不同變形性質(zhì)正軸圓柱投影和正軸圓錐投影間的直接變換

李厚樸，邊少鋒

1.海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系，湖北武漢430033；2.海島（礁）測(cè)繪技術(shù)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島266510；3.中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所，湖北武漢430077

不同變形性質(zhì)正軸圓柱投影和正軸圓錐投影間的直接變換

李厚樸1，2，邊少鋒1，3

1.海軍工程大學(xué)導(dǎo)航工程系，湖北武漢430033；2.海島（礁）測(cè)繪技術(shù)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島266510；3.中國(guó)科學(xué)院測(cè)量與地球物理研究所，湖北武漢430077

為避免不同變形性質(zhì)正軸圓柱投影和正軸圓錐投影間傳統(tǒng)間接變換繁瑣的計(jì)算過(guò)程，利用子午線弧長(zhǎng)、等量緯度和等面積緯度函數(shù)間變換的直接展開(kāi)式，建立了相應(yīng)投影坐標(biāo)間的直接變換模型，無(wú)需計(jì)算大地緯度即可完成變換。本文導(dǎo)出公式均為含參考橢球第一偏心率的符號(hào)形式，可解決兩類(lèi)投影在不同參考橢球下的變換問(wèn)題。算例分析表明與傳統(tǒng)間接變換模型相比，本文建立的直接變換模型提高了計(jì)算效率和計(jì)算精度，可供實(shí)際使用。

地圖投影；正軸圓柱投影；正軸圓錐投影；不同變形性質(zhì)；直接變換

1 引 言

正軸圓柱投影和正軸圓錐投影是在測(cè)量和地圖制圖中應(yīng)用非常廣泛的兩類(lèi)重要投影，航空?qǐng)D、海圖、世界全圖和區(qū)域地圖等的繪制主要采用這兩類(lèi)投影方式［1－2］，在實(shí)際生產(chǎn)中經(jīng)常會(huì)遇到這兩類(lèi)投影間的變換問(wèn)題。文獻(xiàn)［3—6］對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了深入研究，取得了卓有成效的成果，但對(duì)于橢球情形下不同變形性質(zhì)投影間的變換，則是通過(guò)間接變換法實(shí)現(xiàn)的，計(jì)算思路可簡(jiǎn)單概括為“圓柱→橢球→圓錐”，由于需要反解出大地緯度，計(jì)算過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，并且有的公式表現(xiàn)為具體的數(shù)值形式，僅能解決某一特定參考橢球下的變換問(wèn)題，不便于推廣使用。

子午線弧長(zhǎng)、等量緯度和等面積緯度函數(shù)是不同變形性質(zhì)正軸圓柱投影和正軸圓錐投影中的3類(lèi)重要變量。這3類(lèi)變量都是大地緯度的函數(shù)，它們和大地緯度間的正反算問(wèn)題已得到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的深入研究并已有效解決［7－14］，但對(duì)于它們之間的變換，傳統(tǒng)上則是通過(guò)解算大地緯度間接實(shí)現(xiàn)的，不僅計(jì)算非常繁瑣，而且不便于理論分析。筆者借助具有強(qiáng)大符號(hào)運(yùn)算功能的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Mathematica［15］，對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了新的研究，推導(dǎo)出它們之間變換的直接展開(kāi)式［16－18］，為實(shí)現(xiàn)不同變形性質(zhì)正軸圓柱投影和正軸圓錐投影間的直接變換提供了新的思路。本文利用文獻(xiàn)［16］導(dǎo)出的子午線弧長(zhǎng)、等量緯度和等面積緯度函數(shù)間變換的直接展開(kāi)式，深入研究了不同變形性質(zhì)正軸圓柱投影和正軸圓錐投影間的直接變換問(wèn)題，建立了相應(yīng)投影坐標(biāo)間的直接變換模型。

2 子午線弧長(zhǎng)、等量緯度和等面積緯度

函數(shù)間變換的直接展開(kāi)式［16］

2.1 子午線弧長(zhǎng)和等量緯度間變換的直接展開(kāi)式

子午線弧長(zhǎng)X變換至等量緯度q的直接展開(kāi)式為

式中，R＝a（1－e2）K0，a為參考橢球長(zhǎng)半軸，e為參考橢球第一偏心率，系數(shù)為

等量緯度q變換至子午線弧長(zhǎng)X的直接展開(kāi)式為

式中，系數(shù)為

2.2 子午線弧長(zhǎng)和等面積緯度函數(shù)間變換的直接展開(kāi)式

子午線弧長(zhǎng)X變換至等面積緯度函數(shù)F的直接展開(kāi)式為

式中，系數(shù)為

等面積緯度函數(shù)F變換至子午線弧長(zhǎng)X的直接展開(kāi)式為

式中，R′2＝a2（1－e2）A，系數(shù)為

2.3 等量緯度和等面積緯度函數(shù)間變換的直接展開(kāi)式

等量緯度q變換至等面積緯度函數(shù)F的直接展開(kāi)式為

式中，系數(shù)為

等面積緯度函數(shù)F變換至等量緯度q的直接展開(kāi)式為

式中，系數(shù)為

3 不同變形性質(zhì)正軸圓柱投影和正軸圓錐投影間的直接變換

3.1 不同變形性質(zhì)的正軸圓柱投影和正軸圓錐投影

3.1.1 不同變形性質(zhì)的正軸圓柱投影

等距離正軸圓柱投影的坐標(biāo)公式為

等角正軸圓柱投影的坐標(biāo)公式為

等面積正軸圓柱投影的坐標(biāo)公式為

式（13）～式（15）中，l為經(jīng)差；r0i（i＝1，2，3）為基準(zhǔn)緯度處的圓柱半徑。

3.1.2 不同變形性質(zhì)的正軸圓錐投影

等距離正軸圓錐投影的坐標(biāo)公式為

式中

等角正軸圓錐投影的坐標(biāo)公式為

式中

式中，exp（－a2q）＝e－a2q，e＝2.718 281 828為自然對(duì)數(shù)的底。

等面積正軸圓錐投影的坐標(biāo)公式為

式中

式（16）～式（21）中，ρsi、αi、Ci（i＝1，2，3）為相應(yīng)投影的投影常數(shù)，計(jì)算公式見(jiàn)文獻(xiàn)［3］。

3.2 不同變形性質(zhì)正軸圓柱投影和正軸圓錐投影間的直接變換模型

3.2.1 等距離正軸圓柱投影和等角正軸圓錐投影間的直接變換模型

由式（13）可反解得X、l

將式（22）代入式（18），顧及式（19），可得等距離正軸圓柱投影直接變換至等角正軸圓錐投影的坐標(biāo)關(guān)系式為

式中，q可根據(jù)式（1）表示為

由式（18）可反解得ρ2、δ2，將其代入式（19）可反解得q、l

將式（25）代入式（13），并顧及式（3），可得等角正軸圓錐投影直接變換至等距離正軸圓柱投影的坐標(biāo)關(guān)系式為

3.2.2 等距離正軸圓柱投影和等面積正軸圓錐投影間的直接變換模型

將式（22）代入式（20），并顧及式（21），可得等距離正軸圓柱投影直接變換至等面積正軸圓錐投影的坐標(biāo)關(guān)系式為

式中，F(xiàn)可根據(jù)式（5）表示為

由式（20）可反解得ρ3、δ3，將其代入式（21）可反解得F、l

將式（29）代入式（13），并顧及式（7），可得等面積正軸圓錐投影直接變換至等距離正軸圓柱投影的坐標(biāo)關(guān)系式為

3.2.3 等角正軸圓柱投影和等距離正軸圓錐投影間的直接變換模型

由式（14）可反解得q、l

將式（31）代入式（16），并顧及式（17），可得等角正軸圓柱投影直接變換至等距離正軸圓錐投影的坐標(biāo)關(guān)系式為

式中，X可根據(jù)式（3）表示為

由式（16）可反解得ρ1、δ1，將其代入式（17）可反解得X、l

將式（34）代入式（14），并顧及式（1），可得等距離正軸圓錐投影直接變換至等角正軸圓柱投影的坐標(biāo)關(guān)系式為

3.2.4 等角正軸圓柱投影和等面積正軸圓錐投影間的直接變換模型

將式（31）代入式（20），并顧及式（21），可得等角正軸圓柱投影直接變換至等面積正軸圓錐投影的坐標(biāo)關(guān)系式為

式中，F(xiàn)可根據(jù)式（9）表示為

將式（29）代入式（14），并顧及式（11），可得等面積正軸圓錐投影直接變換至等角正軸圓柱投影的坐標(biāo)關(guān)系式為

3.2.5 等面積正軸圓柱投影和等距離正軸圓錐投影間的直接變換模型

由式（15）可反解得

將式（39）代入式（16），并顧及式（17），可得等面積正軸圓柱投影直接變換至等距離正軸圓錐投影的坐標(biāo)關(guān)系式為

式中，X可根據(jù)式（7）表示為

將式（34）代入式（15），顧及式（5），可得等距離正軸圓錐投影直接變換至等面積正軸圓柱投影的坐標(biāo)關(guān)系式為

3.2.6 等面積正軸圓柱投影和等角正軸圓錐投影間的直接變換模型

將式（39）代入式（18），并顧及式（19），可得等面積正軸圓柱投影直接變換至等角正軸圓錐投影的坐標(biāo)關(guān)系式為

式中，q可根據(jù)式（11）表示為

將式（25）代入式（18），并顧及式（9），可得等角正軸圓錐投影直接變換至等面積正軸圓柱投影的坐標(biāo)關(guān)系式為

4 算例分析

為驗(yàn)證本文建立的不同變形性質(zhì)正軸圓柱投影和正軸圓錐投影間的直接變換模型的有效性與快捷性，同時(shí)為了與文獻(xiàn)［3］給出的傳統(tǒng)間接變換模型進(jìn)行比較，以等角正軸圓錐投影變換至等面積正軸圓柱投影為例，選用CGCS2000橢球常數(shù)［19－20］a＝6 378 137m、1／f＝298.257 222 101進(jìn)行了計(jì)算分析，具體分析思路如下。

等角正軸圓錐投影的投影區(qū)域?yàn)?8°N≤B≤54°N，雙標(biāo)準(zhǔn)緯線分別取為B1＝27°N，B2＝45°N，經(jīng)差變化范圍為0°≤l≤30°，等面積正軸圓柱投影的基準(zhǔn)緯度取為0°。取定大地緯度B和經(jīng)差l，分別代入式（15）和式（18）可得等面積正軸圓柱投影坐標(biāo)（x3，y3）和等角正軸圓錐投影坐標(biāo)（X2，Y2），將（X2，Y2）分別代入文獻(xiàn)［3］給出的間接變換模型和本文建立的直接變換模型式（45）可得變換后的等面積正軸圓柱投影坐標(biāo)，依次記為（x′3，y′3）和（x″3，y″3），分別與（x3，y3）相減，可得間接變換模型的計(jì)算誤差（Δx′3，Δy′3）和直接變換模型的計(jì)算誤差（Δx″3，Δy″3）。

投影區(qū)域包含的點(diǎn)數(shù)可由大地緯度和經(jīng)差方向的分辨率確定，取分辨率為1°×1°、0.5°× 0.5°、0.1°×0.1°3種情況，間接變換模型和直接變換模型的計(jì)算用時(shí)分別記為t1、t2，如表1所示，分辨率為0.1°×0.1°時(shí)兩種模型的計(jì)算誤差統(tǒng)計(jì)情況如表2所示。

表1 間接變換模型和直接變換模型的計(jì)算用時(shí)Tab.1 The calculation time of the indirect and direct transformation models s

表2 分辨率為0.1°×0.1°時(shí)間接變換模型和直接變換模型的計(jì)算誤差Tab.2 Statistics of the calculation errors of the indirect and direct transformation models at the resolution of 0.1°×0.1° m

由表1可以看出，當(dāng)分辨率為1°×1°（共37× 31個(gè)點(diǎn)）時(shí)，間接變換模型用時(shí)為4.391s，直接變換模型用時(shí)僅為0.469s，約為間接變換模型用時(shí)的10.7%；當(dāng)分辨率為0.1°×0.1°（共361× 301個(gè)點(diǎn)）時(shí)，間接變換模型用時(shí)為275.391s，直接變換模型用時(shí)僅為45.359s，約為間接變換模型用時(shí)的16.5%。由表2可以看出，傳統(tǒng)間接變換模型的橫坐標(biāo)計(jì)算誤差和直接變換模型的橫坐標(biāo)計(jì)算誤差基本一致，均在10－9m量級(jí)；本文建立的直接變換模型的縱坐標(biāo)計(jì)算精度相比于傳統(tǒng)間接變換模型提高了4個(gè)數(shù)量級(jí)。

5 結(jié) 論

本文研究了不同變形性質(zhì)正軸圓柱投影和正軸圓錐投影間的變換問(wèn)題，主要結(jié)論如下：

（1）為避免傳統(tǒng)間接變換“圓柱→橢球→圓錐”繁瑣的計(jì)算過(guò)程，利用子午線弧長(zhǎng)、等量緯度和等面積緯度函數(shù)間變換的直接展開(kāi)式，建立了不同變形性質(zhì)正軸圓柱投影和正軸圓錐投影間的直接變換模型，無(wú)需反解大地緯度即可實(shí)現(xiàn)投影變換。

（2）本文建立的直接變換模型為含參考橢球第一偏心率的符形式，可解決兩類(lèi)投影在不同參考橢球下的變換問(wèn)題，適合于計(jì)算機(jī)編程計(jì)算。

（3）以等角正軸圓錐投影變換至等面積正軸圓柱投影為例，對(duì)本文建立的直接變換模型的有效性和快捷性進(jìn)行了分析。結(jié)果表明，與傳統(tǒng)間接變換模型相比，本文建立的直接變換模型提高了計(jì)算效率和計(jì)算精度。

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The Direct Transformations between Normal Cylindrical and Conic Projections with Different Distortion Properties

LI Houpu1，2，BIAN Shaofeng1，3
1.Department of Navigation，Naval University of Engineering，Wuhan430033，China；2.Key Laboratory of Surveying and Mapping Technology on Island and Reef，National Administration of Surveying，Mapping and Geoinformation，Qingdao 266510，China；3.Institute of Geodesy and Geophysics，Chinese Academy of Sciences，Wuhan 430077，China

In order to avoid the fussy processes of traditional indirect transformations between normal cylindrical and normal conic projections with different distortion properties，the direct transformation models between the corresponding projection coordinates were established using the direct expansions of transformations between meridian arc，isometric latitude and authalic latitude function.The formulas are symbolical expressions which include the first eccentricity of the referenced ellipsoid and could solve the transformation problems when different reference ellipsoids are used.Numerical examples show that the direct transformation modes have improved the computation efficiency and accuracy compared to the traditional indirect transformation ones，and they could satisfy practical use.

map projection；normal cylindrical projection；normal conic projection；different distortion properties；direct transformation

LI Houpu（1985—），male，PhD，lecturer，majors in geodesy and satellite navigation.

LI Houpu，BIAN Shaofeng.The Direct Transformations between Normal Cylindrical and Conic Projections with Different Distortion Properties［J］.Acta Geodaetica et Cartographica Sinica，2012，41（4）：536－542.（李厚樸，邊少鋒.不同變形性質(zhì)正軸圓柱投影和正軸圓錐投影間的直接變換［J］.測(cè)繪學(xué)報(bào)，2012，41（4）：536－542.）

P282.1

A

1001－1595（2012）04－0536－07

國(guó)家973計(jì)劃（2012CB719902）；國(guó)家自然科學(xué)基金（41071295；40904018）；海島（礁）測(cè)繪技術(shù)國(guó)家測(cè)繪地理信息局重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室資助項(xiàng)目（2010B04）；水下測(cè)控技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室延伸性發(fā)展基金（YS0C261102）

宋啟凡）

2011－08－29

2011－12－21

李厚樸（1985—），男，博士，講師，主要研究方向?yàn)榇蟮販y(cè)量和衛(wèi)星導(dǎo)航。

E－mail：lihoupu1985＠126.com