群自同構(gòu)的不動(dòng)點(diǎn)

林大華

（閩江學(xué)院數(shù)學(xué)系，福建福州350108）

群自同構(gòu)的不動(dòng)點(diǎn)

林大華

（閩江學(xué)院數(shù)學(xué)系，福建福州350108）

引入群自同構(gòu)不動(dòng)點(diǎn)的概念，對(duì)群自同構(gòu)不動(dòng)點(diǎn)的性質(zhì)，非單位元不動(dòng)點(diǎn)的存在性等做了初步的探討，得到了若干結(jié)果。

群；自同構(gòu)；不動(dòng)點(diǎn)

1 預(yù)備知識(shí)

本文用|G|表示群G的階（G的元素個(gè)數(shù)），用e表示群G的單位元，用a－1表示群G中元素a的逆元，用1G表示群G的恒等變換，用（m，n）表示整數(shù)m，n的最大公因數(shù)，當(dāng)（m，n）＝1時(shí)表示m，n互素，用n|m表示整數(shù)n整除整數(shù)m。

定義1[1]設(shè)a是群G的一個(gè)元素，則使an＝e的最小正整數(shù)n稱為a的階，記作|a|＝n|；若這樣的n不存在，則稱a的階為無(wú)限，記作|a|＝∞。

定理1[2]設(shè)a是群G的一個(gè)元素，則

（1）|a－1|＝|a|；

（2）當(dāng)|a|＝n時(shí)，對(duì)正整數(shù)m，

n|m?am＝e。

定理2[3]設(shè)G是有限群，則

（1）對(duì)G的任意子群H，有|H||G|；

（2）?a∈G，有|a||G|。

定理3[4]若φ是群G的自同構(gòu)，則

（1）φ（e）＝e；

（2）φ（a－1）＝［φ（a）－1］。

定理4[5]設(shè)φ是群G的自同構(gòu)，N是G的不變子群，φ（N）＝N，則ˉφ：aN→φ（a）N是商群GN的自同構(gòu)。叫做由φ誘導(dǎo)出的自同構(gòu)。

定理5[6]若G＝（a）是循環(huán)群，則|G|＝|a|。

定理6[4]設(shè)m，n是兩個(gè)不全為0的整數(shù)，則存在u，v∈Z，使得（m，n）＝um＋vm。

特別地，（m，n）＝1?存在u，v∈Z，使得um＋vm＝1。

2 若干結(jié)論及證明

定義2[5]設(shè)G是群，a，b∈G，則稱［a，b］＝a－b－1ab是a和b的換位子。

定義3[1]設(shè)G是一個(gè)群，若存在a∈G，使得G＝｛an|n∈Z｝，則稱G是由a生成的循環(huán)群，a稱為G的一個(gè)生成元。

由a生成的循環(huán)群G，記作G＝（a）。

定義 4 設(shè) φ是群 G的自同構(gòu)，a∈G，若φ（a）＝a，則稱a是φ的不動(dòng)點(diǎn)。

顯然，群G的單位元e是G的所有自同構(gòu)的不動(dòng)點(diǎn)；若群G的每個(gè)元素都是其自同構(gòu)φ的不動(dòng)點(diǎn)，則φ是G的恒等變換。

定理7設(shè)φ是群G的自同構(gòu)，a，b∈G，若a，b是φ的不動(dòng)點(diǎn)，則

（1）ab也是φ的不動(dòng)點(diǎn)；

（2）a－1也是φ的不動(dòng)點(diǎn)；

（3）［a，b］也是φ的不動(dòng)點(diǎn)；

（4）對(duì)G的不變子群N，當(dāng)φ（N）＝N時(shí)，aN是φ誘導(dǎo)出的自同構(gòu)φˉ的不動(dòng)點(diǎn)。

證明 由題設(shè)有φ（a）＝a，φ（b）＝b。

（1）因?yàn)棣眨╝b）＝φ（a）φ（b），所以ab是φ的不動(dòng)點(diǎn)。

（2）因?yàn)棣眨╝－1）＝［φ（a）］－1＝a－1，所以a－1是φ的不動(dòng)點(diǎn)。

（3）因?yàn)棣眨ǎ踑，b］）＝φ（a－1b－1ab）＝φ（a－1）φ（b－1）φ（a）φ（b）＝a－1b－1ab＝［a，b］，所以［a，b］是φ的不動(dòng)點(diǎn)。

（4）因?yàn)棣铡ィ╝N）＝φ（a）N＝aN，所以aN是φˉ的不動(dòng)點(diǎn)。

推論1 若G是有限群，則G的自同構(gòu)φ的階大于2的不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)是偶數(shù)。

證明 設(shè)a是φ的階大于2的不動(dòng)點(diǎn)，則由定理7及定理1知a－1也是φ的不動(dòng)點(diǎn)，且a－1的階也大于2。若a＝a－1，則有a2＝e，這與a的階大于2矛盾，所以a≠a－1。因此φ的階大于2的不動(dòng)點(diǎn)是成對(duì)出現(xiàn)的，又因?yàn)镚是有限群，故φ的階大于2的不動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)是偶數(shù)。

定理8 設(shè)φ是群G的自同構(gòu)，則φ的所有不動(dòng)點(diǎn)集合

H＝｛a∈G｜φ（a）＝a｝是G的子群。

證明 因?yàn)閑∈H，所以H≠覬，?a，b∈H，則由定理7有ab，a－1∈H，故H是G的子群。

推論3 設(shè)φ是群G的自同構(gòu)，若G是交換單群，φ存在非單位元不動(dòng)點(diǎn)，則φ是G的恒等變換。

證明 令H＝｛a∈G|φ（a）＝a｝，則由定理8知H是G的子群，因?yàn)镚是交換群，所以H是G的正規(guī)子群，又因?yàn)镚是單群，所以H＝｛e｝或H＝G，由題設(shè)可得H＝G，即G的每個(gè)元素都是φ的不動(dòng)點(diǎn)，故φ是G的恒等變換。

定理9 設(shè)φ是群G的自同構(gòu)，則φ存在非單位元不動(dòng)點(diǎn)?存在x，y∈G，使得x－1φ（x）＝y(tǒng)－1φ（y）。

證明 （?）設(shè)x是φ的非單位元不動(dòng)點(diǎn)，則φ（x）＝x，x，≠e，且有

x－1φ（x）＝e＝e－1φ（e）。

（?）由x－1φ（x）＝y(tǒng)－1φ（y），得 φ（x）φ（y）－1＝xy－1，從而有φ（xy－1）＝xy－1。 因?yàn)閤≠y，所以xy－1≠e，故xy－1是φ的非單位元不動(dòng)點(diǎn)。

推論4 設(shè)φ是群G的自同構(gòu)，若G是有限群，則φ存在非單位元不動(dòng)點(diǎn)?H｛x－1φ（x）｜x∈G｝是G的真子集。

證明 設(shè)G＝｛x1，x2，…，xn｝，則

（?）顯然H是G的子集，由定理9知，存在

（?）若不存在非單位元不動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)φ（x）＝x這與H是G的真子集矛盾，故φ存在非單位元不動(dòng)點(diǎn)。

定理10 設(shè)φ是群G的自同構(gòu)，φ2＝1G，|G|是大于1的奇數(shù)。則φ存在非單位元不動(dòng)點(diǎn)?存在a∈G，使得φ（a）≠a－1。

證明 （?）設(shè)x是φ的非單位元不動(dòng)點(diǎn)，則φ（x）＝x，x≠e。若φ（x）＝x－1，則有x＝x－1，于是有x2＝e，從而|x|≤2，由|G|是奇數(shù)可得|x|＝1，即x＝e，產(chǎn)生矛盾。故φ（x）≠x－1。

（?）因?yàn)閨G|是奇數(shù)，所以（2，|G|）＝1，從而存在u，v∈Z，使得2 u＋|G|v＝1。于是由定理1及定理2，有

即ax是φ的不動(dòng)點(diǎn)。

若ax＝e，則有a－2＝x2＝a－1φ（a），從而有a－1＝φ（a），這與已知φ（a）≠a－1矛盾，故ax是φ的非單位元不動(dòng)點(diǎn)。

推論5設(shè)φ是群G的自同構(gòu)，φ2＝1G，|G|是奇數(shù)。則?a∈G，存在y，z∈G，使得a＝y(tǒng)z，其中φ（y）＝y(tǒng)，φ（z）＝z－1。

證明 若 |G|=1，則G＝｛e｝，且 e＝ee－1，其中φ（e）＝e，φ（e－1）＝e－1。

若|G|是大于1的奇數(shù)，則?a∈G，存在整數(shù)u，使得a－1φ（a）＝［a－1φ（a）］2u，令x＝［a－1φ（a）］u，y＝ax，z＝x－1，則a＝y(tǒng)z，且由定理10得充分性的證明可知φ（y）＝y(tǒng)，φ（z）＝z－1。

推論6 設(shè)φ是群G的自同構(gòu)，φ2＝1G，|G|是奇數(shù)。若φ不存在非單位元不動(dòng)點(diǎn)，則G是交換群。

證明 由推論5，?a∈G，存在y，z∈G，使得a＝y(tǒng)z，其中φ（y）＝y(tǒng)，φ（z）＝z－1。由條件知y＝e，于是a＝z，從而有φ（a）＝a－1。

由此可得，?b，c∈G，有（bc）－1＝φ（bc）＝φ（b）φ（c）＝b－1c－1＝（cb）－1，即bc＝cb，故G是交換群。

定理11 設(shè)φ是群G的自同構(gòu)，G＝（a）是無(wú)限階循環(huán)群。則φ存在非單位元不動(dòng)點(diǎn)?φ＝1G。

證明 （?）顯然。

（?）設(shè)φ（a）＝ak，am是φ的非單位元不動(dòng)點(diǎn)，則m≠0，且

am＝φ（am）＝［φ（a）］m＝（ak）m＝akm。因?yàn)閍得階無(wú)限，所以m＝km，從而k＝1，于是φ（a）＝a。

?an∈G，有φ（an）＝［φ（a）］n＝an，即群G的每個(gè)元素都是φ的不動(dòng)點(diǎn)，故φ是G的恒等變換。

[1]張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)（修訂本）[M].北京：高等教育出版社，1978.

[2]樊惲.代數(shù)學(xué)辭典[M].武昌：華中師范大學(xué)出版社，1994.

[3]辛林.近世代數(shù)[M].北京：當(dāng)代中國(guó)出版社，2000.

[4]韓士安，林磊.近世代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[5]徐明曜.有限群導(dǎo)引（上冊(cè)）（第二版）[M].北京：科學(xué)出版社，1999.

[6]熊全淹.初等整數(shù)論[M].武漢：湖北教育出版社，1985.

Fixed Point of Automorphism of Group

LIN Da－h(huán)ua
（Departmentof Mathematics，Minjiang University，F(xiàn)ujian Fuzhou，350108）

This paper introduces the definition of the fixed point of automorphism，makes preliminary research about properties of the fixed pointand the existence of the non－identity fixed pointof automorphism，and some results are ostained.

group；automorphism；fixed point 〔責(zé)任編輯 高海〕

B842.1

A

1674－0874（2012）02－0001－02

2012-02-10

林大華（1959－），男，福建福州人，副教授，研究方向：群論。