飛輪控制的欠驅(qū)動(dòng)剛體航天器姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

李公軍

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

飛輪控制的欠驅(qū)動(dòng)剛體航天器姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

李公軍1，2

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100190)

針對(duì)“三正交加料裝”反作用輪系統(tǒng)中某兩個(gè)本體軸上的飛輪失效的欠驅(qū)動(dòng)情況，研究了航天器的姿態(tài)控制問題.在系統(tǒng)初始角動(dòng)量為零的條件下，設(shè)計(jì)分段解藕控制律，實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)穩(wěn)定.采用歐拉角描述法建立了欠驅(qū)動(dòng)航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程.在系統(tǒng)初始角動(dòng)量為零的條件下，通過分析方程的解藕特性，設(shè)計(jì)了分段解藕控制律.該方法經(jīng)過6次機(jī)動(dòng)控制，可實(shí)現(xiàn)姿態(tài)穩(wěn)定.數(shù)值仿真驗(yàn)證了方法的有效性.

欠驅(qū)動(dòng);航天器;姿態(tài)穩(wěn)定;解藕控制;反作用飛輪

所謂欠驅(qū)動(dòng)航天器是指由于姿控系統(tǒng)某些執(zhí)行機(jī)構(gòu)故障，使得剩下的執(zhí)行機(jī)構(gòu)所提供的獨(dú)立力矩維數(shù)小于3.一方面，空間環(huán)境的惡劣性和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的機(jī)電一體化特性，使得執(zhí)行機(jī)構(gòu)常常發(fā)生故障，因此，研究欠驅(qū)動(dòng)情況下航天器的姿態(tài)控制問題很有實(shí)際意義.另一方面，由于不滿足Brockett[1]能穩(wěn)條件，以研究定常光滑狀態(tài)反饋為主的現(xiàn)代非線性控制方法不能直接用于解決欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定問題，必須尋找新的工具和方法，因此研究欠驅(qū)動(dòng)航天器的姿態(tài)控制問題還具有很大的理論意義[2].

關(guān)于欠驅(qū)動(dòng)航天器的研究，國(guó)內(nèi)外已經(jīng)有很多研究成果.Crouch[3]首先對(duì)航天器姿態(tài)的可控性進(jìn)行了研究，他給出了當(dāng)推力器所提供的獨(dú)立力矩維數(shù)分別為1、2、3時(shí)，系統(tǒng)可控的充分必要條件.同時(shí)，文中還指出，對(duì)于采用角動(dòng)量交換裝置作為姿控系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的航天器，在系統(tǒng)的總角動(dòng)量不為零的情況下，如果系統(tǒng)的輸入維數(shù)小于3，則完整姿態(tài)不可控.Byrnes和Isidori等[4]的研究表明，由于不滿足Brockett[1]必要條件，只有兩個(gè)控制輸入的剛體航天器，不能由連續(xù)定常的狀態(tài)反饋控制律來漸近穩(wěn)定航天器姿態(tài)，即只能采取時(shí)變或者不連續(xù)的控制律.

在上述研究成果的基礎(chǔ)上，關(guān)于欠驅(qū)動(dòng)航天器的研究可分為兩類，一類考慮推力器作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)[2，5-11]，另一類考慮角動(dòng)量交換裝置作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)[12-19].其中，文獻(xiàn)[12-16]考慮飛輪作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，文獻(xiàn)[17-19]考慮CMG作為執(zhí)行機(jī)構(gòu).文獻(xiàn)[12]采用歐拉角描述航天器姿態(tài)，通過分析方程的解耦特性，設(shè)計(jì)了分段解耦控制律.該方法經(jīng)過6次機(jī)動(dòng)，可實(shí)現(xiàn)姿態(tài)穩(wěn)定.該控制律有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn):一是有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定，而非漸近穩(wěn)定;二是通過選擇控制器參數(shù)，可以將力矩控制在合理的范圍內(nèi).文獻(xiàn)[15]在姿態(tài)偏差為小量的情況下，利用Backstepping法設(shè)計(jì)控制律，實(shí)現(xiàn)了本體系相對(duì)軌道系的三軸穩(wěn)定.但是，當(dāng)非欠驅(qū)動(dòng)軸姿態(tài)角很小，而欠驅(qū)動(dòng)軸姿態(tài)角較大時(shí)，該方法可能會(huì)出現(xiàn)力矩較大的情況.文獻(xiàn)[9]對(duì)此進(jìn)行了研究，所設(shè)計(jì)的控制律可大幅降低控制量.但是，該控制律只是保證了有界性，并沒有給出界的表達(dá)式.

從已有文獻(xiàn)[12，14-15]來看，針對(duì)飛輪作為姿控系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的情況，研究三軸穩(wěn)定時(shí)，均假設(shè)未失效的兩個(gè)飛輪其轉(zhuǎn)軸所在的二維平面與航天器本體的某個(gè)慣量主軸方向垂直，此時(shí)在系統(tǒng)總角動(dòng)量為零的條件下，可以得出欠驅(qū)動(dòng)軸的角速度始終為零，不需要控制，從而將問題簡(jiǎn)化.然而，對(duì)于“三正交加斜裝”反作用輪系統(tǒng)，當(dāng)本體軸上兩個(gè)飛輪失效時(shí)，在系統(tǒng)總角動(dòng)量為零的條件下，航天器本體任一軸的角速度均不恒為零，因此需單獨(dú)進(jìn)行研究.

為此，本文針對(duì)“三正交加斜裝”反作用輪系統(tǒng)，研究當(dāng)本體軸上的某兩個(gè)飛輪失效時(shí)，航天器的三軸姿態(tài)穩(wěn)定問題.針對(duì)系統(tǒng)的慣量矩陣為對(duì)角陣的情況，在系統(tǒng)初始角動(dòng)量為零的假設(shè)下，設(shè)計(jì)分段解耦控制律，實(shí)現(xiàn)了三軸姿態(tài)穩(wěn)定.該方法經(jīng)過6次機(jī)動(dòng)，可實(shí)現(xiàn)姿態(tài)穩(wěn)定.

1 姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型

考慮下圖1所示的“三正交加斜裝”反作用輪系統(tǒng)，其中，三個(gè)飛輪的角動(dòng)量與星體主慣量軸平行，第四個(gè)飛輪安裝在與星體三個(gè)主慣量軸成等角的方向上，即

假設(shè)本體軸沿星體主慣量軸方向.在本體系中，飛輪系統(tǒng)相對(duì)星體的角動(dòng)量h為

其中，hi=Iωiωsi，i=1，2，3，4.hi，Iωi，ωsi分別為第i個(gè)飛輪相對(duì)星體的角動(dòng)量大小、沿軸向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、相對(duì)星體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度.

圖1 “三正交加斜裝”反作用輪系統(tǒng)Fig.1 Reaction wheel system with three orthogonally reaction wheels plus a skewed one

下面推導(dǎo)欠驅(qū)動(dòng)航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型.

1.1 動(dòng)力學(xué)方程

由航天器星體和飛輪組成的系統(tǒng)，假設(shè)不受外力矩，則姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程為

根據(jù)Crouch[3]的研究成果，為使航天器姿態(tài)可控，假設(shè)系統(tǒng)初始角動(dòng)量為零，即

將式(4)代入式(2)中，得

將式(1)代入式(5)，并將式(5)寫成分量形式

不失一般性，假設(shè)俯仰、偏航軸上的飛輪失效，因此

將式(7)代入式(6)中，得

式(8)～(10)為欠驅(qū)動(dòng)航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程.

將式(1)、(7)代入式(4)，并將式(4)寫成分量形式，得

聯(lián)立式(11)、(12)，得

因此，ω3和ω2始終成正比例關(guān)系，如果能將 ω2鎮(zhèn)定，則ω3也鎮(zhèn)定.于是，此種情況下，式(10)是冗余的，只需考慮式(8)、(9).

令

式(8)、(9)可變形為1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)方程

采用3-2-1歐拉角描述航天器相對(duì)慣性系的姿態(tài)，其運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

其中，φ，θ，ψ分別表示航天器相對(duì)慣性系的滾動(dòng)角、俯仰角和偏航角.

將式(13)代入式(16)～(18)，得

式(19)～(21)為欠驅(qū)動(dòng)航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程.

2 控制器設(shè)計(jì)

系統(tǒng)的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型為式(15)、(19)～(21).觀察式(19)～(21)，可以發(fā)現(xiàn)，如果能將 ω2鎮(zhèn)定，滾動(dòng)角φ就可以只通過 ω1(進(jìn)而 u1)進(jìn)行有效控制.而且，當(dāng)滾動(dòng)角φ滿足或者時(shí)，俯仰角θ與偏航角ψ呈解耦狀態(tài)，因而可以通過ω2(進(jìn)而 u2)對(duì)兩者實(shí)現(xiàn)解耦控制.下面進(jìn)行詳細(xì)闡述.

首先，給出如下引理.

引理1. 考慮二階線性系統(tǒng)

其中，c為任意給定的非零常數(shù).

設(shè)k＞0為任意給定正數(shù)，則控制律

sgn(ω)為符號(hào)函數(shù)，表達(dá)式如下

假設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)變量為:χ=(ω1，ω2，φ，θ，ψ)T，則6次機(jī)動(dòng)如下:

(1)狀態(tài)從(ω1，ω2，φ，θ，ψ)T轉(zhuǎn)移到(0，0，φ′，θ′，ψ′)T

此階段，控制律如下:其中，ki＞0，i=1，2，sgn(·)如式(24)所示.

將式(25)代入式(15)，可知有限時(shí)間內(nèi) ω1，ω2鎮(zhèn)定.再根據(jù)式(13)，可知ω3也鎮(zhèn)定.因此，有限時(shí)間內(nèi)航天器到達(dá)靜止姿態(tài).

觀察式(20)，它是非線性方程，不利于通過 ω2(進(jìn)而u2)將θ穩(wěn)定到零.為了把它變成線性方程，只需要使φ恒等于某個(gè)值φ*即可.將φ=φ*代入式(19)，并假設(shè)ω1=0，得

由于ω2，θ為變量，所以

由此，可設(shè)計(jì)下面的(2)～(3)兩次機(jī)動(dòng)，其中第(2)次機(jī)動(dòng)，使φ轉(zhuǎn)移到φ*，為下一次機(jī)動(dòng)做準(zhǔn)備.第(3)次機(jī)動(dòng)，使θ轉(zhuǎn)移到零點(diǎn).具體如下.

(2) 狀態(tài)由 (0，0，φ′，θ′，ψ′)T轉(zhuǎn)移到 (0，0，φ*，θ′，ψ′)T

此階段，控制目標(biāo)是:僅通過 ω1(進(jìn)而 u1)的作用，使φ有限時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到φ*點(diǎn).為此，令u2=0.由于u2=0，根據(jù)式(15)，得 ˙ω2=0，因此ω2=0.將

(3)狀態(tài)由 (0，0，φ*，θ′，ψ′)T轉(zhuǎn)移到 (0，0，φ*，0，ψ′)T

此階段控制目標(biāo)是:僅通過 ω2(進(jìn)而 u2)的作用，使θ有限時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到零點(diǎn).為此，令u1=0.由于u1=0，根據(jù)式(15)，得 ˙ω1=0，因此ω1=0.將其代入式(19)，得

由于φ的初始值φ*滿足式(27)，可以證明:此階段(即u1=0，僅 u2作用)，航天器姿態(tài)角 φ，θ，ψ中，φ=φ*，ψ=ψ′保持不變(證明見注2).將φ=φ*代入式(20)，得

將式(30)與式(15)聯(lián)立，得

令u2=-G(θ，ω2，c).由引理1知，有限時(shí)間內(nèi)θ，ω2從初始狀態(tài)(θ′，0)T轉(zhuǎn)移到(0，0)T點(diǎn).

注2. 第3次機(jī)動(dòng)開始時(shí)，φ=φ*，對(duì)應(yīng)姿態(tài)如圖2所示.

圖2 第3次機(jī)動(dòng)開始時(shí)航天器的初始姿態(tài)Fig.2 Spacecraft initial attitude at the beginning of the third maneuver

第3次機(jī)動(dòng)過程中，始終有 ω1=0.為了利用ω2和ω3將俯仰角 θ穩(wěn)定到零，同時(shí)不改變 φ，ψ的值，通過分析，可知當(dāng)航天器繞 y′軸轉(zhuǎn)動(dòng)，即航天器角速度方向沿y′軸時(shí)，φ、ψ保持不變.根據(jù)式(13)以及ω1=0，可知航天器角速度ω位于本體系yoz平面，且與y軸夾角β滿足因此，為使航天器角速度ω沿y′方向，滾動(dòng)角φ應(yīng)取φ*= -β，所以即為式(27).因此，第3次機(jī)動(dòng)過程正確.

由于 θ已經(jīng)到達(dá)零點(diǎn)，因此，在利用 ω2(進(jìn)而u2)將ψ穩(wěn)定到零點(diǎn)的過程中，應(yīng)該使 θ保持 θ=0不變.觀察式(20)，可以發(fā)現(xiàn)，只要將 φ穩(wěn)定到φ**即可，其中φ**滿足

(4) 狀態(tài)由 (0，0，φ*，0，ψ′)T轉(zhuǎn)移到 (0，0，φ**，0，ψ′)T

此階段控制目標(biāo)是:僅通過 ω1(進(jìn)而 u1)的作用，使φ有限時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到φ**點(diǎn).為此，令u2=0.由于u2=0，根據(jù)式(15)，得 ˙ω2=0，因此ω2=0.將其代入式(19)～(21)，得=0，=0，所以 θ，ψ保持不變，而φ滿足=ω1.將其與式(15)聯(lián)立，得

令u1=-G(φ-φ**，ω1，1).由引理1知，有限時(shí)間內(nèi)φ，ω1從初始狀態(tài)(φ*，0)T轉(zhuǎn)移到(φ**，0)T.

(5)狀態(tài)由 (0，0，φ**，0，ψ′)T轉(zhuǎn)移到 (0，0，φ**，0，0)T

此階段控制目標(biāo)是:僅通過 ω2(進(jìn)而 u2)的作用，使ψ有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)零點(diǎn).為此，令u1=0.由于u1=0，根據(jù)式(15)，得=0，所以ω1=0.將其代入式(19)，式(19)變?yōu)?/p>

將其與式(20)聯(lián)立，得

由于φ的初始值 φ**滿足式(32)，可以證明:此階段(即 u1=0，僅 u2作用)，航天器姿態(tài)角 φ，θ，ψ中，φ=φ**，θ=0保持不變(證明見注3).將φ= φ**，θ=0代入式(21)，并與式(15)聯(lián)立，得

令u2=-G(ψ，ω2，c).由引理1知，有限時(shí)間內(nèi)ψ，ω2從初始狀態(tài)(ψ′，0)T轉(zhuǎn)移到(0，0)T.

注3.第5次機(jī)動(dòng)開始時(shí)，θ=0，對(duì)應(yīng)姿態(tài)如圖3所示.

第5次機(jī)動(dòng)過程中，始終有ω1=0.由于θ已經(jīng)到達(dá)目標(biāo)值θ=0，因此在利用ω2和ω3將偏航角ψ穩(wěn)定到零的過程中，應(yīng)不改變 θ，φ的值.通過分析可知，當(dāng)航天器繞 Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，即航天器角速度 ω沿Z軸時(shí)，θ，φ保持不變.由圖3可知，滾動(dòng)角φ取即所以即為式(32)，因此，第5次機(jī)動(dòng)過程正確.

圖3 第5次機(jī)動(dòng)開始時(shí)航天器的初始姿態(tài)Fig.3 Spacecraft initial attitude at the beginning of the fifth maneuver

至此，航天器姿態(tài)x=(ω1，ω2，φ，θ，ψ)T已經(jīng)從任意初始姿態(tài)轉(zhuǎn)移到 (0，0，φ**，0，0)T.三軸姿態(tài)角φ，θ，ψ中，只有φ還沒有到達(dá)零點(diǎn).因此，只需要將φ從φ**轉(zhuǎn)移到零點(diǎn)即可.由此，設(shè)計(jì)第(6)次機(jī)動(dòng).

(6)狀態(tài)由 (0，0，φ**，0，0)T轉(zhuǎn)移到 (0，0，0，0，0)T

此階段控制目標(biāo)是:僅通過 ω1(進(jìn)而 u1)的作用，使φ有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)零點(diǎn).為此，令u2=0.由于u2=0，根據(jù)式(15)，得=0，因此ω2=0.將其代入式(19)～(21)，得=0，ψ·=0，所以 θ，ψ保持

令u1=-G(φ，ω1，1).由引理1，有限時(shí)間內(nèi)φ，ω1從初始狀態(tài)(φ**，0)T轉(zhuǎn)移到(0，0)T.

綜上所述，經(jīng)過6次機(jī)動(dòng)控制，可使航天器姿態(tài)x=(ω1，ω2，φ，θ，ψ)T有限時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)移到(0，0，0，0，0)T.由于ω2=0，根據(jù)式(13)，得ω3=0.因此，航天器終態(tài)時(shí)ω1=ω2=ω3=φ=θ=ψ=0，到達(dá)三軸穩(wěn)定姿態(tài).不變，而φ滿足=ω1.將其與式(15)聯(lián)立，得

3 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證上述方法的有效性，下面進(jìn)行數(shù)值仿真.

仿真結(jié)果如圖4～圖6所示.

圖4 角速度Fig.4 Angular velocities

圖5 歐拉角Fig.5 Euler angles

圖6 控制力矩Fig.6 Control torques

圖4、圖5分別表示欠驅(qū)動(dòng)航天器的角速度和姿態(tài)角的仿真曲線，圖6表示兩個(gè)飛輪的輸出力矩.由圖可以看出，該控制律可以實(shí)現(xiàn)姿態(tài)穩(wěn)定，從而驗(yàn)證了該控制算法的有效性.

4 結(jié) 論

本文針對(duì)“三正交加斜裝”反作用輪系統(tǒng)，研究某兩個(gè)本體軸上的飛輪失效時(shí)，航天器的三軸姿態(tài)穩(wěn)定問題.針對(duì)系統(tǒng)的慣量矩陣為對(duì)角陣的情況，在系統(tǒng)初始角動(dòng)量為零的假設(shè)下，設(shè)計(jì)了分段解耦控制律.該方法物理意義明確，可在有限時(shí)間內(nèi)使航天器從任意初始狀態(tài)到達(dá)三軸穩(wěn)定，完全不受歐拉角奇異的影響.同時(shí)，通過合理選擇控制器參數(shù)，可將力矩控制在較小的范圍.

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Design of A ttitude Controller for W heel Controlled Underactuated Rigid Spacecraft under Failure of Two O rthogonalW heels

LIGongjun1，2
(1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China; 2.Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory，Beijing 100190，China)

For a spacecraft with three orthogonally placed reaction wheels and the fourth skewed one，the attitude control problem is considered in this paper when two of three orthogonally placed wheels failed. Under the assumption of zero system angular momentum，a piecewise decoupling control law is designed to stabilize the attitude of the spacecraft by using two residual wheels.By using the Euler angle parameterization method，spacecraft dynamics and kinematics are given and a piecewise control law is proposed based on the decoupling property of the model.After six maneuvers，the proposed scheme ultimately guarantees the attitude stability.Simulation results demonstrate the proposed control approach.

underactuated;spacecraft;attitude stabilization;decoupling control;reaction wheel

V448.2

A

1674-1579(2012)03-0021-06

10.3969/j.issn.1674-1579.2012.03.005

李公軍(1984—)，男，碩士研究生，研究方向?yàn)榍夫?qū)動(dòng)航天器的控制.

2011-10-30