應(yīng)用模態(tài)分析及傅里葉變換的柔性轉(zhuǎn)子無試重動平衡方法

章 云，梅雪松，2，鄒冬林，姜歌東，張東升

(1.西安交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，西安 710049;2.西安交通大學(xué) 機(jī)械制造系統(tǒng)工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710049)

轉(zhuǎn)子由于制造、安裝誤差以及材料的不均勻都會造成其或多或少的偏心，也就是存在不平衡量。轉(zhuǎn)子的不平衡量在轉(zhuǎn)子運(yùn)轉(zhuǎn)時會導(dǎo)致振動，振動若超過一定限制，不僅影響零件加工精度，還會對轉(zhuǎn)子自身組件造成破壞，急劇減少轉(zhuǎn)子系統(tǒng)壽命，甚至使某些組件由于振動量過大而當(dāng)場損壞。因此，如何控制由于轉(zhuǎn)子不平衡造成的振動是旋轉(zhuǎn)機(jī)械使用過程中最為關(guān)鍵的問題之一。

轉(zhuǎn)子不平衡振動在柔性轉(zhuǎn)子中體現(xiàn)得尤為明顯，作為其主要抑制手段，經(jīng)典的柔性轉(zhuǎn)子動平衡方法可大致分為二類，即模態(tài)平衡法［1－2］和影響系數(shù)法［3－4］。這二種方法各有利弊，模態(tài)平衡法平衡高階振型時不影響低階振型，啟停次數(shù)相對較少，具有較高的敏感性，但需要知道轉(zhuǎn)子的模態(tài)特性，平衡轉(zhuǎn)速在臨界轉(zhuǎn)速附近，不易獲得單一振型。影響系數(shù)法不受支承特性的影響，可同時平衡幾階振型，特別對軸系的平衡更為方便，但啟停次數(shù)較多，高階振型敏感性較低，還容易出現(xiàn)影響系數(shù)矩陣的病態(tài)化、平衡校正量不合理等問題。由于影響系數(shù)法與模態(tài)平衡法都存在一些難以克服的缺陷。學(xué)者們［5－6］提出了綜合平衡的概念，該方法一定程度上結(jié)合了二者的優(yōu)點(diǎn)，但依然需要在平衡過程中多次啟停試重，若試重加載不當(dāng)，反而造成轉(zhuǎn)子劇烈振動，使動平衡操作復(fù)雜化，增加成本。

如果無須對試重就能準(zhǔn)確知道轉(zhuǎn)子的不平衡分布狀態(tài)或者是有一定的預(yù)估，那么平衡過程會變得更加簡單、安全。無試重動平衡方法正是基于該思提出的［7－8］。當(dāng)前的無試重平衡方法或利用殘余振動優(yōu)化技術(shù)識別不平衡量，或通過動力學(xué)推導(dǎo)，建立不平衡力與轉(zhuǎn)子振動之間的關(guān)系式，從而識別不平衡量。這些方法大多需要在一系列轉(zhuǎn)速下采集信號，對于運(yùn)行中的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)來說，轉(zhuǎn)速變化意味著支承剛度的變化［9］，進(jìn)而導(dǎo)致轉(zhuǎn)子動力學(xué)行為發(fā)生改變。如果識別方法是在軸承剛度不變的假設(shè)下進(jìn)行的，用基于變轉(zhuǎn)速下采集的振動信號代入動力學(xué)模型進(jìn)行不平衡分析就會引入誤差，最終導(dǎo)致平衡精度的下降。此外，平衡轉(zhuǎn)速與平衡風(fēng)險是成正比的，低速動平衡也是動平衡技術(shù)發(fā)展的趨勢。傳統(tǒng)意義上的低速動平衡僅能使轉(zhuǎn)子在剛性狀態(tài)下獲得平衡，當(dāng)超過一階臨界轉(zhuǎn)速后，新產(chǎn)生的振型不平衡需要通過高速動平衡加以消除。若在低速下(低于一階臨界轉(zhuǎn)速)平衡轉(zhuǎn)子，就可實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子通過一階臨界轉(zhuǎn)速后的平衡，或者至少減小柔性振型不平衡量，都將顯著簡化降低動平衡風(fēng)險、提高動平衡效率。

總體來說，現(xiàn)有柔性轉(zhuǎn)子動平衡方法或需要多次啟停試重、或需要高速動平衡，這都給平衡操作增加了一定的難度。針對上述問題，本文立足于現(xiàn)有動平衡技術(shù)，提出一種利用模態(tài)分析和FFT變換思想，僅需在低于臨界轉(zhuǎn)速的狀態(tài)下采集轉(zhuǎn)子振動信號，無需停車試重，就可以識別柔性轉(zhuǎn)子不平衡分布狀態(tài)的方法。仿真和實(shí)驗(yàn)研究表明，該方法是行之有效的。

1 動力學(xué)模型

近年來，運(yùn)用有限元理論分析轉(zhuǎn)子的動力學(xué)特性取得了較好的效果［10］，典型的轉(zhuǎn)子有限元模型由離散的質(zhì)量盤、具有分布質(zhì)量的軸段以及具有彈性的軸承座組成。因此可以沿軸線把主軸劃分成質(zhì)量盤、軸段和軸承座等單元，各單元間彼此在結(jié)點(diǎn)處聯(lián)結(jié)。這些結(jié)點(diǎn)通常選在圓盤中心，軸頸中心及軸線的某些位置上。軸承座可簡化為一個具有剛度和阻尼的彈簧。對于具有N個節(jié)點(diǎn)，其間用N－1個軸段連接而成的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，設(shè)系統(tǒng)的位移向量為:

分別對各單元進(jìn)行分析，可建立該單元節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移間的關(guān)系，綜合各單元的運(yùn)動方程，如不計軸承座的等效質(zhì)量，忽略阻尼時，可得到以節(jié)點(diǎn)位移為廣義坐標(biāo)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力微分方程如下:

式中，M為質(zhì)量矩陣，G為回轉(zhuǎn)矩陣，Kx、Ky為剛度矩陣，Kx和Ky中包括了軸承的影響，F(xiàn)1、F2為相應(yīng)的廣義力。事實(shí)上，在廣義力F1、F2中，由于各單元間相互作用的內(nèi)力在方程綜合過程中已經(jīng)消去，同時軸承座對軸承的力也結(jié)合到了剛度矩陣中去了。廣義力F1、F2中只剩下不平衡激勵作用。

若忽略軸承各向異性，轉(zhuǎn)子在X，Y兩個方向上對稱，有K=Kx=Ky。令:

可得到整個系統(tǒng)的動力微分方程:

滿足上述假設(shè)的案例是非常多的。對于那些不滿足的情形，也可以把這些因素考慮進(jìn)去，此時，動力學(xué)微分方程就要在水平方向和豎直方向分別求解。

2 不平衡求解

為了求解系統(tǒng)不平衡力，需要通過模態(tài)分析對系統(tǒng)運(yùn)動微分方程進(jìn)行解耦。若考慮回轉(zhuǎn)矩陣G，則要進(jìn)行復(fù)模態(tài)分析，此處旨在說明不平衡求解原理，為了書寫簡便，暫且不考慮 G的影響，式(3)可簡化形式為:

要將轉(zhuǎn)子的振動按模態(tài)振型展開，就需先將以物理坐標(biāo)表示的運(yùn)動微分方程，轉(zhuǎn)換為以主坐標(biāo)表示的運(yùn)動微分方程，令:

其中，Z(t)為物理坐標(biāo)，x(t)為模態(tài)坐標(biāo)，Q(t)為主坐標(biāo)下不平衡力，j為模態(tài)矩陣。將式(6)代入式(5)中，可將系統(tǒng)運(yùn)動微分方程從物理坐標(biāo)轉(zhuǎn)換至主坐標(biāo)上:

其中，M*為主質(zhì)量矩陣，K*為主剛度矩陣。對式(7)作FFT變換，可得:

對式(6)作FFT變換，可得:

由于j不一定完備，通過對式(9)進(jìn)行轉(zhuǎn)換可以得出:

將式(10)代入式(8)中可得:

根據(jù)式(11)可求解物理坐標(biāo)下的載荷譜F(w)，最后對F(w)作FFT逆變換即可獲得時域內(nèi)的待識別載荷。上述推導(dǎo)是沒有考慮G的影響下的實(shí)模態(tài)分析，當(dāng)考慮G的影響時，可用類似方法進(jìn)行復(fù)模態(tài)分析。

在實(shí)際應(yīng)用中，由于受到傳感器布置條件的限制，不可能得到所有節(jié)點(diǎn)處的轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)數(shù)據(jù)。此外，常見的旋轉(zhuǎn)機(jī)械大多可以等效為質(zhì)量集中結(jié)構(gòu)，例如砂輪磨床的砂輪、航空發(fā)動機(jī)的葉片等，其不平衡量一般分布于某一截面。因此，有必要對算法做一些調(diào)整，使不平衡力的求解更為直觀、簡潔，利于實(shí)際應(yīng)用中的推廣。這里假設(shè)轉(zhuǎn)子上布置有2個傳感器，有2個質(zhì)量盤。根據(jù)傳感器所處節(jié)點(diǎn)的位置，可以取出這兩個點(diǎn)的振動響應(yīng)Z(t)21，同樣，根據(jù)質(zhì)量盤所處結(jié)點(diǎn)位置，可以取出這兩個點(diǎn)的不平衡力q(t)21。在進(jìn)行模態(tài)分析時，若取前二階模態(tài)，則式(6)可變換為:

與前面推導(dǎo)過程相同，式(11)可變換為:

通過式(13)可獲得頻域下的不平衡載荷譜F(w)，經(jīng)FFT逆變換就可求解時域狀態(tài)下的不平衡力F(t)。

3 仿真分析

為驗(yàn)證算法的有效性，以本特利RK4轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺為原型，建立如圖1所示的動平衡算法仿真模型。該動平衡模型由轉(zhuǎn)子、軸承、質(zhì)量圓盤三部分組成，其中，2個質(zhì)量圓盤安裝在轉(zhuǎn)子上，轉(zhuǎn)子振動響應(yīng)由電渦流位移傳感器采集，其安裝在軸承與質(zhì)量圓盤之間并靠近質(zhì)量圓盤處。

圖1 仿真轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型Fig.1 Dynamic model of rotor system

把轉(zhuǎn)子劃分為44個單元，共45個結(jié)點(diǎn)，盤1在第14個結(jié)點(diǎn)處，盤2在第31個結(jié)點(diǎn)處，軸承1在第3個結(jié)點(diǎn)處，軸承2在第41個結(jié)點(diǎn)處。為了使有限元動力學(xué)模型更符合實(shí)際，尤其是獲得準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)子軸承處等效剛度值，可通過實(shí)測本特利RK4轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺的前兩階臨界轉(zhuǎn)速來修正理論模型。當(dāng)軸承剛度值取1.2×106N/m時，通過模型可以計算得到轉(zhuǎn)子前兩階臨界轉(zhuǎn)速分別為1 932 r/min和5 950 r/min，而實(shí)驗(yàn)測定轉(zhuǎn)子前兩階臨界轉(zhuǎn)速分別為1 946 r/min和5 898 r/min，可見仿真結(jié)果與實(shí)測結(jié)果基本一致，間接驗(yàn)證了動力學(xué)模型的準(zhǔn)確性。作為仿真分析，可人為地在轉(zhuǎn)子2個圓盤上施加虛擬不平衡量如表1所示

表1 虛擬不平衡量幅值及相位Tab.1 Virtual imbalance distribution

設(shè)定平衡轉(zhuǎn)速為1 500 r/min，在此轉(zhuǎn)速下通過仿真模型獲取振動響應(yīng)，然后通過本文第2節(jié)所述算法，可以識別出兩個質(zhì)量圓盤上的不平衡量，識別結(jié)果如表2所示。

表2 識別的不平衡量Tab.2 Identification of imbalance

分別將表1所列的原始不平衡和表2所列的識別不平衡量代入動力學(xué)模型，求解傳感器測量處的不平衡響應(yīng)。結(jié)果如圖2、圖3所示，其中，圖2為原始不平衡響應(yīng)與識別不平衡響應(yīng)的對比圖，圖3為原始不平衡響應(yīng)與添加配重后剩余不平衡響應(yīng)的對比圖。

圖2 原始不平衡響應(yīng)與識別不平衡響應(yīng)Fig.2 The given imbalance vibration and the identification imbalance vibration of rotor

圖3 原始不平衡響應(yīng)與剩余不平衡響應(yīng)Fig.3 The given imbalance vibration and the residual imbalance vibration of rotor

從上面的仿真分析可以看出，識別出的不平衡量幅值相對誤差及相位相對誤差在2%之內(nèi)，其產(chǎn)生的振動效果與原始不平衡量基本一致，經(jīng)過添加配重之后，剩余各階不平衡響應(yīng)較之原始不平衡響應(yīng)大幅減小，這表明，本文所述算法可以準(zhǔn)確地識別出轉(zhuǎn)子的不平衡量。為了更進(jìn)一步驗(yàn)證這種算法的有效性，課題還進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)分析。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在仿真驗(yàn)證了算法的有效性之后，以本特利RK4轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺作為實(shí)驗(yàn)對像，對算法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。圖4為現(xiàn)場實(shí)驗(yàn)布局圖，位移傳感器布置在軸承與配重盤之間，并靠近配重盤一側(cè)。為與仿真盡量保持一致，實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)速選定為1 500 r/min，并在該轉(zhuǎn)速下采集振動數(shù)據(jù)，獲取振動數(shù)據(jù)后代入式(13)中，即可求得不平衡量。因?yàn)樵撧D(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺在未使用之前就存在原始不平衡，所以在1 500 r/min時，先用經(jīng)典動平衡方法將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)調(diào)整至平衡狀態(tài)，然后在兩個配重盤上人為施加不平衡量，最后通過本文所述的算法識別不平衡量，以便對比實(shí)驗(yàn)效果。

圖4 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場布局圖Fig.4 Experimental setup for measuring system

表3是人為施加在配重盤上的不平衡量信息，表4為識別出的2個配重盤上不平衡信息。

表3 圓盤上施加的不平衡量幅值及相位Tab.3 Imbalance distribution on counterweight disk

表4 識別的不平衡量Tab.4 Identification of imbalance

按表4所列的識別不平衡量在2個配重盤上添加配重后，可將原始不平衡響應(yīng)與轉(zhuǎn)子剩余不平衡響應(yīng)進(jìn)行比較，結(jié)果如圖5所示。

圖5 原始不平衡響應(yīng)與剩余不平衡響應(yīng)Fig.5 The given imbalance vibration and the residual imbalance vibration of rotor

從圖上可以看出，在未實(shí)施平衡時轉(zhuǎn)子原始振動較大，在1 850 r/min時，轉(zhuǎn)速已接近一階臨界轉(zhuǎn)速，此時，傳感器測量處的不平衡振動幅值約為300 μm，由于振動太大，出于安全考慮，實(shí)驗(yàn)時沒有運(yùn)行到一階臨界轉(zhuǎn)速。在識別出不平衡，并在反方向加上不平衡配重后，在 1 500 r/min時，振動幅值由 56.8 μm 減小到2.5 μm，系統(tǒng)可以順利通過一階臨界，且在達(dá)到一階臨界轉(zhuǎn)速1 946 r/min時，振動幅值只有50 μm左右。從圖5的對比中可以看出，本文所述算法能有效識別不平衡量，添加平衡配重后，系統(tǒng)臨界前后殘余振動都很小，這有力證明了算法的有效性。

從實(shí)驗(yàn)中可以看出，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果尚存在一些偏差，分析可能的誤差來源主要有如下幾點(diǎn):

(1)動力學(xué)模型的精度不夠。模型中沒有考慮陀螺效應(yīng)與阻尼的影響，這與實(shí)際存在一些偏差。

(2)本特利轉(zhuǎn)子實(shí)驗(yàn)臺加工精度不夠。在對轉(zhuǎn)子做動平衡時，殘余振動最低只能調(diào)整到約2 μm。

(3)轉(zhuǎn)子存在一定彎曲。從圖5中可以看出，在轉(zhuǎn)速低于1 500 r/min時，振動值主要由彎曲引起，而轉(zhuǎn)速高于1 500 r/min時，不平衡引起的振動占了主要比重。

(4)振型體現(xiàn)不透徹。轉(zhuǎn)子動平衡是在1 500 r/min時進(jìn)行的，雖然此時轉(zhuǎn)子振動受到一階振型的影響，但是離一階臨界轉(zhuǎn)速1 946 r/min仍有一定差距，獲取的振動信息與一階振型不是嚴(yán)格吻合。

5 結(jié)論

(1)轉(zhuǎn)子作為旋轉(zhuǎn)設(shè)備必要組件，其現(xiàn)場動平衡技術(shù)一直是研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，本文基于有限元動力學(xué)模型，采用模態(tài)分析和FFT變換技術(shù)，提出一種現(xiàn)場無試重動平衡識別方法。該方法能準(zhǔn)確識別轉(zhuǎn)子不平衡量，添加配重后，各階振動得到有效抑制，理論仿真及實(shí)驗(yàn)研究證實(shí)了其可行性及有效性。

(2)該方法相比較于傳統(tǒng)動平衡技術(shù)具有一定的優(yōu)勢，其僅需在低于臨界轉(zhuǎn)速的狀態(tài)下采集振動數(shù)據(jù)，且測試過程中無需停機(jī)試重，就能完成柔性轉(zhuǎn)子不平衡狀態(tài)識別。該方法能有效降低動平衡操作風(fēng)險，節(jié)約動平衡操作成本，具有較高的應(yīng)用價值。

實(shí)際工程應(yīng)用時，動平衡效果往往會受到多種因素的影響。在數(shù)據(jù)采集環(huán)節(jié)，可引入先進(jìn)信號處理方法抑制信號噪聲;建立系統(tǒng)動力學(xué)模型時，可采用理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方式，提高模型精度;此外，為達(dá)到最小殘余振動，可根據(jù)實(shí)際情況適當(dāng)增加測振面及校正面數(shù)量。

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