柔性基礎(chǔ)主動隔振系統(tǒng)的縮聚建模和時滯問題研究

宋 攀，董興建，孟 光

(上海交通大學(xué) 機械系統(tǒng)與振動國家重點實驗室，上海 200240)

浮筏裝置是一個集多種動力學(xué)元件為一體的混合動力學(xué)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)緊湊，附加質(zhì)量少，隔振效果好，且具有良好的抗沖性能。隨著現(xiàn)代浮筏裝置向大型化和輕型化方向的發(fā)展，浮筏結(jié)構(gòu)設(shè)計有以下不足之處，首先在現(xiàn)有的分析設(shè)計過程中假定筏架和基礎(chǔ)是剛性的，忽略了振動過程中產(chǎn)生的彈性變形;其次，上述浮筏隔振裝置的實質(zhì)是一種振動被動控制技術(shù)，對超低頻振動和寬帶隨機振動的隔振效果并不理想。為了進一步提高艦艇的聲隱身性能，有必要在浮筏隔振裝置中引入作動器，然而傳感器信號的采集、傳輸和作動器的作動過程等都不可避免的存在時滯現(xiàn)象。力學(xué)工作者在主動隔振研究中采用了很多控制理論中的成熟方法[1－2]，如特征結(jié)構(gòu)配置方法，自適應(yīng)控制，H∞控制[3－4]。在建立了反映系統(tǒng)力學(xué)本質(zhì)的數(shù)學(xué)模型之后，對其實施振動主動控制就不存在理論上的特殊性。但是對于主動隔振系統(tǒng)中的時滯現(xiàn)象以及時滯對控制效果的影響，目前尚沒有文獻報導(dǎo)。以往人們?yōu)榱死碚摲治龊涂刂破髟O(shè)計的方便，總是忽略時滯，但即使是小時滯量也可能會導(dǎo)致在系統(tǒng)不需要能量時向其輸入能量，進而引起控制效率的下降，甚至控制系統(tǒng)失穩(wěn)。另外，我們發(fā)現(xiàn)，全模型最優(yōu)控制需要測出受控對象的所有狀態(tài)參數(shù)，而對于大型浮筏這樣的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，其狀態(tài)參數(shù)通常很多，這必然導(dǎo)致測試和在線數(shù)據(jù)處理的工作量很大，使得時滯效應(yīng)變得非常明顯，嚴重影響控制效果。而現(xiàn)有的浮筏隔振裝置的建模方法，即多剛體法、波分析法[5]，又往往只考慮結(jié)構(gòu)的剛性而忽略彈性。有限元法雖然理論上可適用于任意復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，然而，為了保證計算精度，有限元模型必然會很大，給進一步的動力分析帶來很大不便。

為了解決以上技術(shù)難題，本文以浮筏裝置為研究對象，針對其建模問題和時滯主動控制問題進行研究?？紤]中間質(zhì)量的柔性和基礎(chǔ)的彈性，建立復(fù)雜柔性主動隔振系統(tǒng)模型，并通過把裝置中彈性體的有限元模型在物理空間中進行減縮，建立各自的超單元，然后在把這些超單元與裝置中的其它結(jié)構(gòu)一起建立總體模型;將主動隔振的思想引入浮筏隔振系統(tǒng)，并率先在主動隔振系統(tǒng)中考慮作動器的時滯效應(yīng)，將時滯連續(xù)控制系統(tǒng)離散為形式上不包含有時滯的標(biāo)準(zhǔn)離散形式，然后按照離散最優(yōu)控制方法進行控制設(shè)計。因最優(yōu)離散控制律直接從時滯微分方程中得出，且推導(dǎo)中無近似處理和估計，因此該方法易于保證控制系統(tǒng)的性能和穩(wěn)定性。

1 基本理論

1.1 柔性耦合系統(tǒng)超單元縮聚[6]

假設(shè)任意結(jié)構(gòu)的無阻尼動力學(xué)方程為:

通常來說，保留自由度應(yīng)包括有外載荷作用的自由度、給定位移的自由度、與其它單元連接的節(jié)點自由度和要考察的自由度等，因此式(2)中的Fd應(yīng)為零向量。把式(2)中的第二式展開，有:

在式(3)中，由于括號中的第一和第二項均不與xh成線性關(guān)系，因此很難直接從該式中求得xd與xh的關(guān)系矩陣。為此假定:

則有:

顯然，Xd和Xh之間的關(guān)系矩陣R(0)忽略了式(3)中慣性力的影響，故該矩陣只有在靜態(tài)時才是精確的，而對于動力學(xué)問題必然存在誤差。構(gòu)造n×k階坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣P(0)為:

其中:I為k×k階單位矩陣。假定與此結(jié)構(gòu)對應(yīng)的超單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別為和則有:

相應(yīng)地該超單元的自由振動方程為:

式(8)即為經(jīng)典超單元法，此處的保留自由度即超單元的自由度是事先給定的，不能進行優(yōu)化，這必然使得關(guān)系矩陣R(0)的精度很低。相應(yīng)地，建立在該基礎(chǔ)上的超單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣也存在很大的誤差，且隨著振動頻率的增加，該誤差越來越大。為了解決該問題，對前面給出的關(guān)系矩陣零階近似R(0)進行修正。從式(8)可得:

考慮到式(5)、式(9)和式(3)，并整理可得:

從式(10)可得關(guān)系矩陣的第一次近似值:

1.2 線性時滯系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)離散狀態(tài)方程

考慮如下n自由度的結(jié)構(gòu)模型:

其中:x(t)∈Rn是基礎(chǔ)、筏架和質(zhì)量塊的絕對位移;M分別是系統(tǒng)經(jīng)超單元縮聚后的質(zhì)量，阻尼和剛度矩陣;U(t－λ)∈Rr為控制力向量;λ為時滯量為控制力位置矩陣;F(t)為外激勵載荷。假定時滯量λ可描述為如下形式:

其中:

設(shè)在連接的控制對象和控制器間有一零階保持器連接，即:

式(16)表明，作動器在相鄰兩個采樣點間按常值對系統(tǒng)施加控制力。U(k)實際上代表第k步控制U(kT)，為表達方便文中其他變量表達同此。

考慮到時滯量不一定為采樣周期的整數(shù)倍，將狀態(tài)空間變?yōu)殡x散形式:

1.3 控制律的設(shè)計

按照最優(yōu)控制設(shè)計方法，當(dāng)進行最優(yōu)控制設(shè)計時，可不考慮外部激勵項。對于如下線性離散定常系統(tǒng)

給定二次型性能指標(biāo)函數(shù)為:

其中:Q是非負定對稱陣，R是正定對稱陣。設(shè)S(k)是如下離散Riccatik)差分方程的解:

對于任何非負定對稱陣Q0有:

存在，且S是與Q0無關(guān)的常數(shù)陣。而且，S是如下離散Riccati代數(shù)方程:

的唯一正定對稱陣。則穩(wěn)態(tài)控制律可表達如下:

此控制律可使式(24)所示的性能指標(biāo)函數(shù)Jd極小。

因為式(24)所示的性能指標(biāo)函數(shù)只能夠保證系統(tǒng)采樣點上具有好的響應(yīng)性能，不能保證系統(tǒng)在采樣點也具有良好的響應(yīng)性能，甚至可能在采樣點間隱藏著振蕩現(xiàn)象。為使系統(tǒng)具有令人滿意的連續(xù)響應(yīng)性能，目標(biāo)函數(shù)取連續(xù)的二次型函數(shù)將能反應(yīng)實際系統(tǒng)的性能要求。因此，考慮如下連續(xù)二次型目標(biāo)函數(shù):

式(29)可進一步表示為:

其中:

因此，現(xiàn)在問題變?yōu)閷κ?19)所示的離散狀態(tài)方程，尋求最優(yōu)控制式所示的性能指標(biāo)Jc極小，從而可以采用式(23)～式(28)所示的方法進行求解，最優(yōu)控制可表達為:

其中:L1～Ll+1分別是L的相應(yīng)維數(shù)的分塊矩陣，由式(32)可見，此時的最優(yōu)控制除直接的線性反饋外，還包含前l(fā)拍控制量的線性組合。

2 數(shù)值分析

圖1給出了一浮筏裝置的簡化模型[6]，m1=100 kg和m2=120 kg表示被隔振機械;筏A架與基礎(chǔ)B的尺寸分別為1.2 m ×0.8 m ×0.02 m 和2.8 m ×0.8 m ×0.04 m，基礎(chǔ)B的兩短邊簡支、兩長邊自由;上下兩層彈簧隔振k1=1.0×105N/m，k2=5.0×105N/m，材料的彈性模量 E=2.0 ×1011N/m2，密度為 ρ=7 800 N/m3。

基于浮筏系統(tǒng)為對象，以降低振源引起自身及彈性基礎(chǔ)振動幅值為目標(biāo)，并假定只在如圖1所示位置施加主動控制，即在板式筏架上下兩層與被隔振機械對位的直線上安裝四個主動隔振器。我們知道，設(shè)備放置在筏架上，浮筏基座又與殼體彈性連接。浮筏裝置一方面可以減小放置在筏架上的機組擾動源自身振動，另一方面可是使柴油機和電機發(fā)出的機械噪聲緩沖衰減，不能或較少傳出潛艇外，達到隱身的作用。為了考察筏架上設(shè)備自身振動，以及浮筏與潛艇連接板的隔振效果，并且考慮到浮筏結(jié)構(gòu)的對稱性，選取如圖1所示的兩個目標(biāo)點。激勵力采用0～50 Hz的白噪聲，持續(xù)時間取為20 s，采樣周期取為T=0.002 s，性能指標(biāo)式(24)中Q和R依據(jù)經(jīng)驗選取;數(shù)值計算采用四階龍格庫塔法。

圖1 浮筏模型主動控制施加點與目標(biāo)點示意圖Fig.1 The locations of active control and the target points of the floating raft model

2.1 超單元縮聚

由于筏架和基礎(chǔ)均是彈性的，因此在對該系統(tǒng)建模之前首先用常規(guī)方法對筏架和基礎(chǔ)進行有限元建模。由于彈簧只有z方向的位移，因此選擇圖1中筏架A上與彈簧阻尼器相連的12個節(jié)點上z方向的線位移為保留自由度得到筏架超單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別為KA和MA。同樣，選擇圖1中基礎(chǔ)B上與彈簧阻尼器相連的12個節(jié)點上Z方向的線位移為保留自由度得到的基礎(chǔ)模型超單元的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣分別為KB和MB。將筏架和基礎(chǔ)的超單元剛度矩陣和質(zhì)量矩陣與浮筏的其它部件組裝成結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣和總質(zhì)量矩陣如式(33)，其中，KC和MC分別為由彈簧和機械在系統(tǒng)總體坐標(biāo)中形成的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣。當(dāng)浮筏的總體剛度矩陣和質(zhì)量矩陣建立以后，就可以對其進行動態(tài)性能分析。

將完整未縮聚模型在有限元軟件中所求得的系統(tǒng)固有頻率作為精確解。表1是完整模型與降階模型的前二十階固有頻率比較?？梢钥闯觯帽疚奶岢龅某瑔卧７椒ń⑵饋淼挠邢拊惦A模型共有26個自由度，顯然它比未降階的模型小得多，而用該降階模型求得的系統(tǒng)前二十階固有頻率與精確解基本吻合。

2.2 最大時滯量的確定和控制效果比較

當(dāng)控制系統(tǒng)中不存在時滯，即λ=0時，式(29)所示的連續(xù)形式性能指標(biāo)所確定的最優(yōu)控制律對存在時滯的結(jié)構(gòu)進行振動控制，結(jié)構(gòu)各節(jié)點的峰值絕對位移和峰值控制力值隨時滯量λ的變化曲線由圖2所示?？梢钥闯?，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的最大允許時滯量可近似確定為λ=0.000 4 s。由此可知，控制系統(tǒng)中時滯問題應(yīng)得到人們的足夠重視，否則控制系統(tǒng)有可能發(fā)生不穩(wěn)定現(xiàn)象。

當(dāng)采用的是線性離散定常性能指標(biāo)Jc進行控制律設(shè)計時。施加主動控制前后的系統(tǒng)響應(yīng)對比，如圖3所示。圖4為結(jié)構(gòu)各個目標(biāo)點的峰值響應(yīng)和峰值控制力隨時滯λ的變化曲線，可以看出，本文所提控制方法不但較好的控制結(jié)構(gòu)的峰值響應(yīng)，而且即使控制系統(tǒng)中存在較大的時滯量，所提控制方法仍能保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。同時，當(dāng)選擇合適的時滯量時能夠在較小的控制代價情況下，達到更好的控制效果。

表1 完整模型頻率與降階模型頻率(Hz)Tab.1 The frequency of the complete model and reduced model(Hz)

圖2 用無時滯時所設(shè)計的控制律對有時滯時結(jié)構(gòu)進行控制的峰值響應(yīng)Fig.2 The peak response of the control system with delay controled by the control law designed for the system without time delay

圖3 各目標(biāo)點響應(yīng)對比(λ =0.2 s，T=0.002 s)Fig.3 Comparison of the response of the target points

圖4 目標(biāo)點2峰值位移響應(yīng)Fig.4 Curves of the peak displacement response

3 結(jié)論

本文以復(fù)雜柔性耦合主動隔振系統(tǒng)為對象，根據(jù)受控對象的部分狀態(tài)參數(shù)對輸出狀態(tài)控制器進行設(shè)計，并考慮到主動隔振系統(tǒng)中作動器不可避免的時滯問題，通過分析，結(jié)論如下:

(1)超單元縮聚方法建立起來的降階模型不僅在規(guī)模上遠遠小于未降階的有限元模型，而且能很好地保持原系統(tǒng)的中、低頻動態(tài)特性;

(2)通過將時滯微分方程離散化，在狀態(tài)變量中增加與時滯量相關(guān)的前若干步控制項，將時滯差分方程轉(zhuǎn)換成形式上不包含時滯項的標(biāo)準(zhǔn)差分方程形式，采用二次型性能指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)設(shè)計控制律。該控制方法具有良好的控制效果，即使控制系統(tǒng)中存在較大的時滯量，所提控制方法仍能保證控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(3)以主動隔振系統(tǒng)的隔振性能為目標(biāo)函數(shù)，將時滯量作為一個控制器設(shè)計參數(shù)，通過選擇合適的時滯量可以在控制代價很小的情況下達到很好的控制效果。

總之，控制系統(tǒng)中的時滯存在潛在的利用價值，在對時滯抑制進行研究的同時，還應(yīng)深入研究時滯的利用問題

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