太陽(yáng)帆航天器行星際軌道轉(zhuǎn)移優(yōu)化算法*

錢(qián) 航,鄭建華

(1.中國(guó)科學(xué)院空間科學(xué)與應(yīng)用研究中心,北京100190；2.中國(guó)科學(xué)院研究生院,北京100190)

太陽(yáng)帆航天器行星際軌道轉(zhuǎn)移優(yōu)化算法*

錢(qián) 航1,2,鄭建華1

(1.中國(guó)科學(xué)院空間科學(xué)與應(yīng)用研究中心,北京100190；2.中國(guó)科學(xué)院研究生院,北京100190)

研究基于遺傳算法的太陽(yáng)帆行星際轉(zhuǎn)移軌道的全局優(yōu)化問(wèn)題.通過(guò)極小值原理推導(dǎo)了太陽(yáng)帆全局優(yōu)化控制律，并以太陽(yáng)帆飛行時(shí)間最短為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，運(yùn)用遺傳算法對(duì)發(fā)射時(shí)間、到達(dá)時(shí)間和協(xié)態(tài)變量初值進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì).為了解決軌道轉(zhuǎn)移這一多約束優(yōu)化問(wèn)題，在遺傳算法中加入動(dòng)態(tài)罰函數(shù).在此理論基礎(chǔ)上作了從地球同步軌道出發(fā)到火星同步軌道轉(zhuǎn)移和從地球出發(fā)與火星交會(huì)兩個(gè)算例，仿真結(jié)果表明了該方法在太陽(yáng)帆轉(zhuǎn)移軌道全局優(yōu)化中的有效性.

太陽(yáng)帆；全局優(yōu)化；遺傳算法；轉(zhuǎn)移軌道；罰函數(shù)

2010年發(fā)射的日本伊卡洛斯號(hào)［1］太陽(yáng)帆成功驗(yàn)證了太陽(yáng)帆推進(jìn)用于深空探測(cè)的有效性,使得太陽(yáng)帆推進(jìn)技術(shù)在未來(lái)空間探測(cè)任務(wù)的應(yīng)用研究中成為熱點(diǎn).與傳統(tǒng)化學(xué)推進(jìn)方式相比,太陽(yáng)帆推進(jìn)利用太陽(yáng)光壓產(chǎn)生持續(xù)推力,可給航天器提供連續(xù)小推力,且自身無(wú)需攜帶大量燃料.雖然太陽(yáng)光壓很小,但持續(xù)地加速可使太陽(yáng)帆最終達(dá)到傳統(tǒng)航天器5～10倍的速度,因此適用于深空探測(cè)［2］.

太陽(yáng)帆最小時(shí)間軌道轉(zhuǎn)移設(shè)計(jì)的核心和難點(diǎn)之一是發(fā)射窗口的選取和協(xié)態(tài)變量初值的猜測(cè)［3-5］.針對(duì)這個(gè)問(wèn)題,學(xué)者們發(fā)展了多種優(yōu)化方法,這些方法主要可以分為兩大類(lèi):間接法和直接法.間接法計(jì)算量小且能得到精確解,但由于控制曲線對(duì)初始協(xié)態(tài)變量異常敏感,同時(shí)協(xié)態(tài)變量是無(wú)物理意義的量,使得要在這樣一個(gè)很小的收斂半徑內(nèi)猜測(cè)一個(gè)精確的初始值相當(dāng)困難.直接法把優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問(wèn)題,原理簡(jiǎn)單,收斂性好,更易于實(shí)現(xiàn).

本文根據(jù)極小值原理推導(dǎo)了太陽(yáng)帆全局優(yōu)化控制律,運(yùn)用遺傳算法對(duì)發(fā)射時(shí)間、到達(dá)時(shí)間和協(xié)態(tài)變量初值進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì),并采用動(dòng)態(tài)罰函數(shù)法將末端約束反映到性能指標(biāo)函數(shù)中,從而將最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題.最后,通過(guò)從地球同步軌道出發(fā)到火星同步軌道轉(zhuǎn)移和從地球出發(fā)與火星交會(huì)兩個(gè)算例對(duì)該算法的有效性進(jìn)行了驗(yàn)證.

1 理想太陽(yáng)帆時(shí)間最優(yōu)轉(zhuǎn)移軌道

1.1 運(yùn)動(dòng)方程

系統(tǒng)模型如圖1所示,其中x軸指向春分點(diǎn)方向.本文中航天器建模為具有質(zhì)量m和面積A并在動(dòng)力性特性上可以視為質(zhì)點(diǎn)的完全平整的太陽(yáng)帆.定義太陽(yáng)帆本體坐標(biāo)系S-xbyb,其中 xb軸定義了太陽(yáng)帆面的法線方向.太陽(yáng)帆方向角 α(-π/2≤α≤π/2)被定義為 xb軸與照射在帆面上太陽(yáng)光線的夾角.太陽(yáng)帆的初始軌道和目標(biāo)軌道均為太陽(yáng)系行星的軌道,在此建模為日心共面圓軌道.

圖1 系統(tǒng)模型Fig.1 System model

式中β為光壓因子,所有變量經(jīng)過(guò)無(wú)量綱化處理.

1.2 約束條件

太陽(yáng)帆轉(zhuǎn)移軌道的初始條件為

進(jìn)入目標(biāo)軌道后的終端約束條件:

式中,t0和tf分別為出發(fā)時(shí)刻和到達(dá)時(shí)刻,r0和rf分別為初始行星和目標(biāo)行星的軌道半徑.對(duì)從某顆行星上出發(fā)飛往另一顆行星的任務(wù),則要求θ(t0)=θ0和θ(tf)=θf(wàn),而對(duì)從某顆行星同步軌道出發(fā)飛往另一顆行星的同步軌道的任務(wù),對(duì)θ(t0)和θ(tf)不作要求,θ(t0)和θ(tf)可取任意值.

對(duì)于太陽(yáng)帆轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化問(wèn)題,如果不加以限制,在算法迭代過(guò)程中,有時(shí)會(huì)得到轉(zhuǎn)移時(shí)間tf-t0＜0的解.這顯然違背了到達(dá)時(shí)刻大于出發(fā)時(shí)刻的常識(shí),因此還必須加上轉(zhuǎn)移時(shí)間tf-t0＞0這一約束條件.

1.3 最優(yōu)條件

太陽(yáng)帆時(shí)間最優(yōu)控制的目標(biāo)函數(shù)為

構(gòu)造該系統(tǒng)的Hamilton函數(shù)［10-11］

式中λ=［λ1λ2λ3λ4］T為協(xié)態(tài)變量.

λ2=常值(當(dāng)且僅當(dāng)θ(tf)為任意值,

根據(jù)Pontryagin極小值原理,最優(yōu)控制輸入u*≡α*使Hamilton函數(shù)H最小

其中x*和λ*表示最優(yōu)狀態(tài)和協(xié)態(tài)矢量.即最優(yōu)方向角α*可以通過(guò)?H/?α=0得到,即

由協(xié)態(tài)方程(9)～(12)和式(13)可以看出,最優(yōu)控制輸入可由協(xié)態(tài)變量初值完全確定.因此,可將協(xié)態(tài)變量初值作為尋優(yōu)變量,從而太陽(yáng)帆轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)多約束多變量?jī)?yōu)化問(wèn)題,尋優(yōu)參數(shù)為

2 基于遺傳算法的軌道轉(zhuǎn)移算法

遺傳算法是基于自然選擇和基因遺傳學(xué)原理的一種自適應(yīng)全局優(yōu)化概率搜索算法.它通過(guò)對(duì)參數(shù)空間編碼并用隨機(jī)選擇作為工具來(lái)引導(dǎo)搜索過(guò)程向著更高效的方向發(fā)展［12］.為獲得太陽(yáng)帆轉(zhuǎn)移軌道的全局最優(yōu)解,需要采用遺傳算法這種大范圍搜索特性的全局搜索算法對(duì)上述非線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解.本文針對(duì)軌道轉(zhuǎn)移這一多約束優(yōu)化問(wèn)題,提出了基于精英解保持遺傳算法的軌道轉(zhuǎn)移算法.

2.1 編碼方式

編碼的目的是為實(shí)現(xiàn)交叉、變異等類(lèi)似生物界的遺傳操作.編碼方式有許多種,與求解速度、計(jì)算精度有直接關(guān)系,對(duì)算法有重要影響.針對(duì)自變量定義域范圍不大和個(gè)數(shù)不多的特點(diǎn),可以采用二進(jìn)制編碼.這種編碼方式可在保證求解精度的情況下,使編碼、解碼、交叉、變異等遺傳操作更容易實(shí)現(xiàn).

2.2 交叉算子(C rossover Operator)

交叉算子是對(duì)兩個(gè)相互配對(duì)的染色體按某種方式相互交換其部分基因,從而形成兩個(gè)新的個(gè)體,以實(shí)現(xiàn)高效搜索的重要算子.利用交叉有可能將父代個(gè)體在子代組合成具有更高適應(yīng)度的個(gè)體,這是遺傳算法區(qū)別于其他傳統(tǒng)優(yōu)化方法的主要特點(diǎn)之一.

2.3 變異算子(M utation Operator)

變異算子是以很小的概率隨機(jī)地改變一個(gè)基因位的值.如對(duì)于二進(jìn)制串來(lái)說(shuō),即是將隨機(jī)選取的串位由1變?yōu)?或由0變?yōu)?.變異的概率通常是很小的,一般只有千分之幾.遺傳算法的變異特性可以使求解過(guò)程隨機(jī)的搜索到解可能存在的整個(gè)空間,因此可以在一定程度上求得全局最優(yōu)解.

2.4 選擇算子(Selection Operator)

選擇算子設(shè)計(jì)為精英解保持的輪盤(pán)賭選擇算子.父代種群中各個(gè)個(gè)體被選入到子代種群的概率與其適應(yīng)度大小成正比.每個(gè)個(gè)體被選擇的概率可以用下面公式表示:

式中 fi表示第i個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度,n表示種群中的個(gè)體數(shù).最優(yōu)秀的若干個(gè)體(一般取一個(gè)或兩個(gè))被作為精英解直接選入到子代種群中.這實(shí)際上是對(duì)“自然選擇,適者生存”的模擬.

2.5 算法框架

基于上述問(wèn)題編碼和遺傳算子設(shè)計(jì),提出的算法框架如圖2所示［13-15］.

圖2 算法框架Fig.2 Main steps of algorithm

3 基于動(dòng)態(tài)罰函數(shù)的約束處理方法

種群經(jīng)交叉算子和變異算子作用后,產(chǎn)生的新個(gè)體必然包含不可行解,所以必須要進(jìn)行約束處理.目前對(duì)于遺傳算法優(yōu)化處理約束問(wèn)題的研究成果較多,罰函數(shù)是最重要而常用的約束處理方式之一.罰函數(shù)設(shè)計(jì)難點(diǎn)在于懲罰系數(shù)的取值.如果懲罰系數(shù)取值過(guò)小,懲罰機(jī)制失效,導(dǎo)致遺傳算法收斂速度變慢,且種群中不可行解數(shù)量增加；如果懲罰系數(shù)取值過(guò)大,會(huì)造成過(guò)度懲罰,導(dǎo)致演化過(guò)程提早收斂.在演化過(guò)程起始階段,要求懲罰系數(shù)較小,使得算法能在解空間中更大范圍內(nèi)搜索問(wèn)題的最優(yōu)解.在演化結(jié)束階段,則要求加大懲罰力度,保證種群中的個(gè)體盡可能地滿足約束條件.定義轉(zhuǎn)移軌道的罰函數(shù)為［16］

當(dāng)滿足約束條件時(shí),S=0,無(wú)論M多大,則F≡J,即不受懲罰.當(dāng)不滿足約束條件時(shí),S＞0,并且約束條件被破壞得越厲害,S＞0取值也就越大,從而F=J+MS也就越大,即對(duì)于約束條件被破壞是一種懲罰.懲罰因子M越大,懲罰得越厲害,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)計(jì)算可以選取Mi+1=cMi,取c∈［10,1000］.

對(duì)于與火星交會(huì)的轉(zhuǎn)移時(shí)間tf-t0＞0這一約束條件,可以將式(14)中第二個(gè)優(yōu)化參數(shù) tf換成另一個(gè)優(yōu)化參數(shù)td,表示飛行所用時(shí)間,只要讓其大于零即可.此方法還允許預(yù)估飛行時(shí)間的上限,以減少算法搜索時(shí)間.

4 試驗(yàn)與分析

針對(duì)從地球同步軌道出發(fā)到火星同步軌道轉(zhuǎn)移和從地球出發(fā)與火星交會(huì)轉(zhuǎn)移,采用以上給出的基于遺傳算法的軌道轉(zhuǎn)移算法,進(jìn)行數(shù)值仿真.地球和火星的軌道半徑分別為r0=1AU、rf=1.524AU (1AU=1.49597870×1011m,表示太陽(yáng)到地球的距離).選取太陽(yáng)帆特征加速度ac=0.5mm/s,尋優(yōu)參數(shù)為式(14),對(duì)于算例4.1由于與發(fā)射具體日期無(wú)關(guān),故可以減少一個(gè)優(yōu)化變量t0.協(xié)態(tài)變量初值的上下界雖然可以取正負(fù)無(wú)窮,但實(shí)際計(jì)算的時(shí)候一般合理地給定,算例中取 ±5之間.經(jīng)過(guò)反復(fù)調(diào)試,在算法的運(yùn)行時(shí)間和收斂性上做了平衡,遺傳算法的參數(shù)最終設(shè)定為種群代數(shù) Gmax=100,種群大小為40,交叉概率為0.8,精英解保持個(gè)數(shù)為2.

4.1 火星同步軌道轉(zhuǎn)移

對(duì)于同步軌道轉(zhuǎn)移模型,圖3給出了太陽(yáng)帆從地球同步軌道到火星同步軌道的轉(zhuǎn)移軌跡,圖4給出了最終求得的火星軌道轉(zhuǎn)移過(guò)程中太陽(yáng)帆方向角的變化過(guò)程.仿真后得到的其飛行時(shí)間是558.18d,協(xié)態(tài)變量初值 λ0=［-1.609601 0.042179 -0.160488 -1.597537］T.

4.2 與火星交會(huì)轉(zhuǎn)移

對(duì)于與火星交會(huì)軌道轉(zhuǎn)移模型,圖5給出了太陽(yáng)帆從地球出發(fā)飛到火星的轉(zhuǎn)移軌跡,圖6給出了最終求得的飛往火星過(guò)程中太陽(yáng)帆方向角的變化過(guò)程.由于該模型比同步軌道轉(zhuǎn)移模型多一個(gè)約束θ(tf)=θf(wàn),因此相應(yīng)增大了算法搜索時(shí)間.假定任務(wù)要求的發(fā)射時(shí)間段為2011年1月1日到2013年1月1日,任務(wù)允許的最大轉(zhuǎn)移時(shí)間為800d.仿真后得到的其飛行時(shí)間是575.51d,協(xié)態(tài)變量初值 λ0=［-1.899293 -1.602220 2.492184-2.030905］T.文獻(xiàn)［6］給出的太陽(yáng)帆地火轉(zhuǎn)移軌道飛行時(shí)間是620d,該算法得到的結(jié)果則比此文獻(xiàn)給出的結(jié)果要少44.5d.

4.3 分析結(jié)果

為了說(shuō)明算法的有效性和控制律的可行性,表1給出了算法得到的結(jié)果與設(shè)計(jì)值之間的相對(duì)誤差.無(wú)論是間接法還是直接法都是無(wú)法完全滿足最優(yōu)軌道的約束條件,因?yàn)榭倳?huì)產(chǎn)生相對(duì)誤差.從表1的數(shù)據(jù)可以看出,該算法得出的相對(duì)位置和速度誤差是在允許的范圍內(nèi).之所以算例4.2飛行所需時(shí)間比算例4.1多,是因?yàn)樗憷?.2多一個(gè)相位約束θ(tf)=θf(wàn),那么太陽(yáng)帆需要更多的時(shí)間來(lái)調(diào)整相位.給出的兩組協(xié)態(tài)變量初值都非常沒(méi)有規(guī)律,要在收斂半徑很小的解空間內(nèi)猜測(cè)這樣的初值是非常困難的.因此,該套算法可以為非軌道專(zhuān)家的研究者提供一個(gè)合適的解決方案.

圖3 地球-火星同步軌道轉(zhuǎn)移軌跡Fig.3 Earth-Mars synchronous orbit transfer trajectory

圖4 地球-火星同步軌道的太陽(yáng)帆方向角變化Fig.4 Time history of sail direction angle for Earth-Mars synchronous orbit

圖5 太陽(yáng)帆與火星交會(huì)轉(zhuǎn)移軌跡Fig.5 Transfer trajectory of solar sail rendezvous with Mars

圖6 太陽(yáng)帆與火星交會(huì)轉(zhuǎn)移的方向角變化Fig.6 Time history of sail direction angle for rendezvousing with Mars

表1 相對(duì)誤差Tab.1 Relative errors

從上面兩個(gè)算例的方向角變化圖可以看出,方向角變化比較平緩,沒(méi)有任何尖刺或者突變,這對(duì)控制系統(tǒng)的要求就不太高,并且太陽(yáng)帆屬于大型撓性結(jié)構(gòu),這樣簡(jiǎn)單平滑的控制律也比較容易在太陽(yáng)帆工程上實(shí)現(xiàn).

從上面兩個(gè)算例的軌跡圖可以看出,如果不需要與火星交會(huì)的話,太陽(yáng)帆能夠以雙曲超越速度快速將有效載荷送往火星同步軌道.交會(huì)任務(wù)的整個(gè)飛行軌跡分為兩個(gè)階段:第一個(gè)階段是太陽(yáng)帆以外螺旋軌跡飛往火星軌道；第二階段是太陽(yáng)帆進(jìn)行調(diào)相,此時(shí)太陽(yáng)帆飛行弧段處于火星軌道之外不遠(yuǎn)處調(diào)整相位和速度,最終到達(dá)火星.

5 結(jié) 論

本文研究了基于遺傳算法的太陽(yáng)帆行星際轉(zhuǎn)移軌道的全局優(yōu)化問(wèn)題.將太陽(yáng)帆轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)多約束多變量?jī)?yōu)化問(wèn)題,從而可以使用帶罰函數(shù)的遺傳算法對(duì)這個(gè)非線性規(guī)劃問(wèn)題進(jìn)行求解.數(shù)值結(jié)果表明,基于遺傳算法的軌道轉(zhuǎn)移算法可以有效解決行星際太陽(yáng)帆轉(zhuǎn)移軌道優(yōu)化問(wèn)題.盡管該套算法在解空間中搜索非常高效,但由于遺傳算法并沒(méi)有使用任何梯度信息(這是遺傳算法的特征),它并不能保證快速收斂到全局最優(yōu)解附近,因此并不能保證準(zhǔn)確得到全局最優(yōu)解,有可能得到的是次優(yōu)解.同時(shí),在太陽(yáng)帆軌道運(yùn)動(dòng)的優(yōu)化中,考慮姿態(tài)運(yùn)動(dòng)和撓性振動(dòng)的影響以及遺傳算法的收斂性能、搜索效率和自適應(yīng)性是應(yīng)進(jìn)一步深入研究的方向.

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Op tim ization A lgorithm for Interp lanetary Transfer Trajectories of Solar-Sail Spacecraft

QIAN Hang1,2,ZHENG Jianhua1
(1.Center for Space Science and Applied Research,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100190,China；2.Graduate University of Chinese Academy of Sciences,Beijing 100190,China)

Minimum-time orbit transfers for solar sail spacecraft base on genetic algorithm(GA)are explored.The optimal control law is derived from the maximum principle,minimum time consumption is chosen as the optim ization objective,and the launch date,the arrive date and the initial guess of the costates are optimized by using GA.In order to dealwith the design of transfer orbitwith many constraints, the penalty function is introduced into the GA.Orbit transfers for solar sail from Earth’s synchronous heliocentric orbit to Mars’synchronous heliocentric orbit and from Earth to Mars have been designed and simulated as examples.Results of simulation show correctness and practicability of proposed orbit transfer algorithm.

solar sail；global optim ization；genetic algorithm(GA)；transfer orbit；penalty function

V249

A

1674-1579(2012)01-0018-05

錢(qián) 航(1987-),男,碩士研究生,研究方向?yàn)樘?yáng)帆航天器軌道和姿態(tài)動(dòng)力學(xué)控制與仿真；鄭建華(1966-),女,研究員,研究方向?yàn)轱w行器動(dòng)力學(xué)、控制與仿真.

*太陽(yáng)帆民用航天資助項(xiàng)目.

2011-10-12

DO I:10.3969/j.issn.1674-1579.2012.01.003