怎樣解二次函數(shù)圖像信息題

☉江蘇省寶應(yīng)縣實驗初級中學(xué) 汪國銀

怎樣解二次函數(shù)圖像信息題

☉江蘇省寶應(yīng)縣實驗初級中學(xué) 汪國銀

二次函數(shù)是各地中考試題的熱點(diǎn)內(nèi)容，二次函數(shù)的圖像是二次函數(shù)的重要內(nèi)容，其中根據(jù)圖像信息解答相關(guān)問題不僅是考查同學(xué)們的觀察能力，同時也需要同學(xué)們對二次函數(shù)問題要有一定的處理能力．下面為同學(xué)們舉例說明.

一、排除法

例1 函數(shù)y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)的圖像大致是圖1中的（ ）.

圖1

解：在A中，從直線來看，a＜0.從拋物線來看，a＞0，兩者矛盾，故排除A.

在B中，從直線來看，a＞0，b＞0.從拋物線來看，a＞0，＞0，所以b＜0.兩者矛盾，故排除B.在C中，從直線來看，a＞0，b＜0.從拋物線來看，a＞0，＞0，所以b＜0，沒有矛盾.

在D中，從直線來看，a＞0，b＞0.從拋物線來看，a＜0，c＞0，兩者矛盾，故排除D.

綜上所述故選C.

評注：本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，一次函數(shù)中a＞0時圖像必經(jīng)過一、三象限，a＜0時圖像必經(jīng)過二、四象限；b＞0時與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方，b＜0時與y軸的交點(diǎn)在x軸的下方.二次函數(shù)中a＞0時開口向上，a＜0時開口向下；ab＞0時，對稱軸在y軸左側(cè)，ab＜0時，對稱軸在y軸右側(cè).解答選擇題時，有時用排除法能達(dá)到事半功倍的效果.

第四種跡象：多角度、深層次的語言研究。日益強(qiáng)大的信息和人工智能時代，迫使藝術(shù)家向機(jī)器無法達(dá)到的境地探索，進(jìn)一步將材料語言推向極致。與此同時，物質(zhì)背后所承載的豐富的文化線索和全新的材料試驗讓這一方向生機(jī)勃勃。

例2 在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常數(shù)，且m≠0）的圖像可能是圖2中的（ ）.

圖2

解析：本例將二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像放在同一直角坐標(biāo)系中，加大了知識的考查力度.我們先根據(jù)圖像來分析：

（1）如果m＞0，則由一次函數(shù)y=mx+m的性質(zhì)，可知其圖像上升，且與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，很明顯，只有C滿足，但對二次函數(shù)y=－mx2+2x+2而言，當(dāng)m＞0時，其開口方向應(yīng)向下，顯然不合，所以C不可能.

（2）如果m＜0，則由一次函數(shù)y=mx+m的性質(zhì)，可知其圖像下降，且與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，這些A、B和D都滿足，但對二次函數(shù)y=－mx2+2x+2而言，當(dāng)m＜0時，其開口方向應(yīng)向上，所以A不可能.

只有D滿足條件，故應(yīng)選D.

點(diǎn)評：本題和例1不同，m的位置不同，同時在一次函數(shù)和二次函數(shù)中出現(xiàn)，我們就要根據(jù)圖像找出它們的信息，只有完全符合m三個位置的要求的值，才是題目的答案.

二、圖像分析法

圖3

例3 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像如圖3所示，則下列結(jié)論：①ac＞0；②方程ax2+bx+c=0的兩根之和大于0；③y隨x的增大而增大；④a－b+c＜0，其中正確的個數(shù)（ ）.

A.4個 B.3個 C.2個 D.1個

分析：由圖像知有a＜0，c＞0，所以ac＞0成立，由于對稱軸在y軸的右側(cè)，所以＞0，又a＜0，所以b＞0，所以方程ax2+bx+c=0的兩根之和大于0不一定成立，y隨x的增大而增大也不成立，由圖像可知當(dāng)x=1時，y＜0，即a－b+c＜0正確，故選C.

解：由以上分析應(yīng)選C.

點(diǎn)評：考查了二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）與a、b、c的關(guān)系、二次函數(shù)的圖像.考查了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合能力和創(chuàng)新應(yīng)用能力.

圖4

A.M＞0 B.M＜0

C.M=0 D.M的符號不能確定

解析：解決本例的基本思想仍然是數(shù)形結(jié)合.由拋物線在坐標(biāo)系中的位置，確定其系數(shù)及其代數(shù)式的符號.

（1）由圖像可知，當(dāng)x=－2時，其對應(yīng)點(diǎn)在x軸的上方，即y＞0，則4a－2b+c＞0；

（2）由圖像可知，當(dāng)x=1時，其對應(yīng)點(diǎn)在x軸的下方，即y＜0，從而a+b+c＜0；

因為a＜0，2a－b＜0，所以M＜0，故應(yīng)選B.

圖5

三、特殊值判斷法

例5 已知=次函數(shù)y=ax+bx+c的圖像如圖5.則下列5個代數(shù)式：ac，a+b+c，4a－2b+c，2a+b，2a－b中，其值大于0的個數(shù)為（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.5

分析：由二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像可以判斷a＜0，b＞0，c＜0，故ac＞0，a+b+c=0，4a－2b+c＜0，2a－b＜0.

解：由對稱軸和特殊值1及以上分析知選A.

評注：本題主要考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，在解決此類問題時要綜合利用拋物線的圖像和特殊值來解題．

四、綜合判斷法

例6 小明從圖6所示的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像中，觀察得出了下面五條信息：①c＜0；②abc＞0；③a－b+c＞0；④2a－3b=0；⑤c－4b＞0，你認(rèn)為其中正確信息的個數(shù)有（ ）.

A.2個 B.3個 C.4個 D.5個

分析：先用圖像分析法，再用特殊值判斷，最后再用排除法即可解決.

解：由圖像與y軸交點(diǎn)在x軸下方，所以c＜0，①正確；又開口向上，所以a＞0，又＞0，所以b＜0，故abc＞0，②也正確；當(dāng)x=－1時，y＞0，即a－b+c＞0，③亦成立；又因為x=，即=，所以3b=－2a，即2a+3b=0，所以④不正確；同理⑤也正確；所以共有四個結(jié)論是正確的，故選C.

圖6

評注：本題綜合了以上幾種方法來解決問題的，它考查了同學(xué)們的綜合分析問題的能力以及從圖像中獲取信息的能力．

綜上所述，在解決二次函數(shù)圖像信息題目時，我們只要抓住a、b、c與圖像的開口方向、對稱軸的位置、在y軸上的截距的關(guān)系，并結(jié)合題目中其他條件，就能準(zhǔn)確求解.