淺析圓錐曲線中的配方法、待定系數(shù)法、換元法解題技巧

☉江蘇省蘇州大學附屬中學 陸菊芳

解析幾何內(nèi)容是歷年來高考數(shù)學試題中能夠拉開成績差距的內(nèi)容之一，該部分試題往往有一定的難度和區(qū)分度，所以掌握好其中的解題方法會起到事倍功半的效果.

一、配方法、待定系數(shù)法、換元法簡介

配方法、待定系數(shù)法、換元法是三種常用的數(shù)學基本方法.這些方法是數(shù)學思想的具體體現(xiàn)，是解決問題的手段，它不僅有明確的內(nèi)涵，而且具有可操作性，有實施的步驟和作法.

二、例題解析

（1）配方法：配方法是對數(shù)學式子進行一種定向的變形技巧，由于這種配成“完全平方”的恒等變形，使問題的結(jié)構(gòu)發(fā)生了轉(zhuǎn)化，從中可找到已知與未知之間的聯(lián)系，促成問題的解決.

例1 已知如圖1所示，F(xiàn)1和F2為雙曲線的兩個焦點，點P在雙曲線上且滿足∠F1PF2=90°，則△F1PF2的面積是_________.

圖1

評注：配方法實現(xiàn)了“平方和”與“和的平方”的相互轉(zhuǎn)化.

（2）待定系數(shù)法：待定系數(shù)法的實質(zhì)是方程的思想，這個方法是將待定的未知數(shù)與已知數(shù)統(tǒng)一在方程關系中，從而通過解方程（或方程組）求得未知數(shù).

例2 設雙曲線的中心是坐標原點，準線平行于x軸，離心率為，已知點P（0，5）到該雙曲線上的點的最近距離是2，求雙曲線方程.

二次曲線的對稱軸為y=4，而函數(shù)的定義域為y≥a或y≤-a，因此，需對a≤4與a>4分類討論.

（1）當a≤4時，如圖2可知函數(shù)在y=4處取得最小值.

（2）當a>4時，如圖3可知函數(shù)在y=a處取得最小值.

評注：此題是利用待定系數(shù)法求解雙曲線方程的，其中利用配方法求解二次函數(shù)的最值問題，由于二次函數(shù)的定義域與參數(shù)a有關，因此需對字母a的取值分類討論，從而得到兩個解，同學們在解答學習題時應學會綜合運用數(shù)學思想方法解題.

（3）換元法：換元法是一種變量代換，它是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式，從而使問題得到簡化，換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化.

例3 如圖4，已知在矩形ABCD中，C（4，4），點A在曲線x2+y2=9（x>0，y>0）上移動，且AB，BC兩邊始終分別平行于x軸，y軸，求使矩形ABCD的面積最小時點A的坐標.

評注：換元前后新舊變量的取值范圍是不同的，這樣才能防止出現(xiàn)不必要的錯誤.

故對于高考，從命題所追求的目標來看，小題所涉及的內(nèi)容一定會注意到知識的覆蓋，兼顧到對能力的要求.所以最近幾年高考命題的熱點有：

（1）與其他知識進行綜合，在知識網(wǎng)絡的交匯處設計試題（如與向量綜合，與數(shù)列綜合，與函數(shù)、導數(shù)及不等式綜合等）；

（2）直線與圓錐曲線的位置關系，由于該部分內(nèi)容體現(xiàn)解析幾何的基本思想方法——用代數(shù)的手段研究幾何問題，因此該部分內(nèi)容一直是考試的熱點；

（3）求軌跡方程；

（4）應用題.

因此需要同學們總結(jié)和掌握解題方法和技巧，解題時手到擒來.