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    立體幾何解答題處理策略

    2012-08-28 01:42:04浙江省溫州市嘯秋中學(xué)鄭上典
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年19期
    關(guān)鍵詞:位線二面角中點(diǎn)

    ☉浙江省溫州市嘯秋中學(xué) 鄭上典

    立體幾何解答題處理策略

    ☉浙江省溫州市嘯秋中學(xué) 鄭上典

    本文下面介紹解答立體幾何問題的幾個切入點(diǎn),雖然這些方法對于老師并不陌生,但對學(xué)生而言,能夠較快地找到解題的入口,則對教學(xué)有借鑒.

    立體幾何的解答題是高考的必考題型,這類問題以空間的線、面關(guān)系為載體,主要考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力等.但學(xué)生在解答這類題時,往往有畏懼感,盲目探索,淺嘗輒止,甚至感到無從下筆.因此有必要對這類問題的解題策略作一些探討.

    一、作好輔助線

    證明線線平行、線面平行時,若有三角形、梯形一邊的中點(diǎn),常取另一邊的中點(diǎn)作出中位線,利用三角形、梯形中位線的性質(zhì)證題.

    當(dāng)有等腰、等邊三角形時,常找底邊的中點(diǎn)連成中線,利用等腰、等邊三角形的底邊的中線即為高線,從而作出垂直關(guān)系.

    有正方形這個條件時,常連接對角線,利用正方形的對角線互相垂直平分來得到垂直關(guān)系.

    例1 圖1是一個直三棱柱(以A1B1C1為底面)被一平面所截得到的幾何體,截面為ABC.已知A1B1=B1C1=1,∠A1B1C1=90°,AA1=4,BB1=2,CC1=3.

    (1)設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),證明:OC∥平面A1B1C1;

    (2)求二面角B—AC—A1的大?。?/p>

    (3)求此幾何體的體積.

    證明:(1)由題意四邊形AA1B1B是直角梯形,且點(diǎn)O是AB的中點(diǎn),所以想到取A1B1的中點(diǎn)O1,連接OO1,則OO1是梯形AA1B1B的中位線.

    圖1

    點(diǎn)評:此例就是利用三角形、梯形的中位線的性質(zhì)證題,過程自然、合理.

    二、合理猜想

    例2 如圖2,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,已知DC=DD1=2AD=2AB,AD⊥DC,AB∥DC.

    (1)求證:D1C⊥AC1;

    (2)設(shè)E是DC上一點(diǎn),試確定E的位置,使D1E∥平面A1BD,并說明理由.

    證明:(1)在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,連接C1D.

    由DC=DD1,得四邊形DCC1D1是正方形,則DC1⊥D1C.

    點(diǎn)評:DC1⊥D1C就是利用正方形的對角線互相垂直證得.

    圖2

    (2)由于本題證明的是線面平行,平行的問題多和中點(diǎn)有關(guān),所以先猜想使E成為DC的中點(diǎn)時的情況再論證,理由如下:當(dāng)E是DC的中點(diǎn)時,連接BE,則有BE∥ADA1D1,則四邊形A1D1EB是平行四邊形,D1E∥A1B.

    點(diǎn)評:利用平時積累的經(jīng)驗(yàn)“猜想”也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要手段,在日常教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生“先猜想后證明”的數(shù)學(xué)意識.

    圖3

    三、挖掘隱含

    當(dāng)題目中告訴一些邊長或角的值時,一定要記得通過計(jì)算或論證發(fā)現(xiàn)有等腰、等邊三角形或通過a2+b2=c2或者計(jì)算角的度數(shù)發(fā)現(xiàn)有直角三角形.

    例3 如圖4,在三棱錐S-ABC中,側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形,∠BAC=90°,O為BC的中點(diǎn).

    (1)證明:SO⊥平面ABC;

    (2)求二面角A-SC-B的余弦值.

    證明:(1)連接OA,由題設(shè)SB=AB=SC=AC,BC是公共邊.

    圖4

    (2)略.

    點(diǎn)評:本題容易發(fā)現(xiàn)SO⊥BC,但若不利用邊長間的關(guān)系SO2+AO2=SA2,不易發(fā)現(xiàn)SO⊥AO.

    圖5

    (1)求證:BD⊥平面PAC;

    (2)求二面角A-PC-D的大小.

    證明:(1)由PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,得BD⊥PA.

    (2)略.

    點(diǎn)評:本題易得BD⊥PA,只要有“利用好邊長計(jì)算的意識”,計(jì)算出∠ABD=30°,∠BAC=60°,就能證得BD⊥AC.

    高考解答題是能力與時間的角逐,贏得考試時間對考生來說至關(guān)重要,這就要積累平時的解題經(jīng)驗(yàn)與捕捉他人之“玉”,要善于總結(jié)和比較,總結(jié)出題目類型,比較出最優(yōu)方法,考場上就會胸有成竹,就會在競爭中占得先機(jī).

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