構(gòu)造二次函數(shù)求解幾何圖形中的最值

☉江蘇省睢寧縣凌城中學(xué) 秦敬軍

構(gòu)造二次函數(shù)求解幾何圖形中的最值

☉江蘇省睢寧縣凌城中學(xué) 秦敬軍

學(xué)習(xí)了二次函數(shù)，我們就會(huì)經(jīng)常遇到幾何問題的最值問題，不少同學(xué)碰到此類問題總是感到無從著手.事實(shí)上，處理這類問題，只要我們能抓住一個(gè)問題，即根據(jù)題意和幾何圖形的性質(zhì)求出二次函數(shù)的表達(dá)式，再依據(jù)配方法或公式法求出二次函數(shù)的最值.現(xiàn)以2012年全國部分省市的中考試題為例說明如下：

一、利用圖形的面積構(gòu)造二次函數(shù)

例1 （2012年江蘇無錫）如圖1，在邊長為24cm的正方形紙片ABCD上，剪去圖中陰影部分的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿圖中的虛線折起，折成一個(gè)長方體形狀的包裝盒（A、B、C、D四個(gè)頂點(diǎn)正好重合于上底面上一點(diǎn)）.已知E、F在AB邊上，是被剪去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)，設(shè)AE=BF=xcm.某廣告商要求包裝盒的表面（不含下底面）面積S最大，試問x應(yīng)取何值？

圖1

解析：設(shè)包裝盒的底面邊長為acm，高為hcm，則

所以當(dāng)x=8時(shí)，S取得最大值384cm2.

點(diǎn)評：要先求出表面積的表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)是二次函數(shù)就可以利用配方法或利用頂點(diǎn)公式求最值，但要注意x的取值范圍.

二、根據(jù)勾股定理構(gòu)造二次函數(shù)

例2 （2012年江蘇揚(yáng)州）如圖2，線段AB的長為2，C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE長的最小值是_______.

解析：設(shè)AC=x，則BC=2－x.

因?yàn)椤鰽CD和△BCE都是等腰直角三角形，

所以∠DCA=∠ECB=45°.

所以∠DCE=180°－90°=90°.

在Rt△DCE中，DE2=DC2+CE2，

圖2

故當(dāng)x=1時(shí)，DE2有最小值，最小值為1，此時(shí)DE有最小值，DE=1.

點(diǎn)評：動(dòng)態(tài)問題中的最值問題，往往通過建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)確定最大（?。┲?

三、根據(jù)相似構(gòu)造二次函數(shù)

例3 （2012年福建南平）如圖3，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE，且∠1=∠B=∠C，若∠B=45°，BC=2，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合），求CE的最大值.

解析：因?yàn)椤?=∠B，∠1+∠CDE=∠B+∠BAD，

圖3

點(diǎn)評：求線段的最值可以代數(shù)化，運(yùn)用函數(shù)求最值是一種常見的方法，當(dāng)然首先要正確建立函數(shù)關(guān)系，其次要能用好函數(shù)的性質(zhì)求最值，最后要回歸到幾何問題中來﹒

四、根據(jù)線段乘積構(gòu)造二次函數(shù)

例4 （2012年江蘇蘇州）如圖4，已知直線l與半徑為2的⊙O相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為x（2＜x＜4）.當(dāng)x為何值時(shí)，PD×CD的值最大？最大值是多少？

解析：過O作OE⊥PD，垂足為E.

因?yàn)镻D是⊙O的弦，OF⊥PD，

圖4

所以PD×CD=2（x－2）×（4－x）=－2x2+12x－16=－2（x－3）2+2.

因?yàn)?＜x＜4，當(dāng)x=3時(shí)，PD×CD有最大值，最大值是2.

點(diǎn)評：從圓的性質(zhì)出發(fā)，靈活運(yùn)用相似三角形、勾股定理等知識，利用線段的乘積構(gòu)造出二次函數(shù)，并通過對其解析式配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解問題.

五、根據(jù)圓的知識構(gòu)造二次函數(shù)

例5（2012年江蘇南京）某玩具由一個(gè)圓形區(qū)域和一個(gè)扇形區(qū)域組成.如圖5，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1與O2C、O2D分別相切于點(diǎn)A、B.已知∠CO2D=60°，E、F是直線O1O2與⊙O1、扇形O2CD的兩個(gè)交點(diǎn)，且EF=24cm.設(shè)⊙O1的半徑為xcm.

（1）用含x的代數(shù)式表示扇形O2CD的半徑；

（2）若⊙O1和扇形O2CD兩個(gè)區(qū)域的制作成本分別為0.45元/cm2和0.06元/cm2，當(dāng)⊙O1的半徑為多少時(shí)，該玩具的制作成本最??？

圖5

當(dāng)x=4時(shí)，該玩具的制作成本最小.

點(diǎn)評：本題根據(jù)切線的性質(zhì)以及三角函數(shù)知識，由圖形中線段間的和差關(guān)系求得扇形的半徑，根據(jù)圓形的面積公式和扇形的面積公式列出y與x間的函數(shù)關(guān)系，然后利用二次函數(shù)的最值即可求得該玩具的最小制作成本.

這類問題命題的依據(jù)——平面幾何中線段的長度、面積的大小有其內(nèi)在的聯(lián)系，這個(gè)關(guān)系可以用函數(shù)的解析式來表示；解題方法——全面觀察出幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征，挖掘出相應(yīng)的內(nèi)在性質(zhì)，運(yùn)用其性質(zhì)布列出包含函數(shù)、自變量在內(nèi)的等式，并轉(zhuǎn)化為函數(shù)的解析式利用配方法或頂點(diǎn)坐標(biāo)公式方可獲解.但必須密切關(guān)注自變量的取值范圍內(nèi)，嚴(yán)防頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在自變量的取值范圍內(nèi)的情形，因?yàn)檫@時(shí)的最值不在頂點(diǎn)處，具體的可通過畫出函數(shù)的圖像來分析判斷.