中學(xué)數(shù)學(xué)中的幾個(gè)漸近線問(wèn)題及處理對(duì)策

☉江蘇省昆山中學(xué) 戈 峰

中學(xué)教材中出現(xiàn)“漸近線”這個(gè)概念是在“雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)”這節(jié)中，概括為：曲線上的動(dòng)點(diǎn)沿著曲線從某個(gè)方向向外延伸時(shí)，動(dòng)點(diǎn)與某條直線無(wú)限地接近，但永遠(yuǎn)不相交，那么稱此直線為曲線的漸近線（滲透極限思想）.中學(xué)數(shù)學(xué)的許多函數(shù)圖像和曲線都有漸近線，例如教材中涉及到的初等函數(shù)：反比例函數(shù)、指對(duì)數(shù)函數(shù)、正余切函數(shù)等.學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中若能領(lǐng)會(huì)漸近線的內(nèi)涵，就能對(duì)掌握某些函數(shù)的形狀、位置、大小等有很大的幫助.本文對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中有漸近線的一些復(fù)雜函數(shù)進(jìn)行討論，并對(duì)處理有漸近線的函數(shù)問(wèn)題提供幾種策略.

一、分類討論

除了教材中我們比較熟悉的反比例函數(shù)、指對(duì)數(shù)函數(shù)、正余切函數(shù)圖像有漸近線外，我們經(jīng)常碰到圖像有漸近線的函數(shù)主要有分式函數(shù)型與超越函數(shù)型.

1.分式函數(shù)型.

圖1圖2

以a>0，d>0，h>0進(jìn)行分析：

對(duì)于①，f（x）關(guān)于x=k對(duì)稱，當(dāng)x趨向于無(wú)窮時(shí)，a（x－k）2+h趨向于正無(wú)窮，則f（x）趨向于0，所以x軸是f（x）的漸近線.如圖3.

對(duì)于②，f（x）關(guān)于x=k對(duì)稱，當(dāng)x趨向于無(wú)窮時(shí)，a（x－k）2趨向于正無(wú)窮，則f（x）趨向于0，當(dāng)x趨向于k時(shí)，a（x－k）2趨向于0，則f（x）趨向于正無(wú)窮，所以x軸與x=k是f（x）的漸近線.如圖4.

對(duì)于③，當(dāng)x趨向于無(wú)窮時(shí)，a（x－m）（x－n）趨向于正無(wú)窮，則f（x）趨向于0.當(dāng)x趨向于m和n時(shí)，a（x－m）（x－n）趨向于0，則f（x）趨向于正無(wú)窮，所以x軸、x=m與x=n都是f（x）的漸近線.如圖5.

2.超越函數(shù)型.

（1）函數(shù)f（x）=xn·ex（n∈Z）.

當(dāng)n=0時(shí)，f（x）=ex以x軸為漸近線；

當(dāng)n>0時(shí)，f′（x）=xn－1·ex（n+x），易得f（x）在x=0處取得極小值，在x=-n處取得極大值；n為偶數(shù)時(shí)，f（x）在x=0處為拐點(diǎn)，在x=-n處取得極小值.而當(dāng)x趨向于正無(wú)窮時(shí)，f（x）都趨向于正無(wú)窮.x趨向于負(fù)無(wú)窮時(shí)，f（x）趨向于0.所以f（x）=xn·ex以x軸為漸近線，如圖6（n=2）和圖7（n=3）.

二、應(yīng)對(duì)策略

1.思想重視.

在學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)時(shí)除了要重視函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、特殊點(diǎn)等性質(zhì)外，也要重視函數(shù)圖像是否具有漸近線這一性質(zhì).

解析：畫出圖像如圖11，圖像的漸近線為y=1，要求y=m與y=有兩個(gè)交點(diǎn)，所以m∈（0，1）.

2.取倒數(shù).

解析1：方程的一個(gè)解為x=0.

由分式函數(shù)型（2）討論可知，x軸，y軸是g1（x）的漸近線；x=-2，x軸，y軸是g2（x）的漸近線.

因此g1（x）和g2（x）圖像如圖12.

所以當(dāng)k>1時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，即方程有三個(gè)解.又x=0是方程的解，所以當(dāng)k>1時(shí)，方程f（x）=kx2有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.

解析2：方程的一個(gè)解為x=0.

作出函數(shù)圖像不難得到正確答案.通過(guò)取倒數(shù)，把分式函數(shù)化為整式函數(shù)，使復(fù)雜函數(shù)簡(jiǎn)單化，而且回避了漸近線，作圖就不易犯錯(cuò).

3.換元.

例3 討論方程ax3-3x2+1=0的解的情況.

a=0，a=±2時(shí)方程有兩解；a∈（-∞，-2）∪（2，+∞）時(shí)方程有一解；a∈（-2，0）∪（0，2）時(shí)方程有三解.

解析3：分析2雖然很直觀，但圖13還是很難畫出來(lái)的，

特別是漸近線，很容易忽略.那么能否避免呢？

函數(shù)中的漸近線問(wèn)題是學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)比較容易忽視的，本文針對(duì)此問(wèn)題列舉了幾類常見(jiàn)函數(shù)的漸近線和處理策略.