導(dǎo)數(shù)在解決函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用

☉浙江省上虞市上虞職教中心 陳 軼

導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、切線等問(wèn)題的有力工具，作為高中數(shù)學(xué)的新增內(nèi)容之一，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的恒成立、最值、方程、不等式的證明等問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)，也將是命題的新增長(zhǎng)點(diǎn).如果給定函數(shù)解析式次數(shù)高于二次、形式復(fù)雜時(shí)，?？紤]用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)問(wèn)題.

一、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題

當(dāng)函數(shù)的表達(dá)形式復(fù)雜、用初等函數(shù)不能求解時(shí)，?？紤]用導(dǎo)數(shù)的方法求解.通常先由導(dǎo)數(shù)公式求出f′（x），解關(guān)于f′（x）的不等式時(shí)注意分類討論的思想.

當(dāng)b-1<1，即b<2時(shí)，f′（x）的變化情況如下表：

x （-∞，b-1） b-1 （b-1，1） （1，+∞）f′（x）-0+-

當(dāng)b-1>1，即b>2時(shí)，f′（x）的變化情況如下表：

x （-∞，1） （1，b-1） b-1 （b-1，+∞）f′（x）-+0-

當(dāng)b<2時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，b-1）、（1，+∞）上單調(diào)遞減，在（b-1，1）上單調(diào)遞增；

當(dāng)b>2時(shí)，函數(shù)f（x）在（-∞，1）、（b-1，+∞）上單調(diào)遞減，在（1，b-1）上單調(diào)遞增；

點(diǎn)評(píng)：求導(dǎo)后的分類討論問(wèn)題應(yīng)注意：一要找分類點(diǎn)（根的大小比較、含x的最高次項(xiàng)系數(shù)正負(fù)的確定）、列表；二要結(jié)合代數(shù)方法（如分解因式、配方法、解方程或不等式，處理導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)問(wèn)題.

二、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問(wèn)題

對(duì)閉區(qū)間的可導(dǎo)函數(shù)求其最值時(shí)，先求出函數(shù)的極值，再比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小，從而確定出函數(shù)的最大值、最小值.

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間.

（2）設(shè)g（a）為f（x）在區(qū)間［0，2］上的最小值.

（i）寫出g（a）的表達(dá)式；

（ii）求a的取值范圍，使得-6≤g（a）≤-2.

若a≤0，則f′（x）>0，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是［0，+∞）.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查分類討論思想.立足基礎(chǔ)，解決問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具性.

三、利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的恒成立問(wèn)題

恒成立問(wèn)題是近幾年的熱點(diǎn)，一般有兩種典型結(jié)構(gòu)：“a≤f（x）恒成立”、“a≥f（x）恒成立”.解決的方法是求f（x）的最小值m或最大值M，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“a≤m”或“a≥M”.尤其要注意端點(diǎn)值的取舍問(wèn)題.

設(shè)g（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x，則g′（x）=2ln（1+x）-2x.

當(dāng)-10，h（x）在（-1，0）上為增函數(shù).

當(dāng)x>0時(shí)，h′（x）<0，h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù).

所以h（x）在x=0處取得極大值.h（0）=0.

所以g′（x）<0（x≠0），函數(shù)g（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù).

于是當(dāng)-1g（0）=0，當(dāng)x>0時(shí)，g（x）

所以，當(dāng)-10，f（x）在（-1，0）上為增函數(shù).

當(dāng)x>0時(shí)，f′（x）<0，f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù).

故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+∞）.

點(diǎn)評(píng)：本題尋找恒成立的方法是通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)化指數(shù)問(wèn)題為對(duì)數(shù)函數(shù)問(wèn)題，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為“a≤f（x）恒成立”的類型，利用第一問(wèn)中結(jié)論證明G′（x）≤0恒成立，進(jìn)而借助函數(shù)單調(diào)性尋找其最小值大于a成立，手法新穎，突破了常規(guī) .

四、利用導(dǎo)數(shù)解決切線方程問(wèn)題

利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，關(guān)鍵是求出切線的切點(diǎn)和斜率，方法是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)公式求出切線斜率.

例4 （湖北文）已知函數(shù)f（x）=x3+mx2-m2x+1（m為常數(shù)，且m>0）有極大值9.

（1）求m的值；

（2）若斜率為-5的直線是曲線y=f（x）的切線，求此直線方程.

解：（1）由f′（x）=3x2+2mx-m2=（x+m）（3x-m）=0，得：x=-m或

當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x （-∞，-m） -m -m，1 3（ ）m 1 3m 1 3m，+∞（ ）f′（x）+0-0+f（x）↗極大值↘極小值↗

從而可知，當(dāng)x=-m時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值9.

即f（-m）=-m3+m3+m3+1=9.解得m=2.

（2）由（1）知，f（x）=x3+2x2-4x+1，依題意知f′（x）=3x2+4x-4=-5.

即5x+y-1=0或135x+27y-23=0.

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程幾乎是每年高考必考的內(nèi)容，關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，確定切點(diǎn)坐標(biāo).

總之，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、恒成立、方程等問(wèn)題 ，充分論證了導(dǎo)數(shù)的工具作用.導(dǎo)數(shù)把圖形中的信息表達(dá)為代數(shù)信息，實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的和諧統(tǒng)一，使問(wèn)題的解決更加簡(jiǎn)單清晰.