解決導(dǎo)數(shù)問題的重要策略——轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

☉江蘇省江安高級(jí)中學(xué) 賈學(xué)如

解決導(dǎo)數(shù)問題的重要策略
——轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用

☉江蘇省江安高級(jí)中學(xué) 賈學(xué)如

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主干內(nèi)容，高中數(shù)學(xué)的函數(shù)問題內(nèi)容多而繁，性質(zhì)復(fù)雜且比較抽象，因而很多同學(xué)對(duì)函數(shù)知識(shí)的考查極為畏懼，轉(zhuǎn)化是解決導(dǎo)數(shù)問題的重要策略，特別是對(duì)于難度比較大的導(dǎo)數(shù)問題，更加彰顯了轉(zhuǎn)化思想的強(qiáng)大功能，下面談?wù)勣D(zhuǎn)化思想如何在導(dǎo)數(shù)解題中實(shí)現(xiàn)難點(diǎn)的突破．

一、數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

有些問題中給出的是“形”的條件，而有些問題中給出的是“數(shù)”的條件，聯(lián)想到形與數(shù)的密切聯(lián)系，可以把問題的形與數(shù)結(jié)合起來考慮，實(shí)施轉(zhuǎn)化，從而降低原命題的難度，使得問題得以解決．

例1（2012年浙江五校聯(lián)考高考模擬）函數(shù)f（x）=xex－a有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.

分析：通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合思想直觀解決.

解：構(gòu)造函數(shù)y=xex.則y′=ex（x+1）.因?yàn)閑x＞0，所以由y′=0，解得x=－1.

當(dāng)x＞－1時(shí)，y′＞0，函數(shù)為增函數(shù)；

當(dāng)x＜－1時(shí)，y′＜0，函數(shù)為減函數(shù).

所以當(dāng)x=－1時(shí)函數(shù)有最小值－e－1=－畫出函數(shù)y=xex的圖像，如圖1所示，顯然當(dāng)－＜a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=xex－a有兩個(gè)零點(diǎn).點(diǎn)評(píng)：對(duì)于本題，如果不能正確畫出函數(shù)的圖像，容易得出－＜a的錯(cuò)誤答案．

圖1

二、函數(shù)、方程、不等式的轉(zhuǎn)化

函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系密切，有意識(shí)地利用三者之間的關(guān)系對(duì)問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)捷的解決問題，轉(zhuǎn)化的價(jià)值是培養(yǎng)學(xué)生從不同的角度、不同的側(cè)面去觀察問題，產(chǎn)生新的聯(lián)想，從而解決問題.

分析：函數(shù)g（x）在［1，2］上是減函數(shù)，轉(zhuǎn)化為g′（x）≤0在［1，2］上恒成立，再通過分類討論通過求解函數(shù)的最值解決.

點(diǎn)評(píng)：本題的解決方法是利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，然后用函數(shù)的思想方法求解．

分析：本題考查恒成立問題，通過對(duì)問題的挖掘，實(shí)際上是求函數(shù)的最值問題，借助導(dǎo)數(shù)工具以及不等式恒成立結(jié)論解決.0?k≥1.

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，求參數(shù)k的范圍問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，再通過求最值轉(zhuǎn)化成利用解不等式來解決.

三、等價(jià)轉(zhuǎn)化

所謂等價(jià)轉(zhuǎn)化，是指通過不斷轉(zhuǎn)化，將未知解的問題（即不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題）轉(zhuǎn)化為在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解的問題（即熟悉、規(guī)范、簡(jiǎn)單的問題）的一種思想方法.這種方法注重多種思維的訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化的過程.等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)要求轉(zhuǎn)化過程必須是充分必要的，才能保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果.它能給人帶來思維的閃光點(diǎn)，找到解決問題的突破口.

例4 若函數(shù)f（x）=x3－kx2－k2x+k3在［－1，3］上單調(diào)遞減，求k的取值范圍.

分析：本題是非常規(guī)函數(shù)以及已知含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)等逆向問題，適合利用導(dǎo)數(shù)解決.

解法1：最值法.

解得k≤－9或k≥3，所以k的取值范圍為（－∞，－9］∪［3，+∞）.

解法2：子區(qū)間法.

點(diǎn)評(píng)：求解本題時(shí)，可轉(zhuǎn)化為兩種途徑解：一是最值法，即不等式f′（x）≤0對(duì)于一切x∈［a，b］恒成立，先求出f′（x）在［a，b］上的最大值f′（x）max；二是子集法，先解關(guān)于x的不等式f′（x）≤0，得到用參數(shù)k表示的函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間U，再令［a，b］?U，從而可以得到關(guān)于k的不等式或不等式組，進(jìn)而得到k的取值范圍.

導(dǎo)數(shù)是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點(diǎn)，它作為選修部分進(jìn)入新課程，為研究函數(shù)提供了更有力的工具和更廣闊的空間.在今后的學(xué)習(xí)中要養(yǎng)成使用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的習(xí)慣.