衛(wèi)星電纜柔性體參數(shù)化幾何建模方法研究

郝文宇,黃意新

(1.中國空間技術研究院,北京100094；2.哈爾濱工業(yè)大學航天學院,哈爾濱150001)

衛(wèi)星電纜柔性體參數(shù)化幾何建模方法研究

郝文宇1,黃意新2

(1.中國空間技術研究院,北京100094；2.哈爾濱工業(yè)大學航天學院,哈爾濱150001)

針對衛(wèi)星電纜屬于柔性件的特點，提出以動態(tài)非均勻有理樣條B曲線(Dynamic NURBS)建立基于物理特性的電纜幾何模型和動力學模型.模型綜合考慮了電纜剛度、質(zhì)量分布、內(nèi)部變形能等物理量，經(jīng)仿真驗證該模型能在虛擬環(huán)境中有效反映電纜的真實形態(tài)和運動狀況并估算電纜長度，為衛(wèi)星電纜的虛擬裝配提供理論支持.

衛(wèi)星電纜；幾何模型；基于物理的模型；D-NURBS

近年來,隨著衛(wèi)星發(fā)射的產(chǎn)業(yè)化,其發(fā)射密度持續(xù)增大,由此對衛(wèi)星制造和裝配效率提出了更高的要求.衛(wèi)星等航天器中存在著大量的電源、信號電纜,據(jù)統(tǒng)計,其質(zhì)量一般占航天器總質(zhì)量的6～7%,在一些設計中甚至達到15～20%［1］,如果考慮其支架和電連接器,則可達50%［2］.目前,衛(wèi)星裝配仍然采用模裝方法,即采用1∶1實物模型進行電纜裝配,確定各段電纜長度、布線、卡箍位置,并安裝好電纜接頭,然后再在真星上進行裝配.這種方法存在兩個問題:一是效率低,每顆星都需要通過人工試安裝確定電纜長度和路徑；二是電纜路徑優(yōu)化不足,模裝中未考慮電纜整體布局.

隨著虛擬現(xiàn)實技術的發(fā)展,虛擬裝配技術逐漸得到應用.但現(xiàn)有虛擬裝配系統(tǒng)還難以滿足工業(yè)級復雜產(chǎn)品中的管路和線纜的虛擬裝配要求［3］,更無法在衛(wèi)星裝配中直接應用.究其原因在于線纜幾何建模及物理建模方面存在缺陷.首先現(xiàn)有虛擬裝配環(huán)境中,電纜等柔性物體的建模尚無完善的方法,二維設計大多以折線近似替代電纜路徑,形態(tài)模擬精度較差,電纜線損嚴重；二是線纜三維幾何建模中往往只考慮電纜路徑方向上的曲線形狀,沒有考慮電纜的截面形狀對電纜布線的影響；最后,缺乏有效的電纜等柔性件運動仿真方法.

為此,本文提出一種適用于電纜等線狀柔性體的基于物理參數(shù)化幾何建模方法,采用動態(tài)非均勻有理B樣條曲線(D-NURBS,dynamic non-uniform rational b-sp lines)描述電纜曲線,綜合考慮電纜的剛度、質(zhì)量、內(nèi)部變形能等物理量求解電纜的形態(tài),從而建立電纜的幾何模型,為后續(xù)實現(xiàn)可指導生產(chǎn)的虛擬裝配方法提供參考.

D-NURBS是一種基于物理特性的變形曲線造型技術,它源于NURBS.它為自由曲線曲面和解析曲線曲面提供了統(tǒng)一的數(shù)學表達,通過調(diào)整其控制點的位置以及權因子的值可以獲得豐富的形狀.由于NURBS強大的形狀表示能力,現(xiàn)在它已被國際標準化組織定義為工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的唯一數(shù)學方法,成為商業(yè)建模系統(tǒng)中的實際標準［4］.但由于NURBS是一種純幾何意義上的造型方法,缺乏物理意義,其形狀也只能靠人工設置控制點和權因子等參數(shù)進行調(diào)整.在虛擬環(huán)境中利用其模擬線狀柔性體的形狀,逼真程度有限.國內(nèi)王峰軍等人［5-6］曾提出采用三次均勻 B樣條函數(shù)建立電纜幾何模型并應用能量優(yōu)化法優(yōu)化曲線形狀,但三次均勻B樣條形狀表示能力不足,應用范圍有限.

本文將介紹基于D-NURBS的電纜幾何建模和動力學方程的確定以及該過程中電纜物理量的引入方法,并給出一個應用實例以驗證該方法的有效性.

1 電纜的D-NURBS模型

電纜幾何建模的核心是如何描述電纜中心曲線的形態(tài).本文采用D-NURBS曲線對其進行描述,曲線方程如下:

式中:Pi和wi分別為曲線的n+1個控制點向量及其權因子,它們?yōu)闀r間 t的函數(shù)；u為參變量, Bi,k(u)為k階(k-1次)B樣條基函數(shù).

在衛(wèi)星布線過程中,路徑確定后,各卡箍位置即能確定,接頭方向已由連接器件決定,所需要求解的是過兩定點懸空電纜的形態(tài),即求過兩定點(端點)且滿足端點約束的D-NURBS曲線方程.

2 電纜形態(tài)求解

2.1 曲線方程的簡化

將式(1)進行簡化,并定義 Pi、ωi廣義坐標向量,則

為了體現(xiàn)曲線 c(u,t)依賴于廣義坐標向量P(t),將曲線方程寫成下面的形式:

式中

其中

上式推導過程已在文獻［7］中詳細闡述,在此不再贅述.

2.2 電纜動力學方程

應用拉格朗日動力學可以獲得決定電纜形狀和運動的非線性常微分方程組,其推導過程詳見文獻［3］.

D-NURBS曲線動力學方程如下:

式中:fi(t)為作用在Pi上的廣義力,T、U、F為曲線動能、勢能及瑞利耗散能.

式中,M為電纜曲線質(zhì)量矩陣,其表達式為

式中,μ為電纜質(zhì)量密度函數(shù).

瑞利耗散能F為

式中,D為電纜曲線阻尼矩陣,其表達式為

式中,γ為曲線阻尼函數(shù).

對于曲線的變形勢能Ucurve,通?？紤]電纜在外力作用下的抗拉伸和抗彎曲變形能力,建立如下變形能方程:

式中:αAstretch為曲線因拉伸產(chǎn)生的變形能；βBbending為曲線彎曲產(chǎn)生的變形能；σ為積分域,即為電纜長度區(qū)間；α、β分別為電纜材料的抗拉伸及抗變形性能參數(shù).

電纜靜態(tài)形狀由電纜的物理屬性和相關物理規(guī)律決定.物理屬性包括電纜的質(zhì)量、抗彎特性、抗拉特性.通常認為電纜處于平衡狀態(tài)是指在滿足相關約束條件下具有最小勢能時的狀態(tài),即曲線變形能Ucurve為最小值.

由于在衛(wèi)星布線過程中,電纜長度通常都留有一定的余量,極少因承受拉伸而發(fā)生長度方向的變形,因此可將曲線勢能方程進一步簡化為以下形式:

在這種情況下,只考慮電纜的彎曲變形能即可.

從D-NURBS動力學方程可以看到D-NURBS充分考慮了建模對象的質(zhì)量、阻尼及彈性變形等物理量,從而實現(xiàn)了由純幾何建模到基于物理的幾何建模的過渡,并且可以充分利用NURBS的優(yōu)點進行曲線形狀表達.

3 動力學方程及約束

3.1 動力學方程

文獻［4］中利用虛功原理,推導了D-NURBS動力學方程:

fp代表p對應時刻、位形的外力矩陣.Ju和 Juu為 J對u的一階及二階導數(shù).

3.2 外 力

在D-NURBS動力學方程中,外力f(u,t)表示t時刻作用在曲面上的凈外力,包括彈簧力、重力等.其中各力的函數(shù)形式已由文獻［7］中給出,在此不再贅述.

3.3 約 束

為將線性幾何約束應用于D-NURBS,將式(12)中的矩陣和向量簡化為廣義坐標的一個最小非約束集,其線性約束通常表示為如下形式:

式中,A為系數(shù)矩陣,b為一定值向量；若式(14)為一欠定線性系統(tǒng),這里可將廣義坐標向量表示為:

式中:q為新的廣義坐標矢量,由m個分量qj組成, G為n×m矩陣,可以通過高斯消去法或其他方法得到；q0為一常數(shù)向量.

由式(3)和式(15)可知,滿足上述約束的動力學方程為

式中,L=JG為Jacobian矩陣,其能量表達式為

定義Mq、Dq和Kq分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣,其表達式為

滿足線性約束的D-NURBS動力學方程為

其中廣義力f為:

且

4 算例驗證

由于D-NURBS模型中包含了物體的質(zhì)量分布、內(nèi)部變形能及阻尼等物理量.因此可以仿真具有不同材料特性的柔性電纜的形態(tài)［8］.Terzopoulos、Hong Qin等人提出的D-NURBS最初是應用于計算機輔助幾何設計,作為曲線、曲面形狀調(diào)整的手段.在其開發(fā)的交互式建模環(huán)境中,曲線的形狀由其質(zhì)量、阻尼、彈性勢能等物理量決定,用戶能夠以直觀的交互方法改變曲線形狀,系統(tǒng)自動調(diào)整質(zhì)量密度、阻尼等物理量,以滿足所需的形狀要求.本文的應用是其逆過程,即已知曲線各項物理參數(shù)求解曲線形狀.假定電纜為各向同性均質(zhì)材料,基于MATLAB語言,利用三階D-NURBS模擬了衛(wèi)星電纜等線狀柔性體的形態(tài).圖1為對不同質(zhì)量密度的電纜形態(tài)仿真,電纜兩端點固定,質(zhì)量密度不同時,呈現(xiàn)的形態(tài)不同.

圖1 不同質(zhì)量密度下的D-NURBSFig.1 D-NURBS under differentmass density

從該仿真曲線可以看出,在其他參數(shù)相同的情況下,電纜質(zhì)量密度越大,其形態(tài)“下沉”越明顯.但由于電纜拉伸變形可忽略,電纜長度保持不變,因此兩根曲線相交于一點.同理若電纜材料的彈性模量和剛度不同,其靜態(tài)形態(tài)亦不相同,剛度大的電纜其彎曲曲率較小.經(jīng)過和實際電纜形態(tài)相比較,仿真結果的形態(tài)模擬精度符合衛(wèi)星布線要求,可以在虛擬布線平臺上使用.

5 結 論

本文將基于物理的曲線造型方法D-NURBS應用于電纜的幾何建模中.由于D-NURBS在NURBS曲線的基礎上引入曲線質(zhì)量、內(nèi)部變形能等物理量,使其形狀更符合物理規(guī)律,逼真程度更高,克服了NURBS純幾何造型方法的缺點,同時D-NURBS繼承了NURBS計算穩(wěn)定且速度快、具有明顯的幾何解析特點.

本文系統(tǒng)闡述了該方法的思想和求解過程,并通過一個實例驗證了該算法的可行性.該方法建立的幾何模型對電纜的模擬逼真度高,能滿足電纜布線設計的精度要求,為虛擬環(huán)境下的電纜布線提供理論支持.同時,該方法對其他線狀柔性體的建模也有借鑒意義.

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聲 明

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《空間控制技術與應用》編輯部

Param etrized Geom etrical M odeling M ethod for Flexible Satellite Cable

HAO Wenyu1,HUANG Yixin2
(1.China Academy of Space Technology,Beijing 100094,China；2.School of Astronautics,Harbin Institute of Technology,Harbin 150001,China)

According to the feature that satellite cables belong to flexible parts,the cable geometrical model and dynam ics model based on physical characteristics are proposed by using a dynamic non-uniform rational B-Splines(Dynamic NURBS).Cable stiffness,mass distribution,internal deformation energy and other physical quantities are taken into account in models,real shape and movement of the cable can be effectively reflected and the cable’s length can be estimated in the virtual environment,which provides theoretical support for virtual assembly of cable satellite.

satellite cable；geometric model；physics-based model；D-NURBS

TP391.9

A

1674-1579(2012)01-0029-05

10.3969/j.issn.1674-1579.2012.01.005

郝文宇(1975-),女,碩士研究生,研究方向為通信衛(wèi)星及導航衛(wèi)星總體設計、分析與工程實施；黃意新(1987-),男,碩士研究生,研究方向為航天器動力學仿真.

2011-10-15