向量運(yùn)算：數(shù)與形一個(gè)也不能少

☉江蘇省贛榆高級(jí)中學(xué) 張自勇

數(shù)學(xué)課上，萬(wàn)老師在黑板上寫了兩組題，分別交給兩個(gè)興趣小組的同學(xué)來(lái)做，做完后說(shuō)說(shuō)這組題的意圖是什么，并談?wù)勛约旱慕忸}體會(huì).

第一組題：向量的線性運(yùn)算

例1 如圖1，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是邊BC上一點(diǎn)

圖1

萬(wàn)老師：這組題的運(yùn)算特點(diǎn)是什么?

張超：這組題都與向量的線性運(yùn)算有關(guān)，首先要選取不共線的兩個(gè)向量作為基底，主要是選擇知道線段的長(zhǎng)度、夾角等線段，再用基底表示有關(guān)的向量，最后進(jìn)行向量的加減法、數(shù)乘、數(shù)量積的運(yùn)算.

第二組題：向量的坐標(biāo)運(yùn)算

例3 已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC邊上的高為AD，求點(diǎn)D和向量的坐標(biāo).

馬?。罕绢}建立坐標(biāo)系，給出了點(diǎn)的坐標(biāo)，可以通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)進(jìn)行.

萬(wàn)老師：這組題的特點(diǎn)是什么？

馬?。哼@組題都是平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，題目建立了坐標(biāo)系或較容易建立坐標(biāo)系，再通過(guò)向量的坐標(biāo)進(jìn)行向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積等運(yùn)算.

萬(wàn)老師：向量是既有長(zhǎng)度又有方向的量，向量的線性運(yùn)算反映了向量的本質(zhì)特征，更容易被同學(xué)們理解和接受.為了解決問(wèn)題的方便，建立了平面直角坐標(biāo)系，分別取x軸y軸正方向上的單位向量作為基底，使點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)起來(lái)，從而大大簡(jiǎn)便了向量的運(yùn)算.

同學(xué)們，經(jīng)過(guò)這兩組題的學(xué)習(xí)，你對(duì)向量運(yùn)算的理解想必更深刻了吧！那就試用兩種方法解下面這道題：

練習(xí)：如圖4，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長(zhǎng)為2a的線段PQ

錯(cuò)解分析：當(dāng)2m2+m-1=0時(shí)，直線的斜率不存在，錯(cuò)解忽略了這一點(diǎn).

六、誤把截距等同于距離

例6 求過(guò)點(diǎn)A（-4，1），且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程.

錯(cuò)解：由題意得直線l的傾斜角α=45°.

則k=1，又過(guò)點(diǎn)（-4，1），

則直線l的方程為x-y+5=0.

錯(cuò)解分析：此解其中一個(gè)錯(cuò)誤就是誤把截距等同于距離，另一個(gè)錯(cuò)誤是忽略了一種特殊情況——過(guò)原點(diǎn)的直線，它也符合在坐標(biāo)軸上截距相等的條件.

正解：由題意得直線l的傾斜角為135°或過(guò)原點(diǎn).

當(dāng)α=135°時(shí)，k=-1，又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)（-4，1），所以直線l的方程為x+y+3=0；

當(dāng)直線過(guò)（-4，1），（0，0）時(shí)，直線l的方程為x+4y=0.

綜上所述，所求直線方程為x+y+3=0或x+4y=0.

七、直線方程的幾種形式及其適用范圍掌握不熟練而出錯(cuò)

例7 當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：（a+2）x+（1-a）y-1=0與直線l2：（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直？

錯(cuò)解分析：直線方程的一般式包含了所有直線的方程，而斜截式只適用斜率存在的直線的方程，所以在把一般式化成斜截式時(shí)會(huì)漏解，做此類題目時(shí)應(yīng)先考慮好斜率不存在的情況.

正解：當(dāng)直線l1斜率不存在時(shí)，1-a=0，即a=1時(shí)，直線l1：3x-1=0與直線l2：5y+2=0垂直；

則a=-1.

綜上所述，當(dāng)a=1或a=-1時(shí)，l1⊥l2.

點(diǎn)評(píng)：本題還有更簡(jiǎn)潔的方法，通過(guò)推導(dǎo)出兩直線垂直的一般性結(jié)論：A1A2+B1B2=0來(lái)做，不需要分類討論，就可以避開(kāi)斜率不存在或斜率為0的情況，是兩直線垂直的充要條件.