基于學(xué)生視角的“用形解數(shù)”教學(xué)

☉浙江省余姚市第四中學(xué) 魯建橋

調(diào)查發(fā)現(xiàn)，“用形解數(shù)”因為可以直觀、迅捷地解決某些代數(shù)問題，而深受學(xué)生的喜歡.但是，喜歡并不等于容易掌握，很多學(xué)生認為“用形解數(shù)”這種方法技巧性過強、不容易想到，而且一不小心就會犯錯.基于學(xué)生對“用形解數(shù)”這種方法的認識，筆者認為，在教學(xué)過程中應(yīng)從學(xué)生的困惑入手，關(guān)注以下兩方面的問題.

一、“數(shù)”中思“形”，活用“基本幾何模型”

在高中階段的學(xué)習(xí)過程中，因為解析幾何學(xué)科的開設(shè)，“用數(shù)解形”相對于“用形解數(shù)”使用更為普遍.然而，解析幾何中的一些公式與方程，例如，直線斜率直線截距ax+by、距離公點到直線，還有向量的模長與夾角公式等等都可以作為溝通數(shù)形間關(guān)系的橋梁，實現(xiàn)“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)化，在這里我們將它們稱為“基本幾何模型”.學(xué)生如果熟練掌握這些“基本幾何模型”，不僅可以豐富代數(shù)式的幾何意義，而且可以利用“基本幾何模型”解決一些相對復(fù)雜的代數(shù)問題.

例1 求證：（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）.

上述問題的證明并不困難，但我們可以利用“基本幾何模型”，豐富代數(shù)式的幾何意義.

上述問題若用代數(shù)方法求解，計算較煩，花時較多.但如果充分利用“基本幾何模型”，將表達式適當變形，將問題轉(zhuǎn)化，我們可以挖掘代數(shù)式的幾何意義，簡化求解過程.

在平時的教學(xué)過程中，我們應(yīng)幫助學(xué)生掌握“基本幾何模型”，引導(dǎo)學(xué)生將復(fù)雜代數(shù)式進行化歸，從不同角度挖掘代數(shù)式所具有的幾何意義，體現(xiàn)數(shù)學(xué)問題解決的一般過程.同時，在教學(xué)過程中，老師也應(yīng)向?qū)W生暴露思維過程，揭開“用數(shù)解形”的神秘面紗.

二、“形”來助“數(shù)”，把握教學(xué)契機

A.1 B.2 C.3 D.4

上述問題“用形解數(shù)”并不是最明智的選擇，但是因為是解的個數(shù)問題，學(xué)生比較容易想到作出函數(shù)y=f（x）和函數(shù)y=x的圖像判斷交點個數(shù)，易錯選B.究其原因，作草圖不好判斷拋物線與斜直線（不垂直于坐標軸的直線）的交點個數(shù).這個時候，老師不應(yīng)否定學(xué)生的做法，而是引導(dǎo)學(xué)生將問題轉(zhuǎn)化為f（x）-x=0，從而考查函數(shù)y=f（x）-x和x軸的交點個數(shù)問題，學(xué)生容易作出正確的選擇，答案為C.

例4 已知方程2x-1+2x2-a=0有兩根，則a的范圍是______.

此題出現(xiàn)在近期高三復(fù)習(xí)資料中，設(shè)計者的意圖是強化函數(shù)與方程的聯(lián)系，突出數(shù)形結(jié)合這一重要思想.

面對上述問題，學(xué)生容易形成共識：（1）此方程不能用常法判斷；（2）可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）=2x-1和g（x）=-2x2+a的圖像的交點個數(shù)判斷.因此作出相應(yīng)的圖像（如圖1），得到結(jié)論.這樣的結(jié)果跟資料提供的答案一樣，但事實上是不正確的.

圖1

這個時候，我們面對的是一個沒有確切答案的問題，但卻是幫助學(xué)生正確掌握“用形解數(shù)”這種方法的一個契機.我們不妨引導(dǎo)學(xué)生進行思考、質(zhì)疑：函數(shù)f（x）=2x-1的圖像和函數(shù)g（x）=-2x2+a的圖像真的像我們所作的圖1那樣嗎？它們會不會相切于某一點呢？

事實上，兩函數(shù)圖像會相切于一點，記為P.那么過P點存在兩函數(shù)圖像的公切線l（如圖2）.利用這條切線的斜率可以建立關(guān)于x0的方程，從而只需求解x0即可.

簡解如下：設(shè)點P的坐標為（x0，y0），則有注意到此方程不能直接求解，則再作出函數(shù)和的草圖（如圖3）.我們不難發(fā)現(xiàn)兩函數(shù)圖像在第二象限有交點，即存在x0<0滿足方程那么a的范圍應(yīng)該是a>2x02-4x0.

我想通過這個問題的質(zhì)疑與探究，學(xué)生肯定能夠進一步認識到：畫出函數(shù)圖像的確能使問題變得直觀具體，但是我們只有借助對“數(shù)”的精確分析才能準確地刻畫“形”的細微變化，從而更好地掌握“用形解數(shù)”這種方法.

我們不難發(fā)現(xiàn)：很多學(xué)生在運用“用形解數(shù)”這種方法解決代數(shù)問題的過程中，經(jīng)常表現(xiàn)出用隨意性的草圖來刻畫代數(shù)問題，從而導(dǎo)致最后不能準確地解決相關(guān)問題.這個現(xiàn)象提醒我們在我們平時的課堂教學(xué)應(yīng)特別注意這一問題.比如在作正弦函數(shù)y=sin x和正切函數(shù)y=tan x的圖像時，能夠借助直線y=x來畫，體現(xiàn)當時三者所具有的關(guān)系：sin x

既然“用形解數(shù)”是學(xué)生喜歡的數(shù)學(xué)方法，既然學(xué)生在運用這種方法的時候還有困惑與困難，那我們就應(yīng)該從學(xué)生的視角去理解他們所面臨的問題，開展針對性的教學(xué)，只有這樣，才能幫助學(xué)生做到從“喜歡”到“掌握”，才能讓“形”為“數(shù)”插上輕盈的翅膀.