基于ABAQUS的黏彈性人工邊界在重力壩分析中的應(yīng)用

郝明輝，張艷紅，陳厚群

（中國水利水電科學(xué)研究院 工程抗震研究中心，北京 100048）

1 研究背景

壩體-地基動(dòng)力相互作用是影響結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)重要因素之一，這種動(dòng)態(tài)相互作用主要包括地基對(duì)結(jié)構(gòu)體系動(dòng)態(tài)特性的影響以及結(jié)構(gòu)對(duì)地震動(dòng)輸入的影響，其中主要是地震波能量向遠(yuǎn)域地基的逸散。所以，在壩與基巖地震動(dòng)力相互作用分析中，正確實(shí)現(xiàn)地震動(dòng)的輸入和地基輻射阻尼的模擬是十分重要的。采用數(shù)值離散方法分析地基基礎(chǔ)時(shí)要處理地基無限域問題，在動(dòng)力分析中目前得到廣泛應(yīng)用的主要有黏性邊界、透射邊界和黏彈性邊界[1-3]等，其中黏彈性邊界是在黏性邊界的基礎(chǔ)上再在人工邊界上設(shè)置彈性元件，其克服了黏性邊界的低頻失穩(wěn)問題，能夠模擬遠(yuǎn)域地基的彈性恢復(fù)性能，具有良好的低頻和高頻穩(wěn)定性，并且無需像透射邊界那樣增加大量的邊界節(jié)點(diǎn)和單元，在實(shí)際工程中得到廣泛的應(yīng)用。

ABAQUS軟件[4-5]已在大壩的動(dòng)態(tài)非線性分析中得到了廣泛的應(yīng)用。本文將黏彈性邊界理論應(yīng)用于非線性有限元軟件ABAQUS中，對(duì)重力壩-地基系統(tǒng)進(jìn)行地震動(dòng)力響應(yīng)數(shù)值分析。

2 二維黏彈性邊界

黏彈性人工邊界可以等效為在人工截?cái)噙吔缟显O(shè)置連續(xù)分布的并聯(lián)彈簧-阻尼器系統(tǒng)，其中彈簧剛度系數(shù)和阻尼器的阻尼系數(shù)可以歸結(jié)為：

式中：ρ、G分別為介質(zhì)的質(zhì)量密度和剪切模量；R為散射波源到人工邊界的距離；c為介質(zhì)中的波速，法向人工邊界c取P波波速cP，切向人工邊界取S波波速cS；α為參數(shù)，α參照文獻(xiàn)[6]取值。

當(dāng)α取零或R趨于無窮大時(shí)，剛度系數(shù)Kb=0，黏彈性人工邊界退化為黏性人工邊界。

當(dāng)黏彈性邊界轉(zhuǎn)化為彈簧-阻尼器單元時(shí)，黏彈性邊界完全吸收計(jì)算區(qū)域的外傳散射波，人工邊界節(jié)點(diǎn)承受的就是地震自由場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，地震的輸入問題轉(zhuǎn)化為在人工邊界節(jié)點(diǎn)上作用自由場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的問題，自由場(chǎng)運(yùn)動(dòng)可轉(zhuǎn)化為人工邊界節(jié)點(diǎn)上的等效節(jié)點(diǎn)力處理[7]。

式中：Ab為邊界節(jié)點(diǎn)的影響面積；n為邊界外法線方向余弦向量；Kb為剛度陣；Cb為阻尼陣。

由彈性力學(xué)可知：

假設(shè)底邊界入射位移波u=u（0t），v=v（0t），根據(jù)一維波動(dòng)理論，自由場(chǎng)在任意位置h任意時(shí)刻t有：

式中：H為底邊界到地表的距離；h為人工邊界節(jié)點(diǎn)到底邊界的距離。

由于底面和4個(gè)側(cè)面的外法線方向余弦向量n以及彈簧剛度Kb、阻尼系數(shù)Cb有所不同，故分別討論。

（1）底邊界。n=[0，-1]T。

將式（4）、式（6）代入式（2）并將式（3）、式（5）以及n=[0，-1]T一并代入式（1）可得：

其中，等效節(jié)點(diǎn)力的上標(biāo)代表人工邊界節(jié)點(diǎn)所在邊界面的法線方向，與坐標(biāo)軸方向一致為正，相反為負(fù)；下標(biāo)表示分量方向。

（2）側(cè)邊界。

（a）x=0：n=[-1，0]T。同理可得：

（b）x=xb：n=[1，0]T。同理可得：

在有限元軟件ABAQUS隱式求解器中，黏彈性邊界是通過在人工截?cái)噙吔缣幨┘右幌盗械膹椈蓡卧⊿pring1）和阻尼單元（Dashpot1）實(shí)現(xiàn)的，inp文件輸入*Element，type=Spring1/Dashpot1，elset=D21（定義接地彈簧/阻尼單元類型，將一系列節(jié)點(diǎn)創(chuàng)建為該類型單元，并將該一系列單元定義一個(gè)單元集合D21），地震動(dòng)輸入的實(shí)現(xiàn)方式通過關(guān)鍵詞*Amplitude和*Cload實(shí)現(xiàn)。

3 實(shí)例驗(yàn)證

從二維半無限空間中截取6m×50m的有限范圍，頂端自由，用1m×1m的單元離散，其底面和2個(gè)側(cè)面連接黏彈性邊界。材料彈性模量為24MPa，剪切模量為10MPa，泊松比為0.2，質(zhì)量密度為1 000kg/m3。底邊界，垂直向上入射x方向單位脈沖剪切位移波和y向的單位脈沖壓縮位移波，則位移響應(yīng)為：

其中：f=0.4，0≤t≤0.25。

圖1給出了黏彈性邊界計(jì)算得到的模型底部、中部、頂部的水平向和縱向位移響應(yīng)，可以看出波由底部向上傳播并在自由地表發(fā)生反射，且自由地表處的總場(chǎng)位移幅值是輸入波幅值的兩倍。由圖1可知本文的計(jì)算結(jié)果和理論解吻合的較好，證明該方法的正確性和有效性。

4 重力壩動(dòng)力響應(yīng)計(jì)算

圖2是Koyna壩體-地基有限元計(jì)算網(wǎng)格。壩高103m，壩頂寬14.8m，壩底寬70m，壩段厚16m，在壩高66.5m處，下游壩面的坡面發(fā)生突然改變。壩體混凝土材料參數(shù)E=31027MPa，μ=0.15，ρ=2643kg/m3。動(dòng)態(tài)拉伸屈服強(qiáng)度σt=2.9MPa，抗壓強(qiáng)度σc=24.1MPa，阻尼C=αM+βK，α=0，β=0.00323。圖3給出的是拉伸屈服應(yīng)力、拉伸損傷變量和開裂位移之間的關(guān)系。另外，由于混凝土抗壓強(qiáng)度一般較大，故沒有考慮壓縮引起的損傷。壩基在深度方向和上、下游方向都取2倍的壩高，基巖彈性模量E為2.5×104MPa，泊松比μ為0.25，密度ρ為2 500kg/m3。靜態(tài)荷載主要考慮自重和靜水壓力。實(shí)測(cè)地震波如圖4所示。庫水動(dòng)水壓力對(duì)大壩地震響應(yīng)的影響按照Westergaard附加質(zhì)量法計(jì)入。

為了驗(yàn)證本文提出地震波輸入方法的正確性，首先分析在沒有壩體的情況下地基的動(dòng)力反應(yīng)。以圖4所示地震波折半后作為人工邊界上輸入的地震波，假設(shè)地基為彈性均勻無阻尼的巖石地基，因此自由地表的響應(yīng)幅值為輸入波的兩倍，見圖5。

本文首先采用無質(zhì)量地基模型進(jìn)行地震響應(yīng)分析。另外，考慮到無質(zhì)量地基模型無法計(jì)入地震動(dòng)能量向遠(yuǎn)域地基逸散的輻射阻尼效應(yīng)和地基質(zhì)量的影響，還將采用彈簧單元和阻尼單元實(shí)現(xiàn)黏彈性邊界，并利用本文方法輸入地震動(dòng)來進(jìn)行地震響應(yīng)分析，以考察輻射阻尼效應(yīng)對(duì)大壩地震響應(yīng)的降低程度。

圖6、圖7是分別采用無質(zhì)量地基模型和黏彈性邊界計(jì)算得到的壩體損傷情況。由圖可知，采用黏彈性邊界輸入地震波后，壩體相同部位出現(xiàn)損傷的時(shí)間有所滯后，這是由于地基的彈性關(guān)系，壩體自振頻率變小，相應(yīng)的振幅也變小，損傷出現(xiàn)的時(shí)間要晚一點(diǎn)。由于考慮了地基的彈性和輻射阻尼效應(yīng)，壩體整體損傷情況減輕，壩體折坡處和壩堹部位與實(shí)際震害更加接近。壩堹部位的損傷在實(shí)際震害中也是不存在的，本文為了簡化凸顯邊界的影響，地基采用了線彈性模型，未考慮地基非線性的影響，當(dāng)考慮地基的非線性影響時(shí)壩堹部分的損傷是不存在的。

表1是壩體不同關(guān)鍵破壞部位損傷程度定量的描述，以損傷單元網(wǎng)格數(shù)占該部位整體網(wǎng)格數(shù)的比例計(jì)算得到，其中壩堹部位范圍在0～4.589m處，上游壩腰范圍在66.5～76.031m，下游折坡部位范圍在52.23～70.67m，由表1可知，采用黏彈性邊界后壩體損傷情況減輕，且與實(shí)際震害更加接近。

表1 壩體不同部位損傷程度

5 結(jié)論

壩體-地基動(dòng)力相互作用是影響結(jié)構(gòu)地震反應(yīng)重要因素之一，這種動(dòng)態(tài)相互作用主要包括地基對(duì)結(jié)構(gòu)體系動(dòng)態(tài)特性的影響以及結(jié)構(gòu)對(duì)地震動(dòng)輸入的影響，其中主要是地震波能量向遠(yuǎn)域地基的逸散。本文采用了黏彈性邊界，克服了黏性邊界的低頻失穩(wěn)問題，能夠模擬遠(yuǎn)域地基的彈性恢復(fù)性能，具有良好的低頻和高頻穩(wěn)定性，并在非線性有限元軟件ABAQUS軟件上成功實(shí)施，經(jīng)與理論解的結(jié)果對(duì)比，具有較高的求解精度。本文以典型的Koyna重力壩地震反應(yīng)分析為例，比較了黏彈性邊界與傳統(tǒng)的固定邊界無質(zhì)量地基的計(jì)算結(jié)果。利用混凝土損傷模型對(duì)Koyna重力壩遭遇強(qiáng)震時(shí)震害現(xiàn)象進(jìn)行了初步分析，得到了大壩下游折波處與實(shí)際遭受的地震破壞現(xiàn)象和破壞程度基本一致的結(jié)論。

[1]劉云賀，張伯艷，陳厚群.拱壩地震輸入模型中黏彈性邊界和黏性邊界的比較[J].水利學(xué)報(bào)，2006，37（6）：758-763．

[2]谷音，劉晶波，杜義欣.三維一致黏彈性人工邊界及黏彈性邊界單元[J].工程力學(xué)，2007，24（12）：31-37．[3]廖振鵬.工程波動(dòng)理論導(dǎo)引[M].北京：科學(xué)出版社，1996．

[4]Getting Started with Abaqus（interactive edition）[R].ABAQUS，INC，2009．

[5]王金昌，陳頁開.ABAQUS在土木工程中的應(yīng)用[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2006．

[6]李彬.地鐵地下結(jié)構(gòu)抗震理論分析與應(yīng)用研究[D].北京：清華大學(xué)，2005．

[7]何建濤.地震作用下大壩-地基體系的損傷破壞研究[D].北京：中國水利水電科學(xué)研究院，2010．