同根同源的兩道圓錐曲線高考試題的剖析

☉浙江省杭州師范大學(xué)附屬中學(xué) 蘇立標(biāo)

同根同源的兩道圓錐曲線高考試題的剖析

☉浙江省杭州師范大學(xué)附屬中學(xué) 蘇立標(biāo)

每年高考解析幾何試題總是五彩繽紛、精彩不斷，不乏有許多點(diǎn)睛之作，或給人以啟迪，或給人以思考.研究高考試題，這是我們教學(xué)研究的一個(gè)規(guī)定動(dòng)作，引導(dǎo)學(xué)生剖析試題內(nèi)涵，尋找試題間的聯(lián)系，這是我們教學(xué)中不得不停留的地方，所以我們可以從聯(lián)系的角度去審視高考試題，置知識(shí)于系統(tǒng)中，著眼于知識(shí)之間的聯(lián)系和規(guī)律，從而深入數(shù)學(xué)的本質(zhì).

一、試題的剖析

（1）求橢圓E的方程.

（2）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q.試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

由于對(duì)任意m、k恒成立，所以聯(lián)立解得x1=1.故存在定點(diǎn)M（1，0），符合題意.

剖析：由題意易知?jiǎng)又本€l是橢圓的一條切線，直線x=4為橢圓的右準(zhǔn)線，定點(diǎn)M（1，0）恰好為橢圓的右焦點(diǎn)，這樣我們就可以把上述高考試題一般化，得到：

如果我們?cè)侔焉厦娴脑囶}改為其逆命題，則又得到2012年安徽省高考數(shù)學(xué)試題：

故得直線PQ與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)，即直線PQ是橢圓C的切線．

點(diǎn)評(píng)：“莫讓浮云遮望眼，撩開霧紗見真顏”，兩道不同省份的高考試題，卻有相同的知識(shí)背景，都匯聚了橢圓中重要的幾何元素：焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、切線，兩個(gè)試題互為逆命題，全面考查了解析幾何的基本思想方法．透過紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)表面，看到自然而富有直觀的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，得到精簡(jiǎn)樸實(shí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)．

二、試題的探究

“水石相激而生浪花點(diǎn)點(diǎn)，云天共擁始現(xiàn)蒼穹渺渺”，對(duì)于一道高考試題，我們有必要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)此問題進(jìn)行全方位的引申、探究，剖析其本質(zhì)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生探究的能力．問題也只有在不斷變式中探究，才能凸現(xiàn)出問題的本質(zhì)，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在運(yùn)動(dòng)中尋求定點(diǎn)、定值、定直線的“不變”性．引導(dǎo)學(xué)生將試題求變可以較好地刺激學(xué)生對(duì)所學(xué)材料的興趣，活躍學(xué)生的學(xué)習(xí)氣氛．改變題目的條件，會(huì)推出什么結(jié)論？保留題目的條件，結(jié)論能否進(jìn)一步加強(qiáng)？條件作類似變換，結(jié)論能否擴(kuò)大到一般？像這樣富有創(chuàng)造性的全方位思考，常常是學(xué)生發(fā)現(xiàn)新知識(shí)、認(rèn)識(shí)新知識(shí)的重要突破口．

一道成功的高考試題往往意境深遠(yuǎn)，具有較強(qiáng)的再生能力與發(fā)展的空間，我們可以把它作為知識(shí)與能力的生長(zhǎng)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生探究其中有趣的性質(zhì)，多角度地考慮問題，使思維呈現(xiàn)輻射狀展開，開闊視野，拓展思維．如果我們把試題中的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的條件再弱化，變成“類焦點(diǎn)”與“類準(zhǔn)線”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，又可以得到：

三、試題的反思

“八方聯(lián)系，渾然一體，漫江碧透，魚翔淺底”.通過剖析試題，探討知識(shí)聯(lián)系、知識(shí)整合、探究規(guī)律等一系列思維活動(dòng)，讓學(xué)生的思維在解題后繼續(xù)飛翔，這是例題教學(xué)過程中更高一級(jí)的思維活動(dòng).為了讓學(xué)生思維繼續(xù)飛翔，我們就需要讓學(xué)生從整體上把握知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律，讓學(xué)生將自己置于發(fā)現(xiàn)問題或深化探究問題的活動(dòng)中去.我們不僅讓學(xué)生擁有知識(shí)，而且讓學(xué)生擁有學(xué)習(xí)知識(shí)的智慧.有一個(gè)形象的比喻：擁有知識(shí)的人只能看到一塊石頭就是一塊石頭，一粒沙子就是一粒沙子.同樣地，擁有智慧的人卻能在一塊石頭里看到風(fēng)景，在一粒沙子里發(fā)現(xiàn)光輝.有效的變式教學(xué)有利于拓寬學(xué)生的學(xué)習(xí)視野，有利于優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，而且能激發(fā)學(xué)生內(nèi)在的探究熱情，對(duì)一道高考試題進(jìn)行探究、反思與拓展，讓它鏈接更多的精彩，將學(xué)生引向理性反思的舞臺(tái)——比較聯(lián)系，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，不僅有效地提升學(xué)生的思維能力，而且也使我們數(shù)學(xué)的課堂充滿活力.