一類(lèi)非線(xiàn)性Jerk方程的改進(jìn)兩變量展開(kāi)法

鄭敏毅，張 農(nóng)，孫光永

(湖南大學(xué) 汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410082)

非線(xiàn)性Jerk方程是位移具有三階導(dǎo)數(shù)含有三次非線(xiàn)性項(xiàng)的微分方程。該方程可以描述一些非線(xiàn)性物理問(wèn)題，例如:三階力學(xué)振子模型[1]。近來(lái)已有很多學(xué)者對(duì)非線(xiàn)性Jerk方程的近似周期解的研究非常感興趣[2－6]。Gottlieb[2]用低階諧波平衡法探討了非線(xiàn)性Jerk方程的近似周期解，但是得到的低階近似解在參數(shù)比較大時(shí)精度不高。我們很難通過(guò)諧波平衡法得到非線(xiàn)性Jerk方程的高階近似解，這是由于用諧波平衡法求解Jerk方程的高階近似解過(guò)程中需要計(jì)算非常復(fù)雜的非線(xiàn)性代數(shù)方程組。Wu等[3]利用牛頓諧波平衡法分析非線(xiàn)性Jerk方程得到了高階近似解，得到的高階近似解在大參數(shù)情況下精度也比較高。Ma等[4]應(yīng)用同倫攝動(dòng)法求解非線(xiàn)性Jerk方程得到的高階近似解比低階諧波平衡得到的近似解的精度高。Hu等[5－6]分別應(yīng)用攝動(dòng)法和改進(jìn)的Mickens迭代法分析了非線(xiàn)性Jerk方程，其中高階近似角頻率是利用牛頓法求解非線(xiàn)性代數(shù)頻率方程得到。多尺度法[7－11]是求解非線(xiàn)性振動(dòng)問(wèn)題的一種重要方法，一般經(jīng)典的多尺度法對(duì)弱非線(xiàn)性問(wèn)題的求解比較有效。Thomson[12]和Awrejcewicz等[13]用Krylov方法將攝動(dòng)法推廣到處理不含線(xiàn)性恢復(fù)力的非線(xiàn)性振動(dòng)問(wèn)題。為了使多尺度法適用于強(qiáng)非線(xiàn)性振動(dòng)問(wèn)題，Pakdemirli等[14]將 Lindstedt-Poincare方法與多尺度法結(jié)合提出了改進(jìn)的多尺度法并成功的運(yùn)用于二階非線(xiàn)性振動(dòng)問(wèn)題的求解;Hu等[15]將Lindstedt-Poincare方法與兩變量展開(kāi)法結(jié)合提出改進(jìn)的兩變量展開(kāi)法，改進(jìn)的兩變量展開(kāi)法和改進(jìn)的多尺度法的求解效果相同，但計(jì)算同一個(gè)問(wèn)題時(shí)前者的計(jì)算量要小一些。本文將應(yīng)用改進(jìn)的兩變量展開(kāi)法求解非線(xiàn)性Jerk方程的高階近似解。

1 改進(jìn)的兩變量展開(kāi)法

由文獻(xiàn)[2]可知，含有三次非線(xiàn)性項(xiàng)Jerk方程的一般形式為:

其中:參數(shù) γ，α，β，δ，ε和a0是常數(shù)。這里的β，δ和ε至少有一個(gè)是非零。如果ε=0，則要求δ≠－2α，這是為了使Jerk方程不能簡(jiǎn)化成加速度對(duì)時(shí)間求導(dǎo)的方程。將方程(1)改寫(xiě)為:

其中:p為嵌入?yún)?shù)表示方程(1)右邊的三次非線(xiàn)性項(xiàng)函數(shù)。引入兩個(gè)時(shí)間尺度:

對(duì)時(shí)間t的各階導(dǎo)數(shù)可以表示成:

其中:D0表示，D1表示用 Lindstedt-Poincare方法將方程(3)的周期解和角頻率用p的冪級(jí)數(shù)形式表示:

或:

其中:ωi為待定參數(shù)。將式(8)和式(10)代入方程(3)和初始條件(2)，比較方程兩邊p的同次冪系數(shù)可以得到以下線(xiàn)性偏微分方程組和相應(yīng)的初始條件

依次求解以上的線(xiàn)性偏微分方程組，通過(guò)消除長(zhǎng)期項(xiàng)將逐次待定常數(shù)ωi，從而可以依次計(jì)算xi(η，ξ)。

2 算例

不失一般性，考慮α=ε=1，β=δ=γ=0時(shí)，方程(1)變成以下方程:

線(xiàn)性偏微分方程組(11)～(13)變成:

方程(15)的解為:

其中:cc表示前面項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù)。將式(18)代入方程(16)化簡(jiǎn)得到:

消除長(zhǎng)期項(xiàng)要求:

則:

從方程(21)可知A為常數(shù)，考慮x0滿(mǎn)足的初始條件可得:

將式(23)代入方程(22)，則:

將式(23)代入式(18)得:

方程(19)的解為:

將式(18)和(26)代入方程(17)化簡(jiǎn)得:

消除長(zhǎng)期項(xiàng)要求

則:

從方程(29)可知 B為常數(shù)，考慮x1滿(mǎn)足的初始條件可得:

將式(23)和(31)代入方程(30)求解ω2得:

將式(23)和(32)代入式(26)，x1的表達(dá)式為:

則方程(27)的解為:

其中:

將x0，x1和x2代入三階方程可以確定C為常數(shù)，考慮x2滿(mǎn)足的初始條件可得:

將式(37)代入式(34)得:

令嵌入?yún)?shù)p=1，則方程(14)的一階近似周期解xa1(t)為:

其中角頻率ω由以下方程給出:

將方程兩邊同乘以ω2，則方程(40)變成:

求解方程(41)得到ω2的正根為:

一階近似角頻率 ωa1為:

由式(43)給出的一階近似角頻率表達(dá)式與諧波平衡法[2－3]、攝動(dòng)法[4－5]和迭代法[6]得到的一階近似角頻率表達(dá)式一致。其相應(yīng)的一階近似周期Ta1為:

用同樣的方法可以得到方程(14)的二階近似周期解為:

其中頻率ω由以下方程確定:

整理方程(46)得:

利用牛頓法將方程(47)線(xiàn)性化，將ω2看作加上一個(gè)修正項(xiàng)Δ，即:

其中:

二階近似角頻率ωa2為:

或:

由式(49)～(53)給出的二階近似角頻率與Hu[5]用攝動(dòng)法得到的二階近似角頻率是一致的。其相應(yīng)的二階周期為:

3 討論

為了說(shuō)明文中給出的近似解的有效性。用TW2表示W(wǎng)u等[3]由改進(jìn)諧波平衡法得到的二階近似周期，TM2表示Ma等[4]由同倫攝動(dòng)法得到的二階近似周期，TH2表示Hu等[6]由迭代法得到二階近似周期。表1給出各近似周期與方程(14)的精確周期Te在不同初始值a0的比較。表2給出在不同的初始值a0時(shí)各近似周期誤差的比較。從表1和表2可以看出當(dāng)初始值a0=1時(shí)，一階近似周期和各二階近似周期與方程(12)的精確周期相等。當(dāng)初始值a0＜1時(shí)，Ta2和TH2比TW2和TM2要精確得多。近似周期Ta2和TH2比精確周期大，而近似周期TW2和TM2均比精確周期小;當(dāng)初始值a0＞1時(shí)，所有近似周期均比精確周期小。文中給出二階近似周期Ta2的精度不如TW2，TW2和TH2的精度，但二階近似周期最差的精度僅為－0.235%。從表1和表2可以看出改進(jìn)的兩變量展開(kāi)法能夠有效地處理這類(lèi)不含速度線(xiàn)性項(xiàng)非線(xiàn)性Jerk方程。

圖1～圖3分別給出了一階近似周期解xa1和二階近似周期解xa2在初始值a0等于0.1，2和20時(shí)與數(shù)值解xnum的位移時(shí)間曲線(xiàn)圖的比較，其數(shù)值解xnum是通過(guò)用Runge-Kutta法求解Jerk方程(14)得到。從圖1～圖3可以看出在不同初始值a0，二階近似周期解與數(shù)值解都吻合得很好，二階近似周期解的精度比一階近似周期解的精度高很多。當(dāng)初始值a0較小時(shí)，一階近似周期解的誤差比較大，隨著初始值a0的增大，一階近似周期解的與數(shù)值解的絕對(duì)誤差先減小后增大。但是一階近似周期解在初始值a0＞1時(shí)比初始值 a0＜1時(shí)的精度要高。

表1 各近似周期與精確周期的比較Tab.1 Comparison the approximate periods with the exact periods

表2 各近似周期誤差的比較Tab.2 Comparison the relative percentage error of approximate periods

圖1 當(dāng) a0=0.1，Te=25.359 725時(shí)，各階近似周期解與數(shù)值解的比較Fig.1 Comparison the approximate solutions with the numerically exact solution for a0=0.1，Te=25.359 725

圖2 當(dāng) a0=2.0，Te=3.508 793 0時(shí)，各階近似周期解與數(shù)值解的比較Fig.2 Comparison the approximate solutions with the numerically exact solution for a0=2.0，Te=3.508 793 0

圖3 當(dāng)a0=20，Te=0.370 580時(shí)，各階近似周期解與數(shù)值解的比較Fig.3 Comparison the approximate solutions with the numerically exact solutionfor a0=20，Te=0.370 580

文中給出的算例不含速度線(xiàn)性項(xiàng)，如果用經(jīng)典的多尺度法和經(jīng)典的兩變量展開(kāi)法求解，則需要在方程(14)兩邊添加一個(gè)線(xiàn)性項(xiàng)ω20x·(ω0≠0)。但這樣做使求解得到的近似周期解和近似角頻率都與ω0有關(guān)，ω0的選取直接影響近似解的精度，當(dāng)ω0選擇不合適時(shí)，近似解的誤差將非常大。因此經(jīng)典的多尺度法和經(jīng)典的兩變量展開(kāi)法不再適用于求解不含速度線(xiàn)性項(xiàng)的非線(xiàn)性Jerk方程。然而改進(jìn)的兩變量展開(kāi)法結(jié)合了Lindstedt-Poincare展開(kāi)技術(shù)，利用式(10)將線(xiàn)性項(xiàng)系數(shù)γ表示成系統(tǒng)的頻率ω和待定參數(shù)ωi的冪級(jí)數(shù)形式，即使γ=0式(10)也成立。利用改進(jìn)的兩變量展開(kāi)法求解方程(14)得到的近似周期解和近似周期與線(xiàn)性項(xiàng)系數(shù)γ無(wú)關(guān)，因此改進(jìn)的兩變量展開(kāi)法能夠用于求解非線(xiàn)性Jerk方程，甚至在γ=0的情況下該方法仍然有效。

4 結(jié)論

本文應(yīng)用改進(jìn)的兩變量展開(kāi)法求解非線(xiàn)性Jerk方程的近似解。與經(jīng)典多尺度法不同是該方法結(jié)合Lindstedt-Poincare展開(kāi)技術(shù)，因此在求解非線(xiàn)性Jerk方程時(shí)，即使Jerk方程不含速度線(xiàn)性項(xiàng)改進(jìn)的兩變量展開(kāi)法對(duì)Jerk方程求解仍然有效。文中給出了一個(gè)不含速度線(xiàn)性項(xiàng)的非線(xiàn)性Jerk方程的例子，其高階近似頻率是利用牛頓法求解頻率非線(xiàn)性代數(shù)方程得到。從圖表可以看出由改進(jìn)的兩變量展開(kāi)法得到的二階近似解的精度很高。結(jié)果表明，改進(jìn)的兩變量展開(kāi)法對(duì)非線(xiàn)性Jerk方程求解非常有效，該方法還可以應(yīng)用于求解其它類(lèi)似的三階微分方程。

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