數(shù)學(xué)猜想在初中幾何解題中的應(yīng)用初探

☉廣東省惠州市惠陽高級(jí)中學(xué)初中部 陳小明

猜想是人們根據(jù)事實(shí)的某些現(xiàn)象對(duì)它的本質(zhì)屬性、服從規(guī)律、發(fā)展趨勢(shì)或可能結(jié)果作出的一種預(yù)測(cè)性判斷.猜想與數(shù)學(xué)有著密切的關(guān)系，根據(jù)某些已知的事實(shí)材料和數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)未知的現(xiàn)象及其規(guī)律所作出的一種預(yù)測(cè)性的推斷即是數(shù)學(xué)猜想.數(shù)學(xué)猜想是數(shù)學(xué)研究的一種科學(xué)思維形式，是解決數(shù)學(xué)理論自身矛盾疑難問題的一個(gè)有效途徑，它對(duì)豐富數(shù)學(xué)理論，推動(dòng)數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展，促進(jìn)數(shù)學(xué)方法論的研究具有重要意義.數(shù)學(xué)研究是一種探索性思維活動(dòng)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)當(dāng)然也離不開探索性思維，而探索性思維中最關(guān)鍵的環(huán)節(jié)是提出一個(gè)有希望的合理的猜想.數(shù)學(xué)猜想作為數(shù)學(xué)研究和發(fā)展的一種重要思維方式，它又是科學(xué)假說在數(shù)學(xué)中的具體表現(xiàn)，并深刻反映了數(shù)學(xué)研究和發(fā)展的相對(duì)獨(dú)立性與數(shù)學(xué)理論的相互導(dǎo)出的合理性.數(shù)學(xué)猜想在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用很廣泛，在解題時(shí)有時(shí)憑我們的直覺思維是很難解決的，這時(shí)我們從猜想的角度去解決有時(shí)會(huì)覺得很容易；尤其在考試中，在時(shí)間有限的情況下，利用數(shù)學(xué)猜想往往可以讓問題很快得到解決.考試作為檢查教學(xué)質(zhì)量、學(xué)生成績和升學(xué)的最主要手段，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)猜想解題，顯得尤為重要.下面從數(shù)學(xué)猜想的直覺性、不確定性、延續(xù)性、多樣性這四個(gè)特點(diǎn)初探它在初中幾何解題中的應(yīng)用.

一、數(shù)學(xué)猜想的直覺性

數(shù)學(xué)猜想的直覺性就是從數(shù)學(xué)題目的已知條件直接猜想結(jié)論成立.

例1 如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線與∠ABC的平分線交于E，延長AE交△ABC的外接圓于D，連接BD、CD、CE，且∠BDA=60°、∠BDC=120°，猜想四邊形BDCE是怎樣的四邊形，并證明你的猜想.

此題學(xué)生經(jīng)過很久的討論最后猜想是菱形.

證明：因?yàn)椤螧DA=60°，∠BDC=120°，所以弧BAC的度數(shù)為240°，弧BDC的度數(shù)為120°，∠BEC=120°，又因?yàn)锳E平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=30°，所以弧BD=弧CD的度數(shù)為60°，所以∠BAD=∠CAD=∠DBC=30°，BD=DC.所以∠DBA=90°，所以∠CBE=∠ABE=30°.所以∠DBE=60°.同理：∠DCE=60°.所以四邊形BDCE為平行四邊形.又因?yàn)锽D=DC，所以四邊形BDCE為菱形.

從上面這道題可以看出猜想的直覺性是憑直覺獲得感性認(rèn)識(shí)，它常以觀察、聯(lián)想、引入等思維方法為基礎(chǔ)，根據(jù)已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法，對(duì)數(shù)學(xué)問題廣泛聯(lián)想，積極探索，大膽猜想，尋找規(guī)律，合理論證，是創(chuàng)造性思維活動(dòng)的主要途徑.

二、數(shù)學(xué)猜想的不確定性

數(shù)學(xué)猜想的不確定性是指猜想的途徑、結(jié)果等方面的不確定.有時(shí)一道題從表面去猜想幾種答案都有可能，但正確答案又只有一種，這就增加了猜想的難度.看下面例子.

例2 想一想：圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和有什么關(guān)系？說明你的結(jié)論的正確性.

此題剛提出時(shí)，要求同學(xué)們自己畫圖，這時(shí)有些學(xué)生畫出的四邊形是正方形、梯形、任意四邊形.答案也出現(xiàn)三種情況：（1）AB+CD>AD+BC.（2）AB+CD

這時(shí)提示學(xué)生不要畫特殊圖形，畫圓的外切四邊形為任意四邊形，要求學(xué)生證明他們的三種結(jié)論，結(jié)果是得出答案（3）的學(xué)生能證明自己的結(jié)論正確.

已知：如圖2，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA和圓分別相切于點(diǎn)L、M、N、P.求證：AB+CD=AD+BC.

證 明 ：AB、BC、CD、DA 都 與 圓 相

切，L、M、N、P是切點(diǎn)，AL=AP、LB=MB、DN=DP、NC=MC.AL+LB+DN+NC=AP+MB+DP+MC=AP+DP+MB+MC，即AB+CD=AD+BC，圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等.

圖2

猜想的不確定性有時(shí)會(huì)把我們引入誤區(qū)，這時(shí)我們只要一步步地去嘗試了，沒有更好的辦法，然后通過論證去推翻我們一開始的猜想，直到其中有一種猜想是正確的為止.

三、數(shù)學(xué)猜想的延續(xù)性

數(shù)學(xué)猜想的延續(xù)性，也就是在第一次猜想的基礎(chǔ)上，再繼續(xù)猜想下去直到猜想的結(jié)論成立.

例3 如圖3，已知四邊形ABCD外接圓的半徑為2，對(duì)角線求四邊形ABCD的面積.

圖3

此題難度較大，需要幾次猜想延續(xù)下去 才能計(jì)算出來.開始有同學(xué)猜想是平行四邊形、正方形.但都證明不出來.這時(shí)提示：猜想一：把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為求三角形的面積. 猜想二：S四邊形ABCD=2S△ABD，猜想三：連接OA，OA⊥BD于H.猜想四：△ABE∽△ACB

四、數(shù)學(xué)猜想的多樣性

數(shù)學(xué)猜想的多樣性是指猜想的途徑和結(jié)果具備多樣性.一道題的猜想，學(xué)生有時(shí)猜出多種多樣的猜想結(jié)果，但不管是怎樣的結(jié)果答案只有一個(gè).

例4 如圖4，BC為半圓O的直徑，A是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且AD⊥BC于D，P是弧AC上的一點(diǎn)，弧PA的長等于弧AB的長，連接PB交AD、AC于E、F.

（1）求證：∠EAB=∠ABE.

（2） 當(dāng)A在什么位置時(shí)，△AEF是等邊三角形？證明你的結(jié)論.

證明：（1）因?yàn)椤螧AE+∠ABD=90°，所以∠C+∠ABD=90°.所以∠BAE=∠C.又弧PA的長等于弧AB的長，所以∠C=∠ABE.

所以∠BAE=∠ABE.

（2）當(dāng)A在半圓的三等分點(diǎn)時(shí)，△AEF是等邊三角形.

圖4

因?yàn)椤螪AC+∠C=90°，∠AFE+∠ABE=90°，由 （1）得∠ABE=∠C，所以∠AFE=∠DAC.

所以EA=EF 因?yàn)辄c(diǎn)A三等分半圓，所以∠ACB=30°，所以∠BAC=60°，所以△AEF是等邊三角形.

此題實(shí)際上有很多種猜想，比如當(dāng)AB=1/2BC時(shí)，AO的連線垂直平分線段EF，還有一部分學(xué)生利用逆推的方法假設(shè)它是一個(gè)等邊三角形然后再證明.

從以上幾個(gè)方面可以看到，用數(shù)學(xué)猜想解題切合學(xué)生實(shí)際，符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，注重知識(shí)形成過程，注重學(xué)生思維的發(fā)展，注重學(xué)生能力的培養(yǎng).它改變了單純的直接的解題模式，實(shí)現(xiàn)了以激勵(lì)學(xué)生為特征的解題模式，符合新課標(biāo)下快速解題的要求.

猜想是人類認(rèn)識(shí)中最活躍、最主動(dòng)、最積極的因素之一，是人類理性中最富于創(chuàng)造性的部分.著名科學(xué)家牛頓有句名言：“沒有大膽的猜想，就不可能有偉大的發(fā)明和發(fā)現(xiàn).”在數(shù)學(xué)發(fā)展史中曾有過很多著名的猜想，如哥德巴赫猜想、費(fèi)馬猜想、歐拉猜想等，這些猜想具有劃時(shí)代的意義.在初中數(shù)學(xué)解題中，只要善于運(yùn)用數(shù)學(xué)猜想，便能更好地激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)思維能力，開發(fā)智力，從而更好地解決新問題.