納偽概率可控的四舍五入法及其在RTK模糊度固定中的應(yīng)用

李博峰，沈云中，張興福

1.同濟(jì)大學(xué) 現(xiàn)代工程測(cè)量國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092；2.同濟(jì)大學(xué) 測(cè)量與地理信息學(xué)院，上海200092；3.廣東工業(yè)大學(xué)測(cè)繪工程系，廣東廣州510006

納偽概率可控的四舍五入法及其在RTK模糊度固定中的應(yīng)用

李博峰1，沈云中2，張興福3

1.同濟(jì)大學(xué) 現(xiàn)代工程測(cè)量國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海200092；2.同濟(jì)大學(xué) 測(cè)量與地理信息學(xué)院，上海200092；3.廣東工業(yè)大學(xué)測(cè)繪工程系，廣東廣州510006

RTK模糊度固定通常采用序貫四舍五入方法，該方法只固定能可靠固定的部分模糊度，因此控制四舍五入的納偽概率是實(shí)現(xiàn)RTK可靠性的關(guān)鍵。從含多個(gè)備選假設(shè)的假設(shè)檢驗(yàn)理論出發(fā)，研究納偽概率可控的四舍五入方法，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)水平和實(shí)數(shù)解的質(zhì)量自適應(yīng)地確定四舍五入取整區(qū)域，從而有效地控制整數(shù)固定的納偽概率。并結(jié)合GNSS應(yīng)用中兩種特殊情況，發(fā)展兩種簡(jiǎn)單實(shí)用的應(yīng)用策略。采用基線長(zhǎng)94.6 km的CORS站GPS雙頻數(shù)據(jù)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)RTK模糊度固定試驗(yàn)，分析本文納偽概率可控的四舍五入方法的效果。結(jié)果表明，納偽概率可控的四舍五入方法的固定率與傳統(tǒng)四舍五入方法的固定率相當(dāng)，且較傳統(tǒng)方法更能有效地控制納偽概率，提高整數(shù)解的可靠性。

實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)定位；四舍五入；納偽概率；多個(gè)備選假設(shè)；假設(shè)檢驗(yàn)

1 引 言

整數(shù)模糊度固定是實(shí)現(xiàn)高精度GNSS應(yīng)用的前提，整數(shù)固定方法包括兩個(gè)方面：整數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則和整數(shù)搜索算法［1］。常用的整數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則有四舍五入、Bootstrapping和整數(shù)最小二乘（ILS）［2］，以及快速模糊度固定的病態(tài)正則化準(zhǔn)則［1，3－7］。整數(shù)搜索算法的實(shí)質(zhì)是通過構(gòu)造整數(shù)不等式約束條件（如整數(shù)統(tǒng)計(jì)量）快速剔除錯(cuò)誤的備選模糊度組合［8－14］。

整數(shù)模糊度的可靠性是實(shí)現(xiàn)高精度GNSS應(yīng)用的前提，一旦固定錯(cuò)誤，往往會(huì)導(dǎo)致固定解反比實(shí)數(shù)解差。因此，必須嚴(yán)格控制整數(shù)解的質(zhì)量。與實(shí)數(shù)估計(jì)理論不同，整數(shù)的離散性使得無法用協(xié)方差陣來刻畫它的質(zhì)量［15］，通常采用成功概率，即實(shí)數(shù)解落入由整數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則所確定的整數(shù)映射實(shí)數(shù)子空間的概率［16－21］。值得指出的是，目前為止，所有的整數(shù)可靠性理論都是以實(shí)數(shù)估值無偏為前提，該條件在GNSS應(yīng)用中很難滿足，因?yàn)榇髿庋舆t、多路徑效應(yīng)等系統(tǒng)誤差影響極其復(fù)雜，無法用精確的函數(shù)模型表達(dá)。事實(shí)上，由于這些系統(tǒng)性誤差引起的模糊度錯(cuò)誤固定也正是模糊度質(zhì)量控制的關(guān)鍵與難點(diǎn)所在。

RTK初始化后只需求解后續(xù)觀測(cè)引入的新模糊度，未知模糊度向量往往只包含幾個(gè)（甚至1個(gè)）模糊度。這些模糊度由于觀測(cè)幾何強(qiáng)度不同而精度差異較大，不可能同時(shí)可靠地固定。而目前廣泛使用的LAMBDA方法只是加快搜索速度，并不能提高固定解的可靠性［22］。因此，RTK模糊度固定通常采用Bootstrapping方法只固定能可靠固定的部分模糊度。Bootstrapping的本質(zhì)是序貫四舍五入［23］，其可靠性依賴于四舍五入的可靠性，因此控制四舍五入的納偽概率是實(shí)現(xiàn)RTK可靠性的關(guān)鍵。目前，主要有兩種控制四舍五入可靠性的策略。一種策略是給定小數(shù)和方差閾值（fixed－fraction－variance，F(xiàn)FV），若實(shí)數(shù)估值同時(shí)滿足小數(shù)和方差閾值，則固定；另一種策略則是給定成功概率閾值，若實(shí)數(shù)解對(duì)應(yīng)的成功概率大于該閾值，則固定。這兩種方法都存在缺陷：第1種方法的閾值很難確定，閾值過大會(huì)導(dǎo)致納偽概率增大，過小會(huì)降低固定效率，且閾值不隨實(shí)數(shù)解的質(zhì)量而變化；第2種方法只考慮實(shí)數(shù)解的精度，忽略了實(shí)數(shù)解本身的質(zhì)量。

本文研究納偽概率可控的四舍五入方法，從含多個(gè)備選假設(shè)的假設(shè)檢驗(yàn)理論出發(fā)，根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)水平和實(shí)數(shù)解的質(zhì)量，自適應(yīng)地確定實(shí)數(shù)解的取整區(qū)間，從而嚴(yán)格地控制整數(shù)解的納偽概率，提高固定解的可靠性。此外，結(jié)合GNSS應(yīng)用的兩種特殊情況，發(fā)展了兩種簡(jiǎn)單實(shí)用的應(yīng)用策略。

2 四舍五入法及其兩類錯(cuò)誤概率

2.1 四舍五入法與含多個(gè)備選假設(shè)的假設(shè)檢驗(yàn)

假設(shè)GNSS觀測(cè)值服從正態(tài)分布，則最小二乘實(shí)數(shù)模糊度估值也服從正態(tài)分布～N（a，），其中，a∈Z和分別是的期望和方差。根據(jù)整數(shù)容許估計(jì)的整數(shù)平移不變性，平移整數(shù)a后的實(shí)數(shù)模糊度服從正態(tài)分布～N（0），對(duì)應(yīng)的概率密度函數(shù)為

對(duì)于含兩個(gè)備選假設(shè)（即原假設(shè)與備選假設(shè)）的假設(shè)檢驗(yàn)問題，拒絕原假設(shè)等價(jià)于接受備選假設(shè)，對(duì)應(yīng)棄真和納偽兩類錯(cuò)誤。而對(duì)于含多個(gè)備選假設(shè)的假設(shè)檢驗(yàn)問題，拒絕某一備選假設(shè)并不意味總是接受另一特定備選假設(shè)，而有可能接受另外任一備選假設(shè)，因此不存在籠統(tǒng)的棄真和納偽錯(cuò)誤，只存在相對(duì)于某個(gè)備選假設(shè)的棄真和納偽錯(cuò)誤。為表述方便，將四舍五入固定解集分為正確固定和錯(cuò)誤固定兩類，記

式中，Ωz表示固定解z對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)空間。采用含兩個(gè)備選假設(shè)的假設(shè)檢驗(yàn)問題的表述方式，令原假設(shè)

將其余所有備選假設(shè)籠統(tǒng)歸為備選假設(shè)

圖1 四舍五入對(duì)應(yīng)的多個(gè)備選假設(shè)接受域Fig.1 The acceptance regions of multiple hypotheses for integer rounding

圖1給出了四舍五入對(duì)應(yīng)的多個(gè)備選假設(shè)（H0、H1和H－1）示意圖。令βj，i表示當(dāng)Hj為真但接受備選假設(shè)Hi的錯(cuò)誤概率，則

根據(jù)含多個(gè)備選假設(shè)的假設(shè)檢驗(yàn)理論，當(dāng)Hk為真但接受其他備選假設(shè)Hi（z∈Z＼｛k｝）的概率（即Hk的棄真概率）為

相應(yīng)的，錯(cuò)誤地接受Hk的概率（即Hk的納偽概率）為

對(duì)應(yīng)的檢驗(yàn)功率（即正確接受Hk的概率，也稱為成功概率）為

2.2 四舍五入法的兩類錯(cuò)誤概率

由似然比檢驗(yàn)準(zhǔn)則得備選假設(shè)Hi的接受域?yàn)椋?4］

易證

因此α0≡β0。按式（8）計(jì)算正確接受H0的概率（成功概率）為

實(shí)際應(yīng)用中，即使檢驗(yàn)結(jié)果是拒絕原假設(shè)H0，也并不接受其他備選假設(shè)，而保留實(shí)數(shù)解。因此，棄真錯(cuò)誤只影響整數(shù)固定的效率；一旦檢驗(yàn)接受H0，則意味著接受固定解，因此，納偽錯(cuò)誤相當(dāng)于采用了錯(cuò)誤的固定解，必須嚴(yán)格控制。由式（12）得出，納偽概率β0與概率密度函數(shù)（x）及接受域Ωi有關(guān)。

由于傳統(tǒng)四舍五入法的備選假設(shè)接受域Ωi＝［－0.5，0.5］＋i固定，故納偽概率只與實(shí)數(shù)解的精度有關(guān)。換言之，一旦給定了實(shí)數(shù)估值，四舍五入的納偽概率就唯一確定。受傳統(tǒng)假設(shè)檢驗(yàn)可通過改變拒絕域來調(diào)節(jié)棄真、納偽概率的思想啟發(fā)，本文嘗試改變四舍五入接受域Ωi來嚴(yán)格控制納偽概率，提高整數(shù)固定的可靠性。

3 納偽概率可控的四舍五入法

3.1 改變四舍五入?yún)^(qū)間控制納偽概率

設(shè)四舍五入取整區(qū)間［－0.5，0.5］縮小為［－r，r］，0≤r≤0.5，則原假設(shè)H0的接受域Ω0變?yōu)?/p>

備選假設(shè)Hi的接受域變?yōu)?/p>

顯然，Ψi?Ωi且

整數(shù)解集對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)空間為

圖2給出了縮小取整區(qū)間后的多個(gè)備選假設(shè)H0，H1和H－1對(duì)應(yīng)的接受域示意圖。

圖2 縮小四舍五入?yún)^(qū)間的多個(gè)備選假設(shè)對(duì)應(yīng)的接受域Fig.2 The acceptance regions of multiple hypotheses for integer rounding with shrunken region

縮小取整區(qū)間后的原假設(shè)H0的納偽概率為

比較縮小取整區(qū)間前后的納偽概率之差

正確接受H0的概率（成功概率）為

縮小取整區(qū)間四舍五入法的本質(zhì)是通過縮小取整區(qū)間，保留那些容易錯(cuò)誤固定的實(shí)數(shù)解不固定，從而嚴(yán)格控制納偽概率，提高固定解的可靠性。

3.2 四舍五入?yún)^(qū)間的確定

確定合理的取整區(qū)間半徑r是提高模糊度固定可靠性的關(guān)鍵。r過小，放棄了固定原本能正確固定的模糊度，降低了固定效率；r過大，則不能有效地控制納偽概率。因此，必須在嚴(yán)格控制納偽概率的同時(shí)自適應(yīng)地確定r。首先注意到納偽概率的計(jì)算涉及無窮個(gè)整數(shù)概率的累加，實(shí)際計(jì)算只能取有限個(gè)整數(shù)，即忽略那些極小概率對(duì)應(yīng)的整數(shù)。根據(jù)式（19），整數(shù)i的絕對(duì)值越大，它對(duì)的貢獻(xiàn)越小，即?i＞j＞0，則

給定極小量μ，若整數(shù)i0滿足

只需計(jì)算小于i0的整數(shù)對(duì)的貢獻(xiàn)，引入的概率誤差小于μ。圖3給出了在不同的μ下，實(shí)數(shù)解精度與i0的關(guān)系，表明實(shí)數(shù)解精度越高，需要計(jì)算的整數(shù)個(gè)數(shù)越少；即使當(dāng)實(shí)數(shù)解精度達(dá)到0.5周時(shí)，亦只需計(jì)算4個(gè)整數(shù)對(duì)應(yīng)的概率。

確定i0后，納偽概率式（19）簡(jiǎn)化為

式中，σ＾a由實(shí)數(shù)估值確定，用戶可設(shè)定能承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)水平βmax，根據(jù)＜βmax確定r。如圖4所示，實(shí)線下方區(qū)域?yàn)楫?dāng)βmax＝0.01%時(shí)的四舍五入取整區(qū)域（下文稱βmax區(qū)域）。顯然，r隨著σ＾a的增大而減小，即實(shí)數(shù)解精度越差，要求實(shí)數(shù)解越接近整數(shù)。

圖3 整數(shù)個(gè)數(shù)與模糊度精度及概率誤差閾值μ關(guān)系Fig.3 The number of integers versus the ambiguity precisions under the different thresholdsμ

圖4 實(shí)數(shù)解精度與四舍五入?yún)^(qū)間半徑的關(guān)系Fig.4 Relationship between precision of real－valued estimate and radius of rounding region

3.3 兩種特殊情況的處理

理論上，只要實(shí)數(shù)估值落入βmax區(qū)域就能以小于βmax的納偽概率固定。實(shí)際應(yīng)用存在兩種特殊情況：

（1）實(shí)數(shù)解精度很高，但小數(shù)部分接近0.5，對(duì)應(yīng)βmax區(qū)域的右下部分。該情況的發(fā)生是由于殘留的系統(tǒng)誤差導(dǎo)致實(shí)數(shù)解存在偏差。

（2）實(shí)數(shù)解精度較差，但小數(shù)部分接近0，對(duì)應(yīng)βmax區(qū)域的左上部分。該情況的發(fā)生是由于觀測(cè)模型的幾何強(qiáng)度不夠，小數(shù)接近0純屬偶然現(xiàn)象。

顯然，這兩種情況都需排除，否則納偽概率依然不能有效控制。本文提出的兩種方法在控制納偽概率的同時(shí)，排除兩種特殊情況。

類似于傳統(tǒng)的FFV方法，第1種方法給定實(shí)數(shù)解的小數(shù)和精度限差排除βmax區(qū)域內(nèi)的這兩種特殊情況，該方法的取整區(qū)域?yàn)?/p>

式中，rmax≤0.5和σmax是用戶給定的實(shí)數(shù)解的小數(shù)和精度限差。

另一種方法是通過構(gòu)造T型函數(shù)來排除兩種特殊情況［23］，本文給出T型函數(shù)廣義形式

考慮到模糊度固定除了控制納偽概率外，還應(yīng)盡可能地提高模糊度固定效率，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)

設(shè)定rmax、σmax和限差gmin，若實(shí)數(shù)解滿足g＞gmin，則固定。為了有效地控制納偽概率，限差gmin與βmax的取整區(qū)域應(yīng)接近，取gmin＝104，rmax＝0.4，σmax＝0.3，圖4虛線的下方區(qū)域?yàn)間min的取整區(qū)域，顯然該區(qū)域與式（26）確定的取整區(qū)域非常接近。

上述公式推導(dǎo)是先根據(jù)實(shí)數(shù)解的精度σ＾a和風(fēng)險(xiǎn)水平βmax確定取整區(qū)間半徑r，然后比較r與實(shí)數(shù)解的小數(shù)。實(shí)際應(yīng)用可倒過來執(zhí)行，先直接以實(shí)數(shù)解的小數(shù)作為取整區(qū)間半徑r，然后按照式（25）計(jì)算納偽概率。若采用第1種方法，判斷實(shí)數(shù)解是否滿足式（26），滿足則固定，否則保留實(shí)數(shù)解；若采用第2種方法，還需按式（20）和式（27）計(jì)算和T，并按式（28）計(jì)算g，若g＞gmin，則固定，否則保留實(shí)數(shù)解。

4 算例分析

采用基線長(zhǎng)94.6km的兩個(gè)CORS站3h GPS雙頻數(shù)據(jù)進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)RTK模糊度固定試驗(yàn)，采樣間隔1s，截止高度角10°，采用所有數(shù)據(jù)正確固定所有模糊度作為后續(xù)分析參考值。附寬巷模糊度約束的單歷元電離層加權(quán)雙差觀測(cè)方程為

式中，l1、l2、p1和p2分別為經(jīng)衛(wèi)地距改正后的L1和L2雙差相位和偽距觀測(cè)值；為整數(shù)寬巷模糊度為L(zhǎng)1雙差模糊度；τ為相對(duì)天頂對(duì)流層延遲且短時(shí)間內(nèi)不變；h是它的設(shè)計(jì)矩陣；η是雙差電離層延遲參數(shù)；η0為雙差電離層延遲的先驗(yàn)值，通常取0；I是單位陣，觀測(cè)誤差的協(xié)方差陣為

式中，σl＝5mm和σp＝0.5m分別為雙差相位和偽距觀測(cè)值的精度；Q為單歷元雙差觀測(cè)值的協(xié)因數(shù)陣；ση＝15cm為雙差電離層延遲的先驗(yàn)精度。采用多歷元數(shù)據(jù)最小二乘平差計(jì)算實(shí)數(shù)模糊度向量＾a及它的協(xié)方差矩陣，然后采用Bootstrapping方法按高度角從高到低依次固定模糊度。在四舍五入取整中，比較以下5種方案：

方案1 傳統(tǒng)FFV方法，取閾值rmax＝0.2，σmax＝0.1，取整區(qū)域?qū)?yīng)圖4點(diǎn)線的左下方區(qū)域。

方案2 傳統(tǒng)FFV方法，取閾值rmax＝0.4，σmax＝0.2，取整區(qū)域?qū)?yīng)圖4點(diǎn)劃線左下方區(qū)域。

方案3 納偽概率可控的方法但未排除兩種特殊情況，取閾值βmax＝0.01%，取整區(qū)域?qū)?yīng)圖4的實(shí)線下方區(qū)域（即βmax區(qū)域）。

方案4 本文提出的第1種方法，納偽概率可控且結(jié)合FFV排除兩種特殊情況，取閾值rmax＝0.4，σmax＝0.3，取整區(qū)域?qū)?yīng)式（26）定義的βFFV區(qū)域。

方案5 本文提出的第2種方法，納偽概率可控且排除兩種特殊情況，取閾值rmax＝0.4，σmax＝0.3、gmin＝104，取整區(qū)域?qū)?yīng)圖4虛線左下方區(qū)域。

首先采用10個(gè)歷元的觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到1500個(gè)實(shí)數(shù)模糊度向量，共計(jì)約6200個(gè)模糊度。對(duì)于每個(gè)模糊度向量，采用Bootstrapping方法按高度角從高到低依次固定模糊度，即先固定高度角最高的模糊度，然后假設(shè)該模糊度正確固定，采用其參考值改正其余模糊度，然后再固定高度角次高的模糊度，以次類推，固定所有的模糊度。

圖5直觀地展示了納偽概率可控（βmax＝0.01%）的取整區(qū)域與所有6200個(gè)實(shí)數(shù)模糊度的分布，落入實(shí)線區(qū)域內(nèi)的模糊度可以固定，顯然，當(dāng)實(shí)數(shù)模糊度接近整數(shù)時(shí)，可適當(dāng)放寬對(duì)其精度的要求。為了驗(yàn)證納偽概率可控的四舍五入方法在實(shí)際應(yīng)用中的確能夠嚴(yán)格地控制納偽概率，圖6給出了方案2和方案3的固定模糊度對(duì)應(yīng)的納偽概率，方案3的所有固定模糊度的納偽概率都小于0.01%，而方案2有些固定模糊度的納偽概率遠(yuǎn)大于0.01%，說明方案2對(duì)應(yīng)的傳統(tǒng)FFV方法不能有效地控制模糊度固定的納偽水平。

圖5 實(shí)數(shù)模糊度及納偽概率可控（βmax＝0.01%）的取整區(qū)域Fig.5 The float ambiguities and the error probability controllable acceptance region of integer rounding

圖6 方案2和方案3固定的模糊度對(duì)應(yīng)的納偽概率Fig.6 The error probabilities of the fixed ambiguities with respect to the schemes 2and 3

為了分析不同方案在不同實(shí)數(shù)解質(zhì)量下的模糊度固定效果，分別采用3～10個(gè)歷元的數(shù)據(jù)計(jì)算實(shí)數(shù)模糊度，然后采用Bootstrapping方法固定模糊度，再采用不同的四舍五入方案固定模糊度。圖7給出了所有方案采用不同歷元數(shù)據(jù)的模糊度固定概率，隨著歷元數(shù)的增加，模型強(qiáng)度增強(qiáng)，模糊度實(shí)數(shù)解質(zhì)量提高，固定概率增大。圖8給出了所有方案采用不同歷元數(shù)據(jù)固定模糊度的納偽概率，隨著歷元數(shù)的增加，納偽概率也有所增大。方案1的取整區(qū)域控制過于嚴(yán)格，導(dǎo)致固定概率過低，10個(gè)歷元的固定概率依然小于5%；當(dāng)然過于嚴(yán)格的取整區(qū)域能有效地減小納偽概率，如圖8所示，它的納偽概率始終接近0。方案2能有效地提高固定概率，但納偽概率未能得到有效控制，10個(gè)歷元的納偽概率達(dá)到1.5%。方案3采用納偽概率可控的四舍五入策略能根據(jù)實(shí)數(shù)模糊度質(zhì)量調(diào)節(jié)取整區(qū)域，與方案2相比，固定概率提高了4%，但它們的納偽概率相當(dāng)；尤其當(dāng)歷元數(shù)小于8時(shí)，方案3的固定概率大于方案2且納偽概率小于方案2，故方案3比方案2更加合理。

圖7 各種方案不同歷元數(shù)據(jù)的固定概率Fig.7 The fix－rates versus the number of epochs for the different rounding schemes

圖8 各種方案不同歷元數(shù)據(jù)的錯(cuò)誤固定概率Fig.8 The error probabilities of the fixed ambiguities for the different rounding schemes

理論上，方案3的納偽概率統(tǒng)計(jì)意義上應(yīng)該小于風(fēng)險(xiǎn)水平βmax＝0.01%，而實(shí)際結(jié)果卻遠(yuǎn)大于βmax（如圖8所示），原因是方案3以實(shí)數(shù)模糊度估值無偏為理論基礎(chǔ)，而未考慮本文提到的實(shí)際應(yīng)用中的兩種特殊情況，因此，采用本文提出的兩種四舍五入方法（即方案4和方案5）有望較方案3減小納偽概率。比較方案4與方案3，它們的固定概率相當(dāng)，但方案4的納偽概率比方案3減小約一倍。比較方案5與方案3，由于方案5的取整區(qū)域更加嚴(yán)格（參考圖4），固定概率較方案3有所減?。ㄏ鄬?duì)減小22.8%），但方案5的確能更加嚴(yán)格地控制納偽概率，納偽概率從1.5%減小到0.2%（相對(duì)減小86.7%）。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，若可承受適當(dāng)放寬的納偽概率，可采用本文提出的第1種四舍五入方法得到高的固定概率（即試驗(yàn)方案4）；若傾向于嚴(yán)格控制納偽概率，可采用本文提出的第2種四舍五入方法（即試驗(yàn)方案5）。

5 結(jié) 論

RTK模糊度固定通常采用序貫四舍五入法固定只能可靠固定的部分模糊度，其可靠性依賴于四舍五入法的可靠性。而目前采用的FFV和給定成功概率閾值的策略都存在理論或者應(yīng)用上的缺陷。本文提出了根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)水平和實(shí)數(shù)解質(zhì)量自適應(yīng)確定四舍五入取整區(qū)間從而控制納偽概率的方法，并結(jié)合GNSS應(yīng)用中的兩種特殊情況，提出了兩種簡(jiǎn)單實(shí)用的四舍五入取整方案。研究表明：① 縮小四舍五入取整區(qū)間的本質(zhì)是放棄固定容易錯(cuò)誤固定的實(shí)數(shù)解，從而嚴(yán)格控制了納偽概率，提高了固定解的可靠性；②傳統(tǒng)FFV策略很難確定合理的閾值，閾值過小，雖能嚴(yán)格控制納偽概率但其固定效率過低，閾值過大，雖能提高固定效率，但納偽概率不能有效控制；③ 采用納偽概率可控的四舍五入法，若不考慮實(shí)際應(yīng)用中的兩種特殊情況，納偽概率依然不能有效控制；④采用本文提出的第1種方法，即控制納偽概率同時(shí)給定實(shí)數(shù)解的小數(shù)和精度閾值排除兩種特殊情況，能有效地控制納偽概率且保持高的固定概率；⑤ 采用本文提出的第2種方法，即采用目標(biāo)函數(shù)g，能以固定概率的略微減小換來納偽概率的嚴(yán)格控制。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，若可容忍略微放寬的納偽概率（如常規(guī)RTK），可采用本文提出的第1種方法獲得高的固定概率；若傾向于嚴(yán)格控制納偽概率（如網(wǎng)絡(luò)RTK），可采用本文提出的第2種方法。

［1］ LI Bofeng，F(xiàn)ENG Yanming，SHEN Yunzhong.Extended GNSS Ambiguity Resolution Models with Regularization Criterion and Constraints［J］.Journal of Global Positioning Systems，2009，8（2）：149－154.

［2］ TEUNISSEN P.An Optimality Property of the Integer Least－squares Estimator［J］.Journal of Geodesy，1999，73：587－593.

［3］ OU Jikun，WANG Zhenjie.An Improved Regularization Method to Resolve Integer Ambiguity in Rapid Positioning Using Single Frequency GPS Receivers［J］.Chinese Science Bulletin，49（2），196－200.（歐吉坤，王振杰.單頻GPS快速定位中模糊度解算的一種新方法［J］.科學(xué)通報(bào)，2004，49（2）：196－200.）

［4］ GUI Qingming，HAN Songhui.New Algorithm of GPS Rapid Positioning Based on Double－k－type Ridge Estimation［J］.Journal of Surveying Engineering，2007，133（4）：173－178.

［5］ LI Bofeng，SHEN Yunzhong.Prior Baseline Information Based Fast GPS Ambiguity Resolution［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2008，37（4）：413－417.（李博峰，沈云中.顧及基線先驗(yàn)信息的GPS模糊度快速解算［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2008，37（4）：413－417.）

［6］ SHEN Yunzhong，LI Bofeng.Regularized Solution to Fast GPS Ambiguity Resolution［J］.Journal of Surveying Engineering，2007，133（4）：168－172.

［7］ LI Bofeng，SHEN Yunzhong，F(xiàn)ENG Yanming.Fast GNSS Ambiguity Resolution as an Ill－posed Problem［J］.Journal of Geodesy，2010，84：683－698.

［8］ FREI E，BEULTER G.Rapid Static Positioning Based on the Fast Ambiguity Resolution Approach‘FARA’：Theory and First Results［J］.Manuscript Geodesy，1990，15：326－356.

［9］ HATCH R.Instantaneous Ambiguity Resolution［C］∥Proceedings of KIS’90.Banff：［s.n.］，1990：299－308.

［10］ PARK C，KIM I，LEE J，et al.Efficient Ambiguity Resolution Using Constraint Equation［C］∥Proceedings of IEEE Position Location and Navigation Symposium.Atlanta：IEEE，1996：277－284.

［11］ LI Bofeng，SHEN Yunzhong.Global Navigation Satellite System Ambiguity Resolution with Constraints from Normal Equations［J］.Journal of Surveying Engineering，2010，136（2）：63－71.

［12］ EULER H，LANDAU H.Fast Ambiguity Resolution On－The－Fly for Real－Time Applications［C］∥Proceeding of 6th International Geodetic Symposia on Satellite Positioning.Columbus：［s.n.］，1992：650－659.

［13］ LI Bofeng，SHEN Yunzhong.An Improved ARCE Algorithm for GPS Ambiguity Resolution［J］.Journal of Geodesy and Geodynamics，2006，26（3）：102－105.（李博峰，沈云中.改進(jìn)的ARCE算法［J］.大地測(cè)量與地球動(dòng)力學(xué)，2006，26（3）：102－105.）

［14］ LI Bofeng，SHEN Yunzhong.Fast GPS Ambiguity Resolution Constraint to Available Conditions［J］.Geomatics and Information Science of Wuhan University，2009，34（1）：117－121.（李博峰，沈云中.附有約束條件的GPS模糊度快速解算［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：信息科學(xué)版，2009，34（1）：117－121.）

［15］ LI Bofeng.Theory and Method of Parameter Estimation for Mixed Integer GNSS Stochastic and Function Model［D］.Shanghai：Tongji University，2010.（李博峰.混合整數(shù)GNSS函數(shù)模型和隨機(jī)模型參數(shù)估計(jì)理論與方法［D］.上海：同濟(jì)大學(xué)，2010.）

［16］ HASSIBI A，BOYD S.Integer Parameter Estimation in Linear Models with Applications to GPS［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1998，46（11）：2938－2952.

［17］ TEUNISSEN P.Success Probability of Integer GPS Ambiguity Rounding and Bootstrapping［J］.Journal of Geodesy，1998，72：606－612.

［18］ TEUNISSEN P.The Parameter Distributions of the Integer GPS Model［J］.Journal of Geodesy，2002，76：41－48.

［19］ VERHAGEN S.The GNSS Integer Ambiguities：Estimation and Validation［D］.Delft：Delft University of Technology，2005.

［20］ XU Peiliang.Voronoi Cells，Probabilistic Bounds and Hypothesis Testing in Mixed Integer Linear Models［J］.IEEE Transaction Information Theory，2004，52（2）：3122－3138.

［21］ ZHU L，LAI Y，SHAH M，et al.Efficiency of Carrierphase Integer Ambiguity Resolution for Precise GPS Positioning in Noisy Environments［J］.Journal of Geodesy，2007，81：149－156.

［22］ DE JONGE P，TIBERIUS C.The LAMBDA Method for Integer Ambiguity Estimation：Implementation Aspects［R］.Delft：Delft Geodetic Computing Centre，1996.

［23］ DONG D，BOCK Y.Global Positioning System Network Analysis with Phase Ambiguity Resolution Applied to Crustal Deformation Studies in California［J］.Journal of Geophysical Research，1989，94：3949－3966.

［24］ TEUNISSEN P，SIMONS D，TIBERIUS C.Probability and Observation Theory［R］.Delft：Delft University of Technology，2008.

E－mail：bofeng＿li＠163.com

Error Probability Controllable Integer Rounding Method and Its Application to RTK Ambiguity Resolution

LI Bofeng1，SHEN Yunzhong2，ZHANG Xingfu3
1.Key Laboratory of Advanced Surveying Engineering of SBSM，Tongji University，Shanghai 200092，China；2.College of Surveying and Geo－informatics，Tongji University，Shanghai 200092，China；3.Department of Surveying and Geomatics，Guangzhou University of Technology，Guangzhou 510006，China

RTK ambiguity resolution is usually preferable to sequential rounding method to partially fix the ambiguities that can be fixed with high reliability.Hence，it is crucial to control the error probability of rounding.The issue of reliable rounding based on the theory of multiple hypothesis testing will be addressed，where the rounding interval is adaptively determined in terms of the user－defined critical level to tightly control the error probability of ambiguity fixing.Furthermore，regarding to the two special scenarios in real GNSS applications，two easy－to－use rounding strategies are developed.The dual－frequency GPS data collected from two CORS stations of 94.6 km baseline is carried out as a network RTK ambiguity resolution instance to evaluate the performance of the proposed new rounding strategies.The results show that，comparing with the ordinary rounding strategies，the new rounding strategies can indeed control error probability of ambiguity fixing whilst keeping the moderate fix－rate.

RTK；integer rounding；type II error；multiple hypotheses；hypothesis testing

LI Bofeng（1983—），male，postdoctoral fellow，majors in geodetic data processing theory，GNSS theory and applications.

LI Bofeng，SHEN Yunzhong，ZHANG Xingfu.Error Probability Controllable Integer Rounding Method and Its Application to RTK Ambiguity Resolution［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2012，41（4）：483－489.（李博峰，沈云中，張興福.納偽概率可控的四舍五入法及其在RTK模糊度固定中的應(yīng)用［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2012，41（4）：483－489.）

P228

A

1001－1595（2012）04－0483－07

國(guó)家自然科學(xué)基金（41074018；41104002）

宋啟凡）

2011－09－29

2011－12－06

李博峰（1983—），男，博士后，研究方向?yàn)榇蟮販y(cè)量數(shù)據(jù)處理理論，GNSS理論與應(yīng)用。