墜落式危巖崩落的激振效應(yīng)與求解

唐紅梅，王 智，陳洪凱，鮮學(xué)福

(1.重慶交通大學(xué) 巖土工程研究所，重慶 400074;2.重慶大學(xué) 西南資源開發(fā)及環(huán)境災(zāi)害控制工程教育部重點實驗室，重慶 400040)

危巖是指由多組巖體結(jié)構(gòu)面切割并位于陡崖或陡坡上穩(wěn)定性較差的巖石塊體及其組合[1－2]。將危巖體后部貫通或斷續(xù)貫通且力學(xué)強度較低的帶定義為主控結(jié)構(gòu)面，其非線性失穩(wěn)擴展是危巖破壞失穩(wěn)的根本原因[1－4]。根據(jù)失穩(wěn)模式，可將危巖分為墜落式危巖、傾倒式危巖和滑塌式危巖，危巖發(fā)育遵循鏈?zhǔn)揭?guī)律[5－7]，并探討了危巖鏈?zhǔn)奖缆涞撵o力學(xué)關(guān)系[8]。目前危巖崩塌研究已由靜力學(xué)范疇進(jìn)入動力學(xué)發(fā)展階段。

巖體與應(yīng)力波的相互作用機理已有相應(yīng)研究，茹忠亮等[9]對彈性波在不同粗糙程度節(jié)理面的傳播性質(zhì)進(jìn)行了研究;Li等[10]針對線彈性節(jié)理巖體建立了P波斜入射情況下波的傳播方程;Zhao等[11]提出了應(yīng)力波穿過多層節(jié)理的非線性模型;Resende等[12]分析了應(yīng)力波在裂隙巖體中的衰減規(guī)律;Sarkar等[13]研究了縱波在岡瓦納系巖體中的傳播速度和衰減性能。

Nikitin等[14]分析了不同特征巖體在彈性波作用下將表現(xiàn)出特定的波場特征，Ju等[15]模擬巖體在波動力作用下的變形、破壞、能量耗散等機理，Kahraman等[16－17]研究了彈性波在巖體內(nèi)傳播時波速變化特征。本文應(yīng)用波動力學(xué)和斷裂力學(xué)方法分析危巖崩落對相鄰危巖塊產(chǎn)生的激振效應(yīng)，量化激振作用對危巖穩(wěn)定性的影響程度，為深入分析危巖破壞及崩落機制提供科學(xué)依據(jù)。

1 危巖崩落激振模型

危巖失穩(wěn)崩落的主要原因是在巖體內(nèi)部積累損傷，在自重與其他自然、人為因素的作用下產(chǎn)生卸荷裂隙，主控結(jié)構(gòu)面突發(fā)性失穩(wěn)斷裂而致災(zāi)。針對墜落式危巖(圖1)，建立危巖崩落激振模型(圖2)

圖1 墜落式危巖圖Fig.1 Falling perilous rock

圖2 危巖崩落激振模型Fig.2 Falling excitation model of perilous rock

由于危巖臨空結(jié)構(gòu)面引起危巖塊張應(yīng)力，裂隙豎向發(fā)育，群發(fā)性崩塌時的破壞面位置與起始危巖塊的斷裂面幾乎位于同一豎向位置[18]。

基本假定:

(1)各層之間膠結(jié)強度相對較低，可忽略不計，危巖體之間只有壓應(yīng)力;

(2)危巖塊崩落時產(chǎn)生激振波豎直向上和水平向山體內(nèi)傳播;

(3)由危巖體組成的邊坡屬于線彈性介質(zhì)。

圖2中，巖腔頂層1#危巖塊是整個危巖發(fā)育的關(guān)鍵。1#危巖塊崩落產(chǎn)生激振波水平向山體內(nèi)和豎直向上傳播時對鄰近的2#和3#危巖塊產(chǎn)生一定的損傷甚至誘發(fā)其失穩(wěn)。主控結(jié)構(gòu)面處為介質(zhì)特征突變部位，兩種介質(zhì)的波阻抗不同，在界面處激振波將發(fā)生反射和透射。以波的局部場特征定理為基礎(chǔ)，把任意形狀波入射在彎曲界面上的透反射問題看成是平面波在界面上的透反射問題以展開研究。

2 激振波正入射條件下主控結(jié)構(gòu)面受力分析

彈性波入射到主控結(jié)構(gòu)面上將產(chǎn)生反射波和透射波(圖3)，設(shè)結(jié)構(gòu)面右側(cè)為介質(zhì) i，其波阻抗為(ρvp)i，左側(cè)介質(zhì) j，其波阻抗為(ρvp)j。

圖3 彈性波在介質(zhì)分界面上的反射和透射Fig.3 Reflection and transmission of elastic wave on dielectric interface

激振波垂直入射時不產(chǎn)生反射橫波和透射橫波，本文主要考慮縱波的透反射情況。在主控結(jié)構(gòu)面兩側(cè)取兩個相鄰界面質(zhì)點M和N，當(dāng)入射波振面到達(dá)界面右側(cè)時，由波面上相容條件可求得M質(zhì)點的速度增量:

式中:σI為入射波強度(Pa);ρ為介質(zhì)密度(kg/m3);vp為激振P波波速(m/s)。

當(dāng)入射波反射后，M質(zhì)點獲得的速度增量:

式中:σR為反射波強度(Pa)。

在界面的左側(cè)，透射波通過N質(zhì)點獲得速度:

式中:σT為透射波強度(Pa)。

在界面兩側(cè)滿足質(zhì)點位移連續(xù)條件和應(yīng)力連續(xù)條件:

將式(1)～式(3)分別代入式(4)－式(5)得:

由波動理論，P波傳播方向巖體的應(yīng)變ε滿足:

式中:Cp是介質(zhì)質(zhì)點位移速度(m/s)。

根據(jù)Hooke定律:

式中，σd為正應(yīng)力(kPa);E為彈性模量(kPa)。則:

假定波在巖體中的震動為諧和震動，介質(zhì)質(zhì)點的位移速度C與其加速度a(m·s－2)和頻率f(Hz)滿足:

將式(11)代入式(10)得:

將式(12)代入式(6)得反射波強度:

將式(12)代入式(7)可得透射波強度:

由圖2，應(yīng)力波水平傳播時，1#危巖塊崩落后產(chǎn)生的激振波在2#危巖塊右部D結(jié)構(gòu)面產(chǎn)生反射作用，假定結(jié)構(gòu)面處反射波應(yīng)力均勻分布，沿圖2主控結(jié)構(gòu)面D取出單元體(圖4)。

圖4 激振波反射作用的主控結(jié)構(gòu)面Fig.4 Dominant fissure under the action of reflection of excitation wave

圖5 激振波對主控結(jié)構(gòu)面的剪應(yīng)力Fig 5 The shear stress of the excitation wave to the dominant fissure

激振波水平向山體內(nèi)正入射條件下危巖主控結(jié)構(gòu)面D所受反射力由式(13)和圖4:

由圖2，應(yīng)力波豎直向上傳播時，1#危巖塊崩落后產(chǎn)生的激振波通過2#危巖塊透射過結(jié)構(gòu)面C，所產(chǎn)生透射波對結(jié)構(gòu)面B產(chǎn)生剪應(yīng)力，沿圖2主控結(jié)構(gòu)面C取出單元體(圖5)。

激振波豎直向上傳播時透射過結(jié)構(gòu)面C對主控結(jié)構(gòu)面B作用的剪應(yīng)力由式(14)和圖5:

3 激振作用下危巖穩(wěn)定性斷裂力學(xué)分析

根據(jù)最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則第一基本假設(shè)[19]:裂紋的擴張沿著具有最大周向應(yīng)力σθmax的截面開裂。該截面與主控結(jié)構(gòu)面之間的夾角為主控結(jié)構(gòu)面的斷裂角θ0，取距裂紋尖端一微小距離r=r0的圓周上各點的周向應(yīng)力σ0為研究對象?？芍?，裂紋擴展時斷裂角θ0取決于下式:

式中，KⅠ為第一類應(yīng)力強度因子為第二類應(yīng)力強度因子

求解式(17)可得:

由最大周向應(yīng)力準(zhǔn)則可知[19]，復(fù)合裂紋的聯(lián)合應(yīng)力強度因子為:

根據(jù)KⅠ和KΠ并將式(18)代入式(19)可求得聯(lián)合應(yīng)力強度因子Ke。根據(jù)主控結(jié)構(gòu)面聯(lián)合應(yīng)力強度因子和危巖完整巖石斷裂韌度建立危巖穩(wěn)定性系數(shù)的斷裂力學(xué)表達(dá)式[20]:

式中:Ke由不同工況下危巖體在不同荷載組合下進(jìn)行求解;斷裂韌度KⅠC為完整巖石的斷裂韌度。

分別求出不考慮激振作用(天然狀態(tài)和暴雨狀態(tài))下的危巖穩(wěn)定性系數(shù)(Fs1)和考慮激振作用(天然狀態(tài)和暴雨狀態(tài))危巖穩(wěn)定性系數(shù)(Fs2)，求得危巖崩落激振作用對危巖穩(wěn)定性的貢獻(xiàn)率:

式中:ΔFs為 ΔFs1與 ΔFs2之差值。

4 激振作用下主控結(jié)構(gòu)面應(yīng)力強度因子

4.1 激振波水平入射的斷裂力學(xué)分析

巖腔頂層起始巖塊崩落誘發(fā)激振波所產(chǎn)生的激振脈沖穿過主控結(jié)構(gòu)面時，因兩側(cè)介質(zhì)特征存在差異，在界面處將產(chǎn)生反射力和透射力，將影響主控結(jié)構(gòu)面處應(yīng)力強度因子。

由圖4分析可知起始巖塊崩落時，在2#危巖塊主控結(jié)構(gòu)面D處由激振波反射力作用下應(yīng)力強度因子為:

代入式(15)得:

危巖主控結(jié)構(gòu)面端部荷載除激振作用的影響因素外，還表現(xiàn)在危巖體自重所產(chǎn)生的彎矩和裂隙水壓力所產(chǎn)生的張拉應(yīng)力，沿圖2主控結(jié)構(gòu)面D取出的單元體，還可分解為另外兩種情況，即僅由彎矩作用(情況1、圖6)和僅由裂隙水壓力作用(情況2、圖7)

圖6 彎矩作用的主控結(jié)構(gòu)面圖Fig.6 Dominant fissure under the action of bending moment

圖7 裂隙水壓力作用的主控結(jié)構(gòu)面Fig.7 Dominant fissure under the action of crack hydraulic pressure

對于情況1，主控結(jié)構(gòu)面D處由彎矩引起的應(yīng)力強度因子KⅠ2[20]為:

式中:

式中:F為最小二乘法經(jīng)驗公式求得的應(yīng)力修正因子;σmax為主控結(jié)構(gòu)面尖端最大應(yīng)力(kPa)。

對于情況2:假定裂隙水壓力在主控結(jié)構(gòu)面貫通段均勻分布，則由此產(chǎn)生的應(yīng)力強度因子KⅠ3

[20]為:

式中，γw為水容重(9.8 kN/m3);e1為主控結(jié)構(gòu)面內(nèi)充水深度(m)，天然狀態(tài)下e1取主控結(jié)構(gòu)面貫通段1/3，暴雨狀態(tài)取 2/3[20]。

以上三種情況下，KΠ均為0，則式(19)可簡化為:

將式(23)、式(24)和式(27)代入式(29)，可求得激振波作用下主控結(jié)構(gòu)面的聯(lián)合應(yīng)力強度因子為:

分別將式(25)、式(28)和式(26)代入式(30)整理可得:

4.2 激振波豎直入射的斷裂力學(xué)分析

由圖5分析可知起始巖塊崩落時，臨近巖塊主控結(jié)構(gòu)面B處受激振波透射力作用，其應(yīng)力強度因子KΠ[19]為:

聯(lián)合式(16)得:

危巖主控結(jié)構(gòu)面端部荷載還表現(xiàn)在危巖體自重所產(chǎn)生的彎矩和裂隙水壓力所產(chǎn)生的張拉應(yīng)力，沿圖2主控結(jié)構(gòu)面B取出的單元體(圖8)。

圖8 裂隙水及彎矩作用下的主控結(jié)構(gòu)面Fig.8 Dominant fissure under the the action of bending moment and fissure water

同理推導(dǎo)，裂隙水壓力及彎矩對應(yīng)力強度因子的貢獻(xiàn)同式(24)和式(27)，由應(yīng)力強度因子疊加原理:

將式(24)和式(27)代入式(34)得:

將式(33)和式(35)代入式(19)可得主控結(jié)構(gòu)面聯(lián)合應(yīng)力強度因子為:

5 算例

綦江羊叉河陡崖位于三峽庫區(qū)重慶市綦江縣南部，地處背斜核部，陡崖由灰?guī)r和泥巖構(gòu)成，呈現(xiàn)顯著的倒臺階狀地貌形態(tài)。陡崖高差34～36 m，巖層由近于水平的灰?guī)r和泥巖互層，下部泥巖厚約20 m左右，夾4.3 m灰?guī)r，灰?guī)r上部泥巖出露處發(fā)育高約5 m左右、深約3 m的巖腔，灰?guī)r下部泥巖出露處為寬緩的侵蝕平臺，寬約25 m左右，松藻礦區(qū)鐵路從該平臺通過[5]。區(qū)內(nèi)危巖帶底部為泥巖構(gòu)成的軟弱基座，由于抗風(fēng)化能力相對較弱，常形成深淺不一的巖腔，上部危巖體主要為近直立的灰?guī)r體，相關(guān)物理力學(xué)參數(shù)如表1[5]。

表1 羊叉河危巖體物理力學(xué)參數(shù)Tab.1 Physical and mechanical parameters of Yangcha River perilous rock

羊叉河危巖帶的危巖體危巖W10崩落而至的激振波以正入射波對危巖W11、W12穩(wěn)定性特征進(jìn)行了斷裂力學(xué)分析(圖9)。C=a/(2πf)為激振波引起危巖體質(zhì)點的振動速度，根據(jù)不同的工況取值不同，本文取值為30(mm·s－1)作為計算值[21－22]，計算結(jié)果如表2 所示。

圖9 羊叉河危巖W11、W12危巖Fig.9 W11#and W12#perilous rock of Yangcha River

表2 羊叉河W11#和W12#危巖計算表Tab.2 Calculation table for W11#andW12#perilous rock of Yangcha River

表2為羊叉河W11#和W12#危巖，在天然和暴雨兩種工況，分別計算了不考慮激振效應(yīng)和考慮激振效應(yīng)的的危巖應(yīng)力強度因子值，結(jié)果表明:考慮危巖崩落激振波效應(yīng)后，危巖應(yīng)力強度因子值在天然和暴雨兩種工況下都有明顯的增長趨勢，崩落激振波以豎直平方傳播比水平方向向山體里傳播影響大得多，豎直方向增長了10%左右，水平方向增長了2%左右。其研究成果對實施危巖防災(zāi)減災(zāi)提供了重要的科學(xué)依據(jù)。因此，對于墜落式危巖，群發(fā)性崩落現(xiàn)象常豎向發(fā)育，應(yīng)特別重視下部危巖塊崩落時對上部巖體塊的激振效應(yīng)。

6 結(jié)論

(1)群發(fā)性危巖崩落考慮危巖體之間的相互作用十分重要。針對墜落式危巖，提出了危巖崩落激振計算模型。分析了危巖崩落激振波正入射條件下危巖主控結(jié)構(gòu)面的受力特征，建立了激振作用下危巖體主控結(jié)構(gòu)面尖端聯(lián)合應(yīng)力強度因子計算式。

(2)危巖崩落時的激振波對危巖體穩(wěn)定性影響的大小與起崩危巖塊自身特征、危巖體彈性模量、泊松比、巖體密度等參量有關(guān)。當(dāng)危巖體主控結(jié)構(gòu)面兩側(cè)彈性模量、泊松比、巖體密度等物理力學(xué)參數(shù)相差越大，激振效應(yīng)越明顯。

(3)實例分析表明，考慮危巖崩落激振作用后，危巖穩(wěn)定性系數(shù)在天然和暴雨兩種工況下都有明顯降低趨勢，崩落激振波以豎直平方傳播比水平方向山體里傳播影響要大得多，豎直方向降低10%左右，水平方向降低2%左右。根據(jù)危巖崩落激振作用對危巖穩(wěn)定性的貢獻(xiàn)率特征可知，激振波極易誘發(fā)接近臨界狀態(tài)的危巖體失穩(wěn)，出現(xiàn)危巖的群發(fā)性崩落。因此在工程治理及危巖穩(wěn)定性的計算中應(yīng)恰當(dāng)考慮激振波對危巖體的失穩(wěn)效應(yīng)。

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