巧用數(shù)形結(jié)合思想的解題探究

☉浙江省三門縣城關(guān)中學(xué) 牟雪珍

巧用數(shù)形結(jié)合思想的解題探究

☉浙江省三門縣城關(guān)中學(xué) 牟雪珍

數(shù)形結(jié)合思想在新課程背景下，有其廣闊的應(yīng)用空間.數(shù)與形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的研究對(duì)象，每一個(gè)形都蘊(yùn)涵著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)又常?？梢酝ㄟ^(guò)圖形做出直觀的描述和反映.“數(shù)無(wú)形少直觀，形無(wú)數(shù)難入微”，數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的幾何圖形有機(jī)地結(jié)合起來(lái).這主要包括兩方面的內(nèi)容：一是“以形助數(shù)”，即數(shù)量關(guān)系借助于圖形及其性質(zhì)使之直觀化、形象化，從而獲得解題方法；二是“用數(shù)解形”，即將幾何圖形的問(wèn)題經(jīng)過(guò)數(shù)量化描述，借助代數(shù)計(jì)算獲得解題方法.

數(shù)形結(jié)合 以形助數(shù) 用數(shù)解形

數(shù)形結(jié)合思想在新課程背景下，有其廣闊的應(yīng)用空間.“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的研究對(duì)象，每一個(gè)“形”中，即每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)含著一定的數(shù)量關(guān)系，而“數(shù)”中又常?？梢酝ㄟ^(guò)幾何圖形做出直觀的描述和反映.“數(shù)無(wú)形少直觀，形無(wú)數(shù)難入微”，數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的幾何圖形有機(jī)地結(jié)合起來(lái).就初中數(shù)學(xué)而言，數(shù)軸建立起實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使得一元代數(shù)式與一元方程、不等式有了直觀的幾何意義；平面直角坐標(biāo)系建立起有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面上的點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，使任何一個(gè)二元方程或不等式都與平面曲線或平面區(qū)域相對(duì)應(yīng)，函數(shù)及其圖像詮釋了這種對(duì)應(yīng)關(guān)系.另外線段的長(zhǎng)度、平面圖形的面積、角的大小以三角函數(shù)度量等又從另一角度勾勒了數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合.在數(shù)與形轉(zhuǎn)換的理論基礎(chǔ)上自然地產(chǎn)生了數(shù)形結(jié)合的解題策略：一是“以形助數(shù)”，即數(shù)量關(guān)系借助于圖形及其性質(zhì)使之直觀化、形象化，從而獲得解題方法；二是“用數(shù)解形”，即將幾何圖形的問(wèn)題經(jīng)過(guò)數(shù)量化描述，借助代數(shù)計(jì)算獲得解題方法.

一、以形助數(shù)

“以形助數(shù)”，即將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何圖形問(wèn)題，由圖形性質(zhì)的啟示抓住問(wèn)題的本質(zhì)，以達(dá)到解決問(wèn)題的目的，從而提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

1.利用數(shù)軸將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何圖形問(wèn)題

例1 解不等式|x－3|－|x+5|＞2.

分析：題中抽象的數(shù)字－5，3用數(shù)軸上的點(diǎn)A，B來(lái)表示，|x－3|、|x+5|分別表示點(diǎn)X到點(diǎn)B、A的距離.設(shè)有一點(diǎn)X1，使X1B－X1A=2，由圖1可知X1表示數(shù)－2，而|x－3|－|x+5|＞2表示X1B－X1A＞2，則X在X1左側(cè)，所以原不等式的解集為x＜－2.

此類題利用絕對(duì)值在數(shù)軸上的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想，省去了分段討論的過(guò)程，達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁的目的.

2.利用函數(shù)圖像將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題

利用函數(shù)圖像求解方程及不等式，我們首先應(yīng)該掌握函數(shù)圖像（如y=kx，y=k/x，y=kx+b，y=ax2+bx+c）的幾何意義，具體到k，b的幾何意義.

例2 若方程x2+（m+2）x+3=0的兩根均比1大，求m的取值范圍.

圖2

此類題是方程實(shí)根分布的圖像解法，利用與已知方程相應(yīng)的函數(shù)圖像來(lái)確定實(shí)根的分布.用數(shù)形結(jié)合的方法溝通了方程、不等式、函數(shù)和函數(shù)圖像之間的聯(lián)系，融知識(shí)、思想、方法為一體，有利于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.

3.利用圖形的邊長(zhǎng)、面積等將代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成幾何問(wèn)題

利用圖形的面積相等關(guān)系，滲透數(shù)形結(jié)合思想，進(jìn)一步驗(yàn)證數(shù)學(xué)公式.讓學(xué)生體會(huì)代數(shù)和幾何的內(nèi)在聯(lián)系，學(xué)會(huì)從不同的角度分析問(wèn)題，培養(yǎng)發(fā)散思維.

分析：此題直接證明很困難，考慮到左邊是兩個(gè)因式乘積之和的形式，而兩因式乘積通常與幾何中面積的度量有關(guān)，因此考慮構(gòu)造幾何圖形來(lái)解決.

圖3

此題是構(gòu)造等邊三角形來(lái)證不等式問(wèn)題.等邊三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、直角三角形等一些特殊圖形，有著特殊的性質(zhì)，邊和角之間具有一定的量化關(guān)系.解題時(shí)往往構(gòu)造這些圖形來(lái)解代數(shù)問(wèn)題，使問(wèn)題變得直觀、形象.

階梯法是一種結(jié)構(gòu)訪談法，有硬階梯法與軟階梯法兩種形式。本文采用硬階梯法，即通過(guò)編輯結(jié)構(gòu)式問(wèn)卷，通過(guò)特定的指令，讓受訪者選擇產(chǎn)品屬性再選擇這些屬性所能帶來(lái)的結(jié)果，并進(jìn)一步獲得被訪問(wèn)者使用產(chǎn)品的最終目的，即個(gè)人價(jià)值觀，形成“由下而上”的階梯。

二、用數(shù)解形

“用數(shù)解形”，即通過(guò)“形”的外表，揭示其內(nèi)在的數(shù)量特征，探討“數(shù)”與“形”的本質(zhì)聯(lián)系和規(guī)律，將幾何圖形問(wèn)題經(jīng)過(guò)數(shù)量化描述，借助于代數(shù)變形獲得解題方法.

1.利用坐標(biāo)解決平面幾何問(wèn)題

此類問(wèn)題要充分利用直角坐標(biāo)系這個(gè)數(shù)形結(jié)合的重要載體，它使平面幾何的點(diǎn)與坐標(biāo)系中的一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.使平面圖形中的點(diǎn)加以量化，準(zhǔn)確地反映出來(lái).

例4 如圖4，E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且AE=DE，∠DAE=∠ADE=15°.

求證：△CBE是等邊三角形.

證明：以B為原點(diǎn)，BC、BA所在直線為x軸、y軸，建立直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，可知△EBC各頂點(diǎn)坐標(biāo)為：

圖4

由兩點(diǎn)間距離可求得EB=EC=a，所以△CBE是等邊三角形.

此題利用直角坐標(biāo)系，把圖形中的點(diǎn)用準(zhǔn)確的坐標(biāo)來(lái)表示.

2.利用方程（組）解決平面幾何問(wèn)題

例5 如圖5，在△ABC中，D為AB上點(diǎn)，DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，設(shè)S△ABC=S，S△BDE=S′，求證：S≥4S′.

證明：設(shè)DE=x，BC=a，作EF∥AB交BC于F，則BF=x.

圖5

又因?yàn)閤為實(shí)數(shù)，所以Δ=4a2S2－16a2SS′≥0，即S≥4S′.

構(gòu)造二次方程后，可利用違達(dá)定理和判別式等進(jìn)行解題.許多平面幾何問(wèn)題可以通過(guò)設(shè)元轉(zhuǎn)化成方程問(wèn)題，比如直角三角形中，根據(jù)勾股定理和等積法列出方程.近幾年的中考試題中，矩形的翻折問(wèn)題已成為一個(gè)熱點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上翻折問(wèn)題是一個(gè)軸對(duì)稱問(wèn)題，根據(jù)翻折前后的對(duì)應(yīng)線段和對(duì)應(yīng)角相等，利用方程模式去解決.還可以利用相似圖形的相似比和面積比等列方程，動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題中的邊長(zhǎng)經(jīng)常用未知數(shù)來(lái)表示，根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系利用方程或函數(shù)建模來(lái)求解.

3.利用函數(shù)解決平面幾何問(wèn)題

例6 △ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，P沿AC運(yùn)動(dòng)，Q沿AB，BC運(yùn)動(dòng)，結(jié)果兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)到達(dá)點(diǎn)C，求點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△APQ的面積的最大值.

圖6

此題是用代數(shù)方法解平面幾何問(wèn)題，把面積的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問(wèn)題，通過(guò)具體的數(shù)量關(guān)系確定點(diǎn)在圖形中的位置，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

“數(shù)”與“形”兩者間是互為條件、互相滲透、互相促進(jìn)的相輔相成的關(guān)系，分開是為了對(duì)某一方面的本質(zhì)更深入的研究，結(jié)合是對(duì)兩者更全面的認(rèn)識(shí).著名科學(xué)家拉格朗日曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“只要代數(shù)同幾何分道揚(yáng)鑣，它們的進(jìn)展就緩慢，它們的應(yīng)用就狹窄，但是當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合為伴侶時(shí)，它們就互相吸取新鮮的活力，從那以后，就從快速的步伐走向完善.”

1.吳寶瑩.數(shù)無(wú)形少直觀，形無(wú)數(shù)難入微.趙小云，主編.數(shù)學(xué)教學(xué)論文集.

2.盧建狀.證明不等式的數(shù)學(xué)模型方法.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，1995.

3.程時(shí)平.拋物線的位置關(guān)系符號(hào)相關(guān)的中考試題淺析.數(shù)學(xué)教師，1998（3）.

4.葛金良.淺談構(gòu)圖法在三角函數(shù)中的應(yīng)用.中學(xué)教研，1995（11）.