如何在解題中運(yùn)用分類(lèi)討論思想

☉江蘇省興化市唐劉學(xué)校 王長(zhǎng)平

如何在解題中運(yùn)用分類(lèi)討論思想

☉江蘇省興化市唐劉學(xué)校 王長(zhǎng)平

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)體現(xiàn)，是形成數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)意識(shí)的橋梁.因而在《課標(biāo)》中，數(shù)學(xué)思想被視為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的重要組成部分，而分類(lèi)討論思想是十分重要的數(shù)學(xué)思想.

分類(lèi)討論思想邏輯性強(qiáng)，它不僅用于數(shù)學(xué)解題，而且在其他領(lǐng)域也有廣泛的應(yīng)用.通過(guò)數(shù)學(xué)中的分類(lèi)解題，可以增強(qiáng)分類(lèi)的意識(shí)，拓寬解題的空間，培養(yǎng)全面解決問(wèn)題的能力.

近年來(lái)，在中考或數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，經(jīng)常出現(xiàn)多解問(wèn)題，不少學(xué)生往往不注意這一點(diǎn)，很容易導(dǎo)致漏解，使答案不完整.為了保證求得的答案正確、合理，應(yīng)正確應(yīng)用分類(lèi)思想指導(dǎo)解題.

一、根據(jù)定義確定多解

例1 解方程|2x+5|=3.

解：根據(jù)絕對(duì)值定義，將它分解為兩個(gè)方程來(lái)解：

①當(dāng)2x≥－5時(shí)，2x+5=3，所以x=－1；

②當(dāng)2x＜－5時(shí)，2x+5=－3，所以x=－4.

所以，原方程的解是：x1=－1，x2=－4.

二、根據(jù)圖形的特征確定多解

例2 △ABC中，已知AB=AC，且過(guò)△ABC某一頂點(diǎn)的直線可將△ABC分成兩個(gè)等腰三角形，試求△ABC各內(nèi)角的度數(shù).

分析：由對(duì)稱性知，可先分直線過(guò)A，B兩點(diǎn)的兩種情況，在這兩種情況下又需按腰分類(lèi)，也有兩種情況，故有四解.

解：（1）如圖1，過(guò)A作直線AD交BC于D，有AD=DB=DC，此時(shí)△ABC的各角為45°，45°，90°.

圖1

圖2

（2）如圖2，過(guò)A作直線AE交BC于E，有BE=AB，CE=AE，設(shè)∠C=∠B=∠CAE=x°，則∠BAE=∠BEA=2x°，由x+2x+x+x=180，得x=36，此時(shí)△ABC的各個(gè)內(nèi)角為36°，36°，108°.

（3）如圖3，過(guò)B點(diǎn)的直線BF交AC于F，BF=BC=FA，設(shè)∠A=∠ABF=x°，則∠C=∠CFB=2x°，∠CBF=x°，由x+2x+2x=180，得x=36，此時(shí)△ABC各內(nèi)角為36°，72°，72°.

圖3

圖4

三、根據(jù)對(duì)稱性確定多解

例3 以線段AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為O，C是半圓上的點(diǎn)，且OC2=AC·BC，求∠CAB.

解：（1）當(dāng)點(diǎn)C與A同在四分之一的圓上時(shí)，如圖5，過(guò)C作CD⊥AB于D.因?yàn)锳B為半圓的直徑，所以∠ACB=90°，所以AC·BC=AB·CD=2OC·CD.而OC2=AC·BC，所以2OC·CD=OC2，所以CD=OC，所以∠COD=30°.又因?yàn)椤鰾OC是等腰三角形，所以

圖5

圖6

四、根據(jù)位置關(guān)系確定多解

例4 ⊙O1和⊙O2相交于A，B兩點(diǎn)，公共弦AB與連心線O1O2交于G，若AB=48，⊙O1和⊙O2的半徑分別為30和40，求△AO1O2的面積.

（2）當(dāng)圓心在公共弦的同側(cè)時(shí)，如圖8.同法求得S△AO1G=216，S△AO2G=384，類(lèi)似于（1）求得S△AO1O2=S△AO2G－S△AO1G=384－216=168.

圖7

圖8

由上可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程中，我們要正確運(yùn)用分類(lèi)討論這一數(shù)學(xué)思想方法，同時(shí)也要挖掘其中的隱含條件，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用整體、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想，避免一些不必要的分類(lèi)討論.