新課程理念下高考試題的整體感悟

☉湖北省武漢市黃陂區(qū)第四中學(xué) 李紅春

☉湖北省武漢市黃陂區(qū)第一中學(xué) 盧 瓊 （特級(jí)教師）

實(shí)行新課改后高考怎么考，這必然是目前學(xué)校、家庭、社會(huì)各方面共同關(guān)注的話題.筆者發(fā)現(xiàn)：近幾年湖北高考數(shù)學(xué)試卷在滲透新課程理念方面作出了大膽的嘗試，湖北的高考命題專(zhuān)家一直善于借鑒和吸收其他課改地區(qū)成功經(jīng)驗(yàn).因此，研究湖北省和其他課改地區(qū)近幾年高考試卷的整體特點(diǎn)，對(duì)把握2012年高考命題趨勢(shì)無(wú)疑有著十分重要的意義.本文就此作一些探討，權(quán)當(dāng)拋準(zhǔn)引玉，希望能對(duì)廣大教師的復(fù)習(xí)備考有所借鑒，不對(duì)之處敬請(qǐng)指正！

一、圖形試題直觀化

2011年全國(guó)各地高考試卷中出現(xiàn)了很多與圖形相關(guān)的試題，如：各種函數(shù)圖像、概率統(tǒng)計(jì)中的直方圖與莖葉圖、立體幾何中的三視圖與直觀圖、解析幾何中各類(lèi)圓錐曲線圖形、數(shù)列數(shù)表、程序框圖等等，這些圖、表元素的大量出現(xiàn)，既增添了試卷的美感，凸顯數(shù)學(xué)的文化氣息，滲透著數(shù)形結(jié)合的思想，更旨在考查學(xué)生的直覺(jué)思維能力和合情推理意識(shí).如江西理科第10題、湖北理科第15題等.

例1（湖北理）給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色.當(dāng)n≤4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如圖1所示：

圖1

由此推斷，當(dāng)n=6時(shí)，黑色正方形互不相鄰著色方案共有____種，至少有兩個(gè)黑色正方形相鄰著色方案共有種______（.結(jié)果用數(shù)值表示）

點(diǎn)評(píng)：本試題選材樸實(shí)，立意新穎，富有創(chuàng)新，其中包含著豐富的數(shù)學(xué)思想，表面上是一道普通的“著色問(wèn)題”，考查學(xué)生的排列組合知識(shí)，實(shí)質(zhì)它是通過(guò)創(chuàng)設(shè)一個(gè)斐波那契數(shù)列的情境，考查學(xué)生的“直覺(jué)思維能力”，即歸納猜想和合情推理意識(shí).以往的數(shù)學(xué)課程重視形式化的演繹推理方式，忽視了合情推理，在新的一輪高中數(shù)學(xué)課程改革中，我們要給合情推理應(yīng)有的關(guān)注.歸納推理作為合情推理的一種常用思維方法已經(jīng)進(jìn)入了高中教材，它是發(fā)現(xiàn)和獲取知識(shí)結(jié)論的重要方法，也是解決探究問(wèn)題的重要工具.

二、三角試題常規(guī)化

在《新課程標(biāo)準(zhǔn)》中，三角函數(shù)屬于主干知識(shí)，是歷年高考的基本要點(diǎn)之一.新課程將向量作為工具推導(dǎo)兩角差的余弦公式，又將三角恒等變換獨(dú)立成章，意在培養(yǎng)推理和運(yùn)算能力，避免三角問(wèn)題解決中過(guò)份的技巧性訓(xùn)練.2011年高考三角試題貫徹了新課程的上述要求，試題內(nèi)容基礎(chǔ)，形式平樸，難度較小，給人以中規(guī)中矩之感.如北京理科第15題、天津理科第15題、湖北理科第15題等.

（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；

點(diǎn)評(píng)：本題條件簡(jiǎn)單，設(shè)問(wèn)簡(jiǎn)潔，要求函數(shù)的最小正周期和閉區(qū)間上的最值，通常只需先將函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決，這是通性通法，學(xué)生入手容易，充分顯現(xiàn)出命題人“突出問(wèn)題本質(zhì)，不在細(xì)枝末節(jié)上為難學(xué)生，不在特殊技巧上讓學(xué)生捉迷藏”的數(shù)學(xué)教學(xué)觀.因此，我們?cè)趶?fù)習(xí)中要特別重視“通解通法”，讓學(xué)生形成思維，淡化“解題特技”，應(yīng)將主要精力放在基本方法的靈活運(yùn)用和提高學(xué)生的思維層次上，避免舍本求末.

三、向量試題綜合化

隨著課改的深入，高考試題逐步向教材新增內(nèi)容傾斜，比重逐步增加，難度逐漸加大.向量是近代數(shù)學(xué)最重要、最基本的概念之一，是溝通集合、代數(shù)、三角內(nèi)容的橋梁.由于它具備數(shù)和形兩個(gè)方面的特征，因此越來(lái)越廣泛地滲透到數(shù)學(xué)知識(shí)的各個(gè)方面，如：向量與三角函數(shù)、向量與解析幾何、向量與立體幾何、向量與數(shù)列等.在2011年高考試題中，向量與其他知識(shí)的融合更普遍，如福建理科第15題、湖北理科第8題等.

例3（福建理）設(shè)V是全體平面向量構(gòu)成的集合，若映射f：V→R，滿(mǎn)足：對(duì)任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意λ∈R，均有fλa+（1－λ）b=λf（a）+（1－λ）f（b），則稱(chēng)映射f具有性質(zhì)P.先給出如下映射：

①f1：V→R，f1（m）=x－y，m=（x，y）∈V；

②f2：V→R，f2（m）=x2+y，m=（x，y）∈V；

③f3：V→R，f3（m）=x+y+1，m=（x，y）∈V.

其中，具有性質(zhì)P的映射的序號(hào)為_(kāi)_______.（寫(xiě)出所有具有性質(zhì)P的映射的序號(hào)）

點(diǎn)評(píng)：本題是一道“即時(shí)定義”試題，通過(guò)將向量、集合與映射等知識(shí)的重新組合、拓廣，使之成為立意高、情境新、設(shè)問(wèn)巧、并賦予時(shí)代氣息的良好試題，具有很強(qiáng)的區(qū)分度.

四、立體幾何試題動(dòng)態(tài)化

作為中學(xué)數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的主體內(nèi)容之一，立體幾何無(wú)論是教學(xué)內(nèi)容的層次還是培養(yǎng)的能力目標(biāo)都發(fā)生了很大的改變，《新課程標(biāo)準(zhǔn)》更加強(qiáng)調(diào)空間想象能力的培養(yǎng)，強(qiáng)調(diào)空間觀念的建立和形成過(guò)程，強(qiáng)調(diào)通過(guò)“直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證”來(lái)認(rèn)識(shí)理解空間中的位置關(guān)系.新考綱對(duì)考生的空間想象能力的考查提出了“能夠想象幾何圖形的運(yùn)動(dòng)和變化情況”的更高要求.因此立體幾何題中滲透了一些“動(dòng)態(tài)”的點(diǎn)、線、面元素，給“靜態(tài)”的立體幾何賦予了新的活力，新的亮點(diǎn).2011年的立體幾何試題給人最深的印象可謂“動(dòng)感十足”，無(wú)論是從三視圖到直觀圖的轉(zhuǎn)化、圖形的翻折、展開(kāi)及平移，還是與立體幾何相關(guān)的函數(shù)最值問(wèn)題都紛紛出現(xiàn)，都讓人回味無(wú)窮.如浙江理科第20題、福建理科第20題、北京文科第17題、廣東文科第18題、江西文科第18題、陜西文科第16題等.

例4（廣東文）如圖2所示的幾何體是將高為2，底面半徑為1的直圓柱沿過(guò)軸的平面切開(kāi)后，將其中一半沿切面向右水平平移后得到的.A、A′、B、B′分別為弧CD、弧C′D′、弧DE、弧D′E′的中點(diǎn)，O1，O1，O2，O2分別為CD，C′D′，DE，D′E′的中點(diǎn).

（1）證明：O1，A′，O2，B四點(diǎn)共面；

（2）設(shè)G為AA′中點(diǎn)，延長(zhǎng)

A′O1到H′，使得O1H′=A′O1.證明：BO2⊥平面H′B′G.

點(diǎn)評(píng)：第一問(wèn)表面考查四點(diǎn)共面，其實(shí)考查線線平行問(wèn)題，第二問(wèn)證明線面垂直問(wèn)題.考查的著落點(diǎn)比較低.整道試題難度雖

不大，但將圖形的切割和平移這一動(dòng)態(tài)的過(guò)程滲透其中，讓試題充滿(mǎn)“靈動(dòng)”的色彩.

圖2

五、解析幾何試題探究化

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“教師應(yīng)該激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，幫助他們?cè)谧灾魈剿骱秃献鹘涣鞯倪^(guò)程中真正理解與掌握基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和技能、數(shù)學(xué)思想方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)”.新課程的重要理念就是要培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的意識(shí).探究問(wèn)題意識(shí)的培養(yǎng)，有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造思維，為學(xué)生終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，這也是課程改革、適應(yīng)素質(zhì)教育要求和時(shí)代發(fā)展所需要的.在這一理念的指引下，2011年的解析幾何試題，更加凸顯試題的探究性.如湖南理科第21題、浙江文科第22題、遼寧理科第20題、山東理科第22題等.

例5 （湖南理）如圖3，橢圓C1：的離心率為x軸被曲線C2：y=x2-b截得的線段長(zhǎng)等于C1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng).（Ⅰ）求C1、C2的方程；

圖3

（Ⅱ）設(shè)C2與y軸的交點(diǎn)為M，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于點(diǎn)A、B，直線MA、MB分別與C1相交與D、E.

（i）證明：MD⊥ME；

（ii） 記△MAB，△MDE的面積分別是S1，S2.，問(wèn)：是否存在直線l，使得？請(qǐng)說(shuō)明理由.

點(diǎn)評(píng)：本題將橢圓與拋物線有機(jī)組合融為一體，給人以全新的視覺(jué)沖擊，考查解析幾何的主要內(nèi)容，壓軸的一問(wèn)是很有區(qū)分度的探究性問(wèn)題.作為體現(xiàn)探究性的存在性問(wèn)題，一般先要對(duì)結(jié)論作肯定的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證，若導(dǎo)致合理的結(jié)論，則存在性也隨之解決；若導(dǎo)致矛盾，則可否定存在性.

六、概率統(tǒng)計(jì)試題生活化

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》將發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用價(jià)值作為課程的基本理念之一，明確指出高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提供基本內(nèi)容的實(shí)際背景，反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，開(kāi)展數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)活動(dòng)，設(shè)立體現(xiàn)數(shù)學(xué)某些應(yīng)用的專(zhuān)題課程.高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力.2011年高考概率統(tǒng)計(jì)試題多以實(shí)際生活為背景，如全國(guó)新課標(biāo)理科第19題、四川理科第18題、安徽文科第20題等.

例6（全國(guó)新課標(biāo)理）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱(chēng)為A配方和B配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：

（Ⅰ）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；

（Ⅱ）已知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為

A配方的頻數(shù)分布表

B配方的頻數(shù)分布表

從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤(rùn)記為x（單位：元），求x的分布列及數(shù)學(xué)期望.（以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率）

點(diǎn)評(píng)：命題者抓住“產(chǎn)品質(zhì)量”這一經(jīng)濟(jì)建設(shè)中的熱點(diǎn)話題，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)熱點(diǎn)問(wèn)題，拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的距離，讓學(xué)生真實(shí)的感受到數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性和實(shí)用性，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和人文精神.

七、導(dǎo)數(shù)不等式試題高等化

隨著考試改革的不斷深化，全國(guó)各地的高考試題不斷創(chuàng)新，這種創(chuàng)新一方面體現(xiàn)在更加重視對(duì)學(xué)生能力的考查，另一方面體現(xiàn)在更加注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用的考查.高考重要的使命是選拔人才，以高等數(shù)學(xué)內(nèi)容為背景的試題因?yàn)楸尘肮?，能有效考查學(xué)生后繼學(xué)習(xí)能力備受命題者的青睞.2011年高考試卷中出現(xiàn)了一些以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景的不等式試題，充當(dāng)了壓軸題的角色，留給我們極為深刻的印象，如全國(guó)新課標(biāo)理科第21題、湖北理科第21題等.

例7（湖北理）（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞）求函數(shù)f（x）的最大值；

（Ⅱ）設(shè)a1，b1（k=1,2…，n）均為正數(shù)，證明：

點(diǎn)評(píng)：這是一道涉及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合試題，能較好的考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力和化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.本題實(shí)際上以高等數(shù)學(xué)中的加權(quán)平均值不等式以及函數(shù)的凸凹性為命題背景.如今面對(duì)不斷改革創(chuàng)新的高考試題，作為教師理清高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)命題的結(jié)合點(diǎn)，把握高考動(dòng)向，領(lǐng)悟高考命題改革精神，不斷調(diào)整和優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，完善知識(shí)體系十分必要.

以上是筆者2011年對(duì)湖北省及其他課改地區(qū)高考試題的整體印象，限于篇幅，很多內(nèi)容未能完全展開(kāi)，此處權(quán)當(dāng)拋磚引玉.縱觀2011年全國(guó)各地高考試卷，我們深刻地體會(huì)到，它們?cè)诶^承傳統(tǒng)的同時(shí)，都在加大力度滲透新課程的理念，它們總體上在走一條依綱據(jù)本的道路，將基礎(chǔ)與能力有機(jī)結(jié)合，將繼承與創(chuàng)新融為一體，有效考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)潛能.在今后的教學(xué)過(guò)程中，廣大教師只有依據(jù)教學(xué)規(guī)律，落實(shí)課標(biāo)理念，才能真正提升復(fù)習(xí)備考的有效性！

1.楊瑞強(qiáng).清水出芙蓉，天然去雕飾［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2011，4.

2.王凱.新課標(biāo)下立體幾何變化的解讀［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2010，5.

3.教育部.高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

4.李紅春.洛必達(dá)法則下三道高考?jí)狠S試題的簡(jiǎn)解［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2012，1.