淺析解直角三角形的應(yīng)用問題

☉山東省莒南縣筵賓鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 徐淑杭

淺析解直角三角形的應(yīng)用問題

☉山東省莒南縣筵賓鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 徐淑杭

解直角三角形的應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn)，在歷次中考中所占的分值基本都在10分以上，主要考查在物高測量、建筑設(shè)計(jì)、坡角、坡比、堪測礦藏、圖案設(shè)計(jì)、氣象預(yù)報(bào)、工程技術(shù)、物理學(xué)、醫(yī)學(xué)、航海航空等諸多領(lǐng)域應(yīng)用，這些知識(shí)需要學(xué)生根據(jù)已知條件解直角三角形的方法，運(yùn)用解直角三角形的知識(shí)解決問題.具體做到：1了解某些實(shí)際問題中的仰角、俯角、坡度等概念；2將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型；3涉及解斜三角形的問題時(shí)，通過作適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形，使之轉(zhuǎn)化為解直角三角形的計(jì)算問題而達(dá)到解決實(shí)際問題的目的.關(guān)于解直角三角形應(yīng)用有如下知識(shí)點(diǎn)和考點(diǎn).

一、知識(shí)點(diǎn)與技能掃描

1.課程內(nèi)容解讀

（1）通過實(shí)例（梯子的傾斜程度）認(rèn)識(shí)銳角三角函數(shù)的含義.

（2）知道3 0°、45°、60°角的三角函數(shù)值.

（3）會(huì)使用計(jì)算器由銳角求它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求銳角.

（4）熟悉利用解直角三角形對(duì)物高進(jìn)行測量的方法.

（5）掌握運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的實(shí)際問題.

2.中考考題的共同點(diǎn)

（1）均考查了運(yùn)用三角函數(shù)解決與直角三角形邊角有關(guān)的實(shí)際問題.

（2）都要借助輔助線完成.

（3）都能分解為含3 0°、45°、60°的特殊直角三角形.

（4）結(jié)果都有限制條件.

二、中考典例剖析

圖1

例1 如圖1，一架飛機(jī)在空中P處探測到某高山山頂D處的俯角為60°，此后飛機(jī)以3 00米/秒的速度沿平行于地面AB的方向勻速飛行，飛行10秒到山頂D的正上方C處，此時(shí)測得飛機(jī)距地平面的垂直高度為12千米，求這座山的高（精確到0.1千米）.

答案提示：延長CD交AB于G，則CG=12千米.

依題意得PC=3 00×10=3 000米=3千米.

在Rt△PCD中，

答：這座山的高約為6.8千米.

考點(diǎn)剖析：本題是一道較簡單的實(shí)際應(yīng)用題，只需要作出輔助線構(gòu)造直角三角形，然后在直角三角形中利用銳角三角函數(shù)的知識(shí)，就可以輕松解決問題.

圖2

圖3

例2 圖2為已建設(shè)封頂?shù)?6層樓房和其塔吊圖，圖3為其示意圖，吊臂AB與地面EH平行，測得A點(diǎn)到樓頂D點(diǎn)的距離為5m，每層樓高3.5m，AE、BF、CH都垂直于地面，EF=16m，求塔吊的高CH的長.

答案提示：根據(jù)題意得：DE=3.5×16=56，AB=EF=16.

答：塔吊的高CH的長為69m.

考點(diǎn)剖析：本題是一道關(guān)于生活中塔吊的題目，乍看圖形比較復(fù)雜，但是靜心看一下圖形解決起來是比較簡單的.主要考查了將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，只要正確地運(yùn)用銳角三角函數(shù)的知識(shí)就可以得到正確答案.

例3 在一個(gè)陽光明媚、清風(fēng)徐來的周末，小明和小強(qiáng)一起到郊外放風(fēng)箏﹒他們把風(fēng)箏放飛后，將兩個(gè)風(fēng)箏的引線一端都固定在地面上的C處（如圖4）.現(xiàn)已知風(fēng)箏A的引線（線段AC）長20m，風(fēng)箏B的引線（線段BC）長24m，在C處測得風(fēng)箏A的仰角為60°，風(fēng)箏B的仰角為45°.

（1）試通過計(jì)算，比較風(fēng)箏A與風(fēng)箏B誰離地面更高.

（2）求風(fēng)箏A與風(fēng)箏B的水平距離.

圖4

（精確到0.01m；參考數(shù)據(jù)：sin45°≈0.707，cos45°≈0.707，tan45°=1，sin60°≈0.866，cos60°=0.5，tan60°≈1.732）

答案提示：（1）分別過A，B作地面的垂線，垂足分別為D，E.

即風(fēng)箏A與風(fēng)箏B的水平距離約為6.97（m）.

考點(diǎn)剖析：本題是同學(xué)們比較感興趣的放風(fēng)箏問題，主要是應(yīng)用直角三角形的邊角關(guān)系來解決本題，首先構(gòu)造直角三角形，分別過A，B作地面的垂線，垂足分別為D，E.第（1）問是已知角和斜邊，利用正弦求角的對(duì)邊，求出兩個(gè)對(duì)邊就可以比較；第（2）問已知角和斜邊，利用余弦求角的鄰邊.

三、復(fù)習(xí)方法建議

（1）精——將考點(diǎn)、考向、方法、技巧、題例等呈現(xiàn)給學(xué)生，所呈現(xiàn)要精而又精.

（2）準(zhǔn)——做到不偏離航線，使復(fù)習(xí)與中考接近起來，提高命中率，也使學(xué)生感受提前進(jìn)入中考，這就做到了“準(zhǔn)心復(fù)習(xí)”.

（3）全——作為中考前的復(fù)習(xí)，一定要做到全面系統(tǒng)，不遺漏任何一個(gè)復(fù)習(xí)點(diǎn)不給學(xué)生造成遺憾，這要求我們對(duì)初中知識(shí)點(diǎn)做出全面的串接.

（4）實(shí)——在復(fù)習(xí)中不能只享受教師整理得如何，更要將復(fù)習(xí)過程和結(jié)果實(shí)實(shí)在在地落實(shí)到每一位學(xué)生身上.

解直角三角形應(yīng)用的學(xué)習(xí)要全面落實(shí)“三基”，教師重視提煉教學(xué)思想，發(fā)展理性思維.注意學(xué)生閱讀理解能力和書面表述能力的培養(yǎng)，關(guān)注學(xué)生觀察問題、分析問題、處理問題的方法與能力，應(yīng)加強(qiáng)運(yùn)算的合理性和科學(xué)性的教學(xué)，解直角三角形的應(yīng)用所涉及的知識(shí)點(diǎn)主要是“勾股定理”和“銳角三角函數(shù)”，扎實(shí)、牢固地掌握好這兩部分內(nèi)容是正確解直角三角形的基本前提，只要掌握好這兩部分內(nèi)容，就等于掌握了解直角三角形的有力工具，只要能夠靈活運(yùn)用，就能游刃有余地解決問題.