松物質(zhì)沖擊響應(yīng)特性具有一定的參考價(jià)值。

1 疏松金屬材料沖擊溫度理論模型

密實(shí)物質(zhì)的Hugoniot物態(tài)方程為［7］

式中:E、p分別表示壓縮態(tài)體系的內(nèi)能和壓強(qiáng)，他們是比容v以及溫度T的函數(shù)。下標(biāo)0、s分別表示初始狀態(tài)和密實(shí)物質(zhì)的壓縮態(tài)。

由密實(shí)物質(zhì)的Hugoniot曲線沿等容線推導(dǎo)疏松物質(zhì)狀態(tài)，設(shè)密實(shí)物質(zhì)與疏松物質(zhì)的內(nèi)能、壓強(qiáng)以及溫度分別為Es、ps、Ts和Ep、pp、Tp，密實(shí)物質(zhì)的初始內(nèi)能與疏松物質(zhì)的初始內(nèi)能相等均為E0，即可得疏松物質(zhì)的Hugoniot物態(tài)方程為

式中:m為初始密實(shí)度，m=ρs/ρp=vp/vs，下標(biāo)p表示疏松物質(zhì)的壓縮態(tài)。

由三項(xiàng)式物態(tài)方程，在諧振子模型、自由電子氣模型和Grüneisen物態(tài)方程模型下，密實(shí)物質(zhì)內(nèi)能和壓強(qiáng)［7］可以表示為

同理對(duì)于疏松物質(zhì)有

式中:cV為定容比熱;γe為電子Grüneisen系數(shù);β0為零溫零壓下的電子熱容系數(shù);下標(biāo)c表示物態(tài)方程中晶體的冷部分，γ為Grüneisen系數(shù)，可取經(jīng)驗(yàn)關(guān)系:γ/v=γ0/v0。由式(2)減去式(1)得

將式(8)減去式(7)代入式(6)消去pp，整理后即可得到以疏松材料沖擊溫度Tp為變量的二元一次方程

疏松材料對(duì)于任意給定的密實(shí)度m都存在一個(gè)極限壓縮度，有γ(mv0－v)－2＞0。這與文獻(xiàn)［8］中關(guān)于多孔材料沖擊絕熱線的結(jié)論完全一致。要準(zhǔn)確計(jì)算疏松物質(zhì)的沖擊溫度，需要先得到對(duì)應(yīng)材料密實(shí)物質(zhì)的熱力學(xué)參量以及疏松物質(zhì)的冷壓pc和冷能Ec。

密實(shí)物質(zhì)的Hugoniot p-v方程為［9］

式中:c為壓力為零時(shí)材料聲速;s為沖擊波速度與粒子速度擬合曲線的斜率。

疏松物質(zhì)Hugoniot p-v方程有許多形式，本文中采用W.Herrmann［10］提出的最簡(jiǎn)單的形式，此處c、s與式(10)中相同

密實(shí)物質(zhì)沖擊溫度計(jì)算采用文獻(xiàn)［6］中的2種方法。

利用Grüneisen物態(tài)方程和經(jīng)驗(yàn)Hugoniot關(guān)系計(jì)算沖擊溫度

或者，利用三項(xiàng)式物態(tài)方程計(jì)算沖擊溫度

式中:T0為初始溫度;η為壓縮度η=1－v/v0;Eh為Hugoniot沖擊能量。

目前，在描述金屬的冷壓和冷能方面，Morse勢(shì)要好于Born-Mayer勢(shì)［11］，因此選用Morse勢(shì)計(jì)算

2 計(jì)算結(jié)果及比較

計(jì)算密實(shí)鐵的沖擊壓縮狀態(tài)參量 p、v、T，鐵的物性參數(shù)為［9］:ρ0=7.85 g/cm3，m=1.137，c=3.995 km/s，s=1.58，γe=0.5，γ =1.90，cV=0.45 J/(g·K)，β0=19.395 mJ/(kg·K2)，常溫常壓下體積膨熱脹系數(shù) αV0=4.3 ×10－5K－1，用來(lái)將常態(tài)密度修正到零溫零壓下密度;A=88.8 GPa，B=4.334，A、B與式(14)中相同。

圖1為根據(jù)式(10)計(jì)算的密實(shí)鐵p-v曲線與文獻(xiàn)［12］中實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較。從計(jì)算結(jié)果可以看出式(10)可以較好地描述密實(shí)物質(zhì)的沖擊壓力、比容關(guān)系。計(jì)算密實(shí)物質(zhì)的沖擊溫度有2種方法，分別由式(10)和式(12)或者式(13)聯(lián)立得出，圖2在給出了鐵的計(jì)算結(jié)果和文獻(xiàn)［12］中實(shí)驗(yàn)結(jié)果的比較。對(duì)比可以看出，利用Grüneisen物態(tài)方程和經(jīng)驗(yàn)Hugoniot關(guān)系計(jì)算沖擊溫度在低壓段與實(shí)驗(yàn)值吻合較好;但在高壓段，由于未考慮到晶體振動(dòng)和電子運(yùn)動(dòng)等影響因素，因此造成了計(jì)算結(jié)果偏大;相反利用三項(xiàng)式物態(tài)方程計(jì)算沖擊溫度考慮的影響因素較全面，因此得到的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)值更吻合。因此使用方法2確定式(9)中的密實(shí)物質(zhì)沖擊溫度。

圖1 密實(shí)鐵在沖擊壓縮狀態(tài)下的壓力-比容曲線Fig.1 Pressure-specific volume curve of solid iron in shock compression

圖2 密實(shí)鐵沖擊壓縮狀態(tài)下的溫度-壓力曲線Fig.2 Temperature-pressure curve of solid iron in shock compression

由以上分析可知，計(jì)算疏松材料的沖擊溫度的方法有3種:(1)熱力學(xué)關(guān)系和沖擊絕熱線計(jì)算沖擊溫度，即聯(lián)立式(11)和(12)計(jì)算得到;(2)利用三項(xiàng)式物態(tài)方程計(jì)算沖擊溫度，由于疏松物質(zhì)中非諧振效應(yīng)比較明顯，因此三項(xiàng)式物態(tài)方程中晶格部分需采用內(nèi)插形式或者液體的自由體積理論;(3)以密實(shí)物質(zhì)沖擊絕熱線和沖擊溫度為基礎(chǔ)計(jì)算疏松物質(zhì)沖擊溫度，即聯(lián)立式(9)和(11)計(jì)算得到。

使用方法2可準(zhǔn)確計(jì)算疏松物質(zhì)沖擊溫度，但需實(shí)驗(yàn)確定疏松物質(zhì)的非振諧因子［8］，因此在未準(zhǔn)確獲知疏松物質(zhì)非振諧因子的情況下使用方法1和本文中模型即方法3計(jì)算疏松物質(zhì)沖擊溫度，疏松鐵的初始密度為6.9 g/cm3。

表1和圖3給出了方法1與方法3就疏松物質(zhì)沖擊溫度與已有結(jié)果對(duì)比?？梢钥闯?(1)方法1在低壓段與方法3計(jì)算結(jié)果基本相同，但隨著壓力的增大計(jì)算結(jié)果增大很快且遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于方法3計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)值。這是由于未考慮物質(zhì)晶體振動(dòng)和電子運(yùn)動(dòng)等因素的影響，隨著壓力、溫度以及多孔度的增加物質(zhì)晶格熱和電子熱運(yùn)動(dòng)更顯著，因此使用方法1無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)疏松物質(zhì)的沖擊溫度，特別是在高壓力段和疏松度較大時(shí);(2)方法3計(jì)算結(jié)果與已有實(shí)驗(yàn)以及分子動(dòng)力學(xué)計(jì)算結(jié)果較吻合，誤差ε分別在5%和9%以?xún)?nèi)，這是由于方法3建立在三項(xiàng)式物態(tài)方程的基礎(chǔ)上，并由密實(shí)物質(zhì)的沖擊絕熱狀態(tài)沿等容線得到，充分考慮了物質(zhì)本身的晶格熱和電子熱運(yùn)動(dòng)，因此只要由計(jì)算或者實(shí)驗(yàn)獲得正確的密實(shí)物質(zhì)沖擊絕熱參量以及疏松物質(zhì)材料參數(shù)，即可得到較準(zhǔn)確的沖擊溫升結(jié)果;(3)方法3是以密實(shí)物質(zhì)Hugoniot線為基礎(chǔ)推導(dǎo)而來(lái)，因此也避免了如方法2計(jì)算沖擊溫度時(shí)需要先實(shí)驗(yàn)確定不同密實(shí)度和材料的非諧振因子，極大降低了計(jì)算難度。

圖3 沖擊壓縮狀態(tài)下疏松鐵的溫度-壓力曲線Fig.3 Temperature-pressure curve of porous iron in shock compression

圖4 由不同方法計(jì)算得到的疏松鐵在沖擊壓縮狀態(tài)下的溫度-壓力曲線Fig.4 Temperature-pressure curves of the porous iron in shock compression by different methods

表1 用不同方法獲得的不同沖擊壓力下的疏松鐵的沖擊溫度Table 1 Shock temperatures by different methods for the porous iron at different shock pressures

3 影響因素分析

3.1 密實(shí)物質(zhì)沖擊溫度

3.2 Grüneisen 系數(shù)

計(jì)算Grüneisen系數(shù)的經(jīng)驗(yàn)公式目前已有多種形式，γ/v=γ0/v0只是常用的一種。但林華令等［16］認(rèn)為此式并不適用于較高的壓力，因此給出如下經(jīng)驗(yàn)關(guān)系

圖5 由2個(gè)不同的經(jīng)驗(yàn)公式得到的Grüneisen系數(shù)隨壓力的變化Fig.5 Grüneisen parameter as a function of pressure by two different empirical formulas

圖6 由不同的Grüneisen系數(shù)經(jīng)驗(yàn)公式得到的疏松鐵在沖擊壓縮狀態(tài)下的溫度-壓力曲線Fig.6 Temperature-pressure curves of porous iron in shock compression by different empirical formulas for Grüneisen parameter

由圖5～6得出結(jié)論:(1)不同經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式計(jì)算結(jié)果幾乎完全一致，選取不同的Grüneisen系數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果無(wú)太大影響;(2)不同Grüneisen系數(shù)對(duì)密實(shí)材料沖擊溫度和本文疏松金屬材料沖擊溫度模型的影響均在2%以?xún)?nèi)，這可以說(shuō)明本模型的導(dǎo)出并未放大Grüneisen系數(shù)對(duì)沖擊溫度的影響。

3.3 電子 Grüneisen系數(shù)

只有在高溫或高密度的極限情況下γe=0.67［8］，在一般沖擊壓縮所能達(dá)到的溫度和密度范圍內(nèi)，γe為0.5 ～0.6。因此分別選取 0.5、0.6、0.67 對(duì)疏松物質(zhì)沖擊溫度進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如圖7 所示。

可以看出隨著電子Grüneisen系數(shù)的增大溫度也隨著升高。當(dāng)沖擊壓力分別為100、200 GPa時(shí)三者之間的最大誤差分別為2.8%和3.6%。因此電子Grüneisen系數(shù)的取值也對(duì)Tp影響不大。

3.4 電子比熱系數(shù)

鐵的電子比熱系數(shù) β0=19.395 mJ/(kg·K2)［8］，與文獻(xiàn)［6］中給出的 12.96 mJ/(kg·K2)接近。文獻(xiàn)［7］中由鐵的電子能帶結(jié)構(gòu)給出的電子比熱系數(shù)為89.5 mJ/(kg·K2)，導(dǎo)致這種差異的原因是鐵電子能帶結(jié)構(gòu)的異常。將2種電子比熱系數(shù)取值代入模型中計(jì)算Tp，結(jié)果如圖8所示。

圖7 針對(duì)不同的電子Grüneisen系數(shù)，計(jì)算得到疏松鐵的沖擊溫度-壓力曲線Fig.7 Shock temperature-pressure curves of porous iron calculated at different Grüneisen parameters

圖8 針對(duì)不同的電子比熱系數(shù)，計(jì)算得到疏松鐵的沖擊溫度-壓力曲線Fig.8 Shock temperature-pressure curves of porous iron calculated at different electronic specific heat coefficients

從圖8中可以看出，隨著電子比熱系數(shù)的增大溫度會(huì)減小，并且2個(gè)不同的取值所得溫度相差較大。由此可見(jiàn)電子能帶結(jié)構(gòu)的異?？梢砸饹_擊溫度的較大變化，在計(jì)算時(shí)需選用合適值。

4 結(jié)論

(1)以密實(shí)物質(zhì)的沖擊絕熱線為基礎(chǔ)，通過(guò)等容線法，結(jié)合三項(xiàng)式物態(tài)方程、物質(zhì)的冷壓、冷能以及Hugoniot方程推導(dǎo)出了疏松物質(zhì)的沖擊溫度計(jì)算方法。計(jì)算結(jié)果與已有實(shí)驗(yàn)和分子動(dòng)力學(xué)計(jì)算結(jié)果吻合較好，對(duì)比其他計(jì)算方法，本文中方法能更好的對(duì)疏松金屬?zèng)_擊溫度進(jìn)行預(yù)測(cè)，并且回避了不同密實(shí)度的金屬材料均需實(shí)驗(yàn)測(cè)定非振諧因子才能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)沖擊溫度的缺陷，在計(jì)算難度和精度上均有優(yōu)勢(shì)。本文中模型可較好的對(duì)疏松金屬材料的沖擊溫度進(jìn)行理論預(yù)測(cè)。

(2)對(duì)影響沖擊溫度計(jì)算值的若干因素進(jìn)行了分析，結(jié)果顯示Grüneisen系數(shù)、電子Grüneisen系數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果影響不大，電子比熱系數(shù)的電子能帶結(jié)構(gòu)異常會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生較大影響，這種異常還需進(jìn)一步研究。而本方法計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性很大程度依賴(lài)于密實(shí)物質(zhì)的沖擊壓縮狀態(tài)參量的選取。

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