深度解讀函數(shù)單調(diào)性

☉江蘇省如皋市城西中學 章春娟

深度解讀函數(shù)單調(diào)性

☉江蘇省如皋市城西中學 章春娟

函數(shù)是高中數(shù)學的核心內(nèi)容，單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一，它反映了函數(shù)值的變化規(guī)律．縱觀歷年高考，對單調(diào)性的考查主要體現(xiàn)在以下四個方面：（1）單調(diào)性的定義；（2）單調(diào)區(qū)間的求解；（3）利用單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍；（4）單調(diào)性的應用．下面就這四個方面舉例分析．

一、單調(diào)性的定義

例1若函數(shù)y=f（x）在R上單調(diào)遞增，且f（m2）＞f（－m），則實數(shù)m的取值范圍是（）．

A．（－∞，－1）B．（0，+∞）

C．（－1，0）D．（－∞，－1）∪（0，+∞）解析：由函數(shù)單調(diào)性的定義可得m2＞－m，解得答案為D．

例2已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，它在［0，+∞）上遞減，那么一定有（ ）．

二、單調(diào)區(qū)間的求解

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，除了利用單調(diào)性的定義及已知的基本初等函數(shù)的單調(diào)性外，還可以利用函數(shù)的導數(shù)法、子集法、圖像法、復合函數(shù)的單調(diào)性“同增異減”、奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性、偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性、互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性這些方法求解．在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)f（x）+增函數(shù)g（x）是增函數(shù)；減函數(shù)f（x）+減函數(shù)g（x）是減函數(shù)；增函數(shù)f（x）－減函數(shù)g（x）是增函數(shù)；減函數(shù)f（x）－增函數(shù)g（x）是減函數(shù)．

例3函數(shù)y=log0.7（x2－3x+2）的單調(diào)區(qū)間為______.

解析：由x2－3x+2＞0，解得函數(shù)的定義域為（－∞，1）∪（2，+∞）.據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的同增異減性質(zhì)得函數(shù)y=log0.7（x2－3x+2）的單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（2，+∞）.

點評：本題求解中應先求函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間為定義域的子區(qū)間.

（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線x－2y=0垂直，求實數(shù)a的值.

（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性.

當a＞0時，因為x＞0，由f′（x）＞0得（x－a）（x+2a）＞0，解得x＞a；

由f′（x）＜0得（x－a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜a.所以函數(shù)f（x）在（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，a）上單調(diào)遞減.

當a＜0時，因為x＞0，由f′（x）＞0得（x－a）（x+2a）＞0，解得x＞－2a；由f′（x）＜0得（x－a）（x+2a）＜0，解得0＜x＜－2a.所以函數(shù)f（x）在（0，－2a）上單調(diào)遞減，在（－2a，+∞）上單調(diào)遞增.

點評：導數(shù)的引入給函數(shù)單調(diào)性的研究帶來了很多方便，為函數(shù)單調(diào)性的判斷提供了程序化的解題思路.實踐經(jīng)驗告訴我們，含參函數(shù)的單調(diào)性問題是高考的重點，也是函數(shù)研究中最基本最重要的問題，解題中需要對參數(shù)的取值范圍進行討論.

三、單調(diào)性的應用

單調(diào)性有著極其廣泛的應用，在高考中主要體現(xiàn)在利用單調(diào)性解不等式、求最值、比較大小.

四、利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍

例7（2012年高考上海）已知函數(shù)f（x）=e|x－a|（a為常數(shù)）.若

f（x）在區(qū)間［1，+∞）上是增函數(shù)，則a的取值范圍是______.

由g（x）的圖像知f（x）在區(qū)間［1，+∞）上是增函數(shù)時，a≤1.

圖1

（1）求函數(shù)f（x）的解析式.

（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，2m+1）上為增函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍.

解得－1＜m≤0，即m∈（－1，0］時，函數(shù)f（x）在（m，2m+1）上為增函數(shù).

點評：在利用區(qū)間（m，2m+1）為區(qū)間（－1，1）的子區(qū)間時，除了m≥－1且2m+1≤1兩個條件限制之外，不可忽視條件2m+1＞m，即必須確保給定區(qū)間為非空集合，這一點在解題時極易忽略，容易造成解題錯誤.