函數(shù)列極限函數(shù)一致連續(xù)性的探討

丁平仁

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

函數(shù)列極限函數(shù)一致連續(xù)性的探討

丁平仁

（山西大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西大同 037009）

在函數(shù)列收斂及一致收斂前提下探討了極限函數(shù)的一致連續(xù)性，并且給出了函數(shù)列極限函數(shù)一致連續(xù)性的運(yùn)算。

一致連續(xù)；一致收斂；一致有界

函數(shù)一致連續(xù)性是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，而函數(shù)列極限函數(shù)的一致連續(xù)性一般教科書都沒有涉及［1-5］。既然函數(shù)列極限函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，我們就有必要了解它的一致連續(xù)性，下面對(duì)函數(shù)列極限函數(shù)的一致連續(xù)性作一些探討。

證明 由于｛fn（x）｝在I上收斂于f（x），所以f（x）在I上有定義，下面用反證法證明f（x）在I上一致連續(xù)。

假設(shè)f（x）在I上非一致連續(xù)，即

?ε0＞0，?δ＞0，?x、y∈I，當(dāng)|x-y|＜δ，有

|f（x）-f（y）|≥ε0，

|f（x）-f（y）|≥ε0，

與題設(shè)條件矛盾，所以f（x）在I上一致連續(xù)。

定理2 設(shè)函數(shù)列｛fn（x）｝在有界區(qū)間I上收斂于f（x），對(duì)任意柯西數(shù)列｛xn｝?I，函數(shù)值數(shù)列｛f（xn）｝也是柯西數(shù)列，則f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)。

證明 用反證法證明f（x）在I上一致連續(xù)。假設(shè)f（x）在I上非一致連續(xù)，即

?ε0＞0，?δ＞0，?x′、x″∈I，當(dāng)|x′-x″|＜δ，有

|f（x′）-f（x″）|≥ε0，

則｛yn｝是柯西數(shù)列，但對(duì)任意k，有

|f（y2k-1）-f（y2k）|≥ε0，

即｛f（yn）｝不是柯西數(shù)列，與題設(shè)條件矛盾，所以f（x）在I上一致連續(xù)。

以上兩個(gè)定理適用于極限函數(shù)已知以及極限函數(shù)具有某些特性的情況，對(duì)極限函數(shù)不易求得以及抽象函數(shù)列，可以通過函數(shù)列本身的特性來判別。

定理3 若函數(shù)列｛fn（x）｝在區(qū)間I上滿足：

（1）｛fn（x）｝在I上一致收斂于函數(shù)f（x）；

（2）｛fn（x）｝的每一項(xiàng)在I上一致連續(xù)，則f（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)。

證明 ?ε＞0，由于｛fn（x）｝在I上一致收斂，故?N，當(dāng)n≥N時(shí)，?x∈I，有

于是，?ε＞0，?δ＞0，?x′、x″∈I，當(dāng)|x′-x″|＜δ，有

|f（x′）-f（x″）|≤|fN（x′）-f（x′）|+

|fN（x′）-fN（x″）|+|fN（x″）-f（x″）|＜

所以f（x）在I上一致連續(xù)。

定理4 設(shè)函數(shù)列｛fn（x）｝、｛gn（x）｝在區(qū)間I上滿足：

（1）｛fn（x）｝、｛gn（x）｝在I上分別一致收斂于f（x）與g（x）；

（2）｛fn（x）｝、｛gn（x）｝的每一項(xiàng)在I上一致連續(xù)，則f（x）±g（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)。

證明 由定理?xiàng)l件及定理3，f（x）、g（x）在I上一致連續(xù)，即

?ε＞0，?δ＞0，?x′、x″∈I，當(dāng)|x′-x″|＜δ，有

于是?ε＞0，?δ＞0，?x′、x″∈I，當(dāng)|x′-x″|＜δ，有

所以f（x）±g（x）在I上一致連續(xù)。

定理5 設(shè)函數(shù)列｛fn（x）｝、｛gn（x）｝在區(qū)間I上滿足：

（1）｛fn（x）｝、｛gn（x）｝在I上分別一致收斂于f（x）和g（x）；

（2）｛fn（x）｝、｛gn（x）｝在I上一致有界；

（3）｛fn（x）｝、｛gn（x）｝的每一項(xiàng)在I上一致連續(xù)，則｛fn（x）gn（x）｝極限函數(shù)f（x）g（x）在區(qū)間I上一致連續(xù)。

證明 因?yàn)椋鹒n（x）｝、｛gn（x）｝在I上一致有界，即

又｛fn（x）｝、｛gn（x）｝在I上分別一致收斂于f（x）與g（x），上兩式取極限，有|f（x）|≤M，|g（x）|≤M，x∈I。

由定理?xiàng)l件（1）、（3）及定理3，f（x）、g（x）在I上一致連續(xù)，即

?ε＞0，?δ＞0，?x′、x″∈I，當(dāng)|x′-x″|＜δ，有

于是|［f（x′）g（x′）］-f（x″）g（x″）|≤

所以f（x）g（x）在I上一致連續(xù)。

定理6 設(shè)函數(shù)列｛fn（x）｝、｛gn（x）｝在區(qū)間I上滿足：

（1）｛fn（x）｝、｛gn（x）｝在I上分別一致收斂于f（x）與g（x）；

（2）｛fn（x）｝在I上一致有界；

由定理?xiàng)l件（1）、（4）及定理3，f（x）、g（x）在I上一致連續(xù)，即

?ε＞0，?δ＞0，?x′、x″∈I，當(dāng)|x′-x″|＜δ，有

于是，

定理7 設(shè)函數(shù)列｛fn（u）｝在區(qū)間U上滿足：

（1）｛fn（u）｝在U上一致收斂于f（u）；

（2）｛fn（u）｝的每一項(xiàng)在U上一致連續(xù)，又g（x）在區(qū)間X上一致連續(xù)，且

｛g（x）|x∈X｝?U，則｛fn［g（x）］｝極限函數(shù)f［g（x）］在區(qū)間X上一致連續(xù)。

證明 由定理?xiàng)l件（1）、（2）及定理3，f（u）在U上一致連續(xù)，即

?ε＞0，?η＞0，?u′、u″∈U，當(dāng)|u′-u″|＜η，有

|f（u′）-f（u″）|＜ε，

又g（x）在區(qū)間X上一致連續(xù)，及｛g（x）|x∈X｝?U，

對(duì)η＞0，?δ＞0，?x′、x″∈X，當(dāng)|x′-x″|＜δ，有

|g（x′）-g（x″）|＜η，

于是|f［g（x′）］-f［g（x″）］|＜ε，

所以f［g（x）］在X上一致連續(xù)。

上面討論了函數(shù)列極限函數(shù)的一致連續(xù)性，對(duì)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)、含參變量廣義積分積分函數(shù)等可作類似討論。

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)［M］.6版.北京：高等教育出版社，2007.

［2］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析［M］.3版.北京：高等教育出版社，2001.

［3］徐麗.函數(shù)列一致連續(xù)和一致收斂及等度連續(xù)的關(guān)系［J］.上海電力學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，23（3）：285-291.

［4］鄭德印.一致連續(xù)與一致收斂概念的統(tǒng)一［J］.南都學(xué)壇，1993，13（3）：11-12.

［5］謝永紅，喬玉英，楊賀菊.關(guān)于“一致”問題的探討［J］.石家莊職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，23（4）：44-45.

〔責(zé)任編輯 高?！?/p>

Discussion on Uniform Continuity of the Limit Function of Function Sequence

DING Ping-ren
（School of Mathematics and Computer Science，Shanxi Datong University，Datong Shanxi，037009）

This article provides several distinguishing methods of uniform continuity of the limit function of function sequence.

uniform continuity；uniform convergence；uniform boundedness

O212.6

A

1674-0874（2012）06-0001-02

2012-08-15

丁平仁（1956-），男，山西應(yīng)縣人，副教授，研究方向：函數(shù)。