最值問題變中求新

☉江蘇省沭陽高級(jí)中學(xué) 王東陽

長期以來，高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)是做大量的習(xí)題，搞多次模擬訓(xùn)練，學(xué)生邏輯思維能力和空間想象能力有一定的提高，但是分析問題和解決問題的能力提高甚少，結(jié)果是事倍功半，因此，如何激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的習(xí)慣和創(chuàng)新能力，提高復(fù)習(xí)效果，做到輕負(fù)擔(dān)、高質(zhì)量，是十分重要的，所以需要研究復(fù)習(xí)方法，提高課堂效率，其中一題多變對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，提高學(xué)生的思維能力將大有益處.

變式1：函數(shù)f（x）=2x3-3x2-12x+5在區(qū)間［-2，3］上的最大值與最小值分別為（ ）.

A.12，-15 B.1，-4 C.12，4 D.5，-16

分析：求值域一般先求函數(shù)的最值.本變式與原題相比，解析式與自變量的取值區(qū)間都發(fā)生了變化.事實(shí)上，只要掌握了求函數(shù)最值問題的一般方法，不論自變量的取值區(qū)間、函數(shù)的解析式如何變化，解決問題的本質(zhì)是一樣的.

解：先求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=6x2-6x-12=6（x+1）（x-2），令f′（x）=0，解得x1=-1，x2=2，當(dāng)x變化時(shí)，f（x），f′（x）的變化情況如下表：

x -2 （-2，-1） -1 （-1，2） 2 （2，3） 3 f′（x）+0-0+f（x）1↗12↘-15↗-4

從上表可知，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得最大值12，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取最小值-15，故選A.

點(diǎn)評(píng)：求解閉區(qū)間的最值問題的一般步驟是：先求得該區(qū)間的極值點(diǎn)，然后求得極值點(diǎn)的函數(shù)值與端點(diǎn)處的值比較就可以得到該區(qū)間的最值.

變式2：已知函數(shù)f（x）=ax3-6ax2+b在區(qū)間［-1，2］上的最大值為3，最小值為-29，求a、b的值.

分析：本題與變式1的區(qū)別是已知最值逆向求參數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的待定系數(shù)法，可以先求導(dǎo)，然后比較，確定取得最大值和最小值的x的值，再代入求得a、b的值，要注意對(duì)a進(jìn)行討論.

解析：f′（x）=3ax2-12ax=3ax（x-4），在區(qū)間［-1，2］上，令f′（x）=0，根據(jù)題意a≠0.

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f（x）在x＝0處取得極大值也就是最大值，比較f（-1），f（2）得：f（-1）>f（2），所以f（0）＝3，f（2）＝-29，解得a＝2，b＝3.

當(dāng)a<0時(shí)，易知函數(shù)f（x）在x＝0處取得極小值，也就是最小值，且f（-1）

點(diǎn)評(píng)：本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題意逆向聯(lián)想，通過建立最值點(diǎn)確立相等關(guān)系，運(yùn)用待定系數(shù)法求出a，b的值.

分析：不等式f（x）-m≥0恒成立，即m≤f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈［-3，6］恒成立，所以m滿足m≤f（x）min，x∈［-3，6］即可.本題與變式1相比，難度有所加大，但只要分析出m≤f（x）min，x∈［-3，6］，問題便與變式1相差無幾.

解：令f′（x）=x2-4，解得x=2或x=-2.由于，所以f（x）在區(qū)間［-3，6］上的最小值為，即（fx）在區(qū)間［-3，6］上的最小值為，所以m的取值范圍為

點(diǎn)評(píng)：若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解.分離參數(shù)法有時(shí)能減少討論次數(shù)，甚至能避免討論.

綜上可得，實(shí)數(shù)m的值為4.

點(diǎn)評(píng)：本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題意逆向聯(lián)想，通過建立最值點(diǎn)確立相等關(guān)系，運(yùn)用待定系數(shù)法求出m的值.由于函數(shù)的根的大小沒法確定，所以需要分類討論.

變式5：已知函數(shù)f（x）=-2x3-3x2+12x+1在［m，1］上的最小值為-17，則m的值為_________.

分析：本題與上題最大區(qū)別是閉區(qū)間一端含有參數(shù)，首先需要求導(dǎo)數(shù)，然后比較最小值與極小值，從而確定參數(shù)m的范圍，再利用方程思想求得m的值.

解析：因?yàn)閒′（x）=-6x2-6x+12=-6（x+2）（x-1），令f′（x）=0，得x1=-2，x2=1，所以f（x）在（-∞，-2）上為減函數(shù)，在［-2，1］上為增函數(shù)，所以f（-2）為極小值，又因?yàn)閒（-2）=-19，但在［m，1］上，f（x）min=-17，因?yàn)?2

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是求出導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，明確函數(shù)的極值點(diǎn)，與函數(shù)的最值比較，確定m的范圍，結(jié)合函數(shù)的最小值求得m的值.注意對(duì)m的值進(jìn)行恰當(dāng)?shù)娜∩?

綜上，高三復(fù)習(xí)不是在同一水平上的簡(jiǎn)單重復(fù)，需要?jiǎng)?chuàng)造性地將知識(shí)、能力和思想方法在更多的新情境下、更高的層次中不斷地、反復(fù)地滲透，才能達(dá)到螺旋式再認(rèn)識(shí)、再深化乃至升華的結(jié)果.