拋物線和雙曲線在初中階段的“另類”考法

☉浙江省寧波市東錢湖中學(xué) 郭 斌

在初中階段，對(duì)拋物線和雙曲線的考查一般不涉及它們的幾何性質(zhì)的.但在近幾年的中考、競(jìng)賽以及重點(diǎn)中學(xué)提前招生考試中出現(xiàn)了一些“另類”的考查方式：即以拋物線、雙曲線的初等幾何意義為背景，作適當(dāng)?shù)匿亯|后引出一些基本的幾何性質(zhì)，然后利用此性質(zhì)解決問題.這類題目背景豐富，與高中的解析幾何知識(shí)聯(lián)系緊密，起點(diǎn)比較高，又有一定的技巧性，是考查優(yōu)秀學(xué)生的一類好題材.故不憚淺陋，把一些自己接觸過的以及自編的這類題目付于筆端，以拋磚引玉.

一、與拋物線幾何定義有關(guān)的題目

例1 已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A（－4，3）、B（2，0）兩點(diǎn)，當(dāng)x=3和x=－3時(shí)，這條拋物線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等.經(jīng)過點(diǎn)C（0，－2）的直線l與x軸平行，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求直線AB和這條拋物線的解析式.

（2）以A為圓心，AO為半徑的圓記為⊙A，判斷直線l與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由.

（3）設(shè)直線AB上的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為－1，P（m，n）是拋物線y＝ax2＋bx＋c上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PDO的周長(zhǎng)最小時(shí)，求四邊形CODP的面積.

這是2010年江蘇省南通市的中考?jí)狠S題，第一小題是中考的常規(guī)考法，第二小題暗示了拋物線上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)和焦線的距離這個(gè)性質(zhì)，O是焦點(diǎn)，l是焦線，經(jīng)過這么一鋪墊只要利用這個(gè)性質(zhì)就可解決第三小題.以此為背景的這類題目在各類考試中已不時(shí)出現(xiàn)，如2010年湖北黃岡市的中考?jí)狠S題和2006年寧波市鄞州中學(xué)提前招生最后一題就是此類題目.

圖1圖2

（1）求證：MP=MF.

（2）C是x軸任意一點(diǎn)，過點(diǎn)C作直線交拋物線于點(diǎn)A、B，連接AF、BF、CF，求證：CF是△ABF的外角平分線.

（1）求證：MP=MF.

（2）連接MF并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)N，試判斷以MN為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并說明理由.

這兩道題目都以拋物線的幾何定義為出發(fā)點(diǎn)，用第一小題來(lái)證明感悟這個(gè)性質(zhì)，然后在下一小題中來(lái)靈活應(yīng)用.當(dāng)然這兩題還包含拋物線的其他幾何意義，留有余味.如通過練習(xí)二我們可以得到拋物線的一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)潔的切線作法.

二、與拋物線二階等差性有關(guān)的題目

先看兩個(gè)例子，例2是2003年上海市的競(jìng)賽題，例3是2008年浙江省嘉興市的中考題.

例2 某學(xué)生為了描點(diǎn)作出y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖像，取自變量的7個(gè)值：x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，且x2－x1=x3－x2=x4－x3=x5－x4=x6－x5=x7－x6，分別算出對(duì)應(yīng)的y值，如下表：

x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 y 51 107 185 285 407 549 717

但由于粗心算錯(cuò)了其中一個(gè)值，請(qǐng)指出哪一個(gè)算錯(cuò)了，正確的是多少？并說明理由.

例3 如圖3，在8×8的正方形網(wǎng)格中，任意畫一條拋物線，問所畫的拋物線最多能經(jīng)過81個(gè)格點(diǎn)中的多少個(gè)（ ）.

A.6 B.7 C.8 D.9

圖3 圖4

這兩個(gè)例子的背景是拋物線的二階等差性.即：在拋物線對(duì)稱軸的同側(cè)依次有若干個(gè)點(diǎn)在拋物線上，若每間隔兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)差相等，則間隔兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)（其實(shí)是到與主軸垂直的直線的距離）的差成等差數(shù)列.例2的表格已經(jīng)很好地描述了這個(gè)性質(zhì)，在一定程度上給了學(xué)生一個(gè)切入點(diǎn)，當(dāng)學(xué)生帶入計(jì)算求解析式發(fā)現(xiàn)計(jì)算量過大時(shí)，會(huì)去考慮縱坐標(biāo)的差，使猜想有一個(gè)立足點(diǎn)，是道不錯(cuò)的題目.例3跨度大了一點(diǎn)，命題者把它出成選擇題以降低難度，實(shí)際上經(jīng)過改編可以成為一道有一定難度又有梯度的好題.

練習(xí)三：已知A1，A2，A3，A4，A5，A6，…，An是拋物線y=ax2上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別是1，2，3，4，5，6，…，n.

（1）用a的代數(shù)式表示y1，y2，y3，y4，y5的值.

（2）設(shè)Δyn-1=yn-yn-1，通過計(jì)算說明Δyn-1-Δyn-2（n≥3）有什么特點(diǎn).

（3）當(dāng)拋物線改成y=ax2+bx+c時(shí)，Δyn-1-Δyn-2（n≥3）有什么特點(diǎn).

（4）在10×10的正方形網(wǎng)格中，任意畫對(duì)稱軸垂直于格線的一條拋物線，問所畫的拋物線最多能經(jīng)過121個(gè)格點(diǎn)中的多少個(gè)，試簡(jiǎn)要說明理由.

這個(gè)練習(xí)中，經(jīng)過前面幾個(gè)小題的鋪墊后第四小題就可以借助拋物線的二階等差性來(lái)解決，不致過于突兀.

三、雙曲線中的另類題目

A.直線 B.拋物線 C.圓 D.雙曲線

圖5 圖6

本題是2007年浙江省慈溪中學(xué)提前招生試題，此題給出了雙曲線的第一幾何定義：雙曲線上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的差的絕對(duì)值等于實(shí)軸的長(zhǎng)度.以此為出發(fā)點(diǎn)結(jié)合條件中角平分線加垂線必會(huì)出現(xiàn)軸對(duì)稱三角形這個(gè)常見模型，就可解決問題.從另一方面看，這個(gè)題目還有“雙曲線關(guān)于焦點(diǎn)的垂足曲線是圓”這一背景，可見此題起點(diǎn)比較高，難度也頗大.從雙曲線的第一幾何定義出發(fā)，擬編一題.

（1）試證明：AB-AC=MN.

（2）作∠BAC的內(nèi)角平分線AE，過B作AE的垂線交AE于F，連結(jié)OF，證明

（3）判斷以AC為直徑的圓和以MN為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.

雙曲線除了可以以第一定義為載體來(lái)考查，還可以“漸近線矩形”面積為定值來(lái)命題.如有一道高中的競(jìng)賽題：如圖7，任意直線交雙曲線和它的漸近線于點(diǎn)A、B、C、D，則AB=CD.

圖7圖8

由于雙曲線在初中是一種特殊的雙曲線，即漸近線互相垂直的雙曲線，故可以把上面所謂的“截線”相等的結(jié)論移植到初中雙曲線中.故可編制以下習(xí)題：

某數(shù)學(xué)論壇曾推出過初中生看高考這個(gè)專題，筆者深受啟發(fā)：既然可以從高觀點(diǎn)的角度來(lái)看一些初等問題，也可以反過來(lái)以初等的眼光來(lái)解決高階段的問題.這也算是新瓶裝舊酒吧！