函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的解題功效

☉湖北省孝感高中 李志紅

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ都是常數(shù)，且A＞0，ω＞0）是一種重要的三角函數(shù)模型，掌握好它的有關(guān)知識(shí)，可以深化對(duì)三角函數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解.本文從如下幾個(gè)方面對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（其中A，ω，φ都是常數(shù)，且A＞0，ω＞0）的應(yīng)用作一些探討.

一、利用y=Asin（ωx+φ）求函數(shù)的周期、最值

（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期.

點(diǎn)評(píng)：解此類問題的關(guān)鍵是將所給函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）型，函數(shù)的周期由ω確定，最值由A及ωx+φ的范圍確定.求單調(diào)區(qū)間時(shí)，則將ωx+φ視為整體，結(jié)合y=sinx的圖像和性質(zhì)求解.

二、利用y=Asin（ωx+φ）考查函數(shù)圖像變換

（1）求A；

點(diǎn)評(píng)：從函數(shù)y=f（x）到函數(shù)y=Af（ωx+φ）+m，其間經(jīng)過4種變換：縱向平移：m變換；縱向伸縮：A變換；橫向平移：φ變換；橫向伸縮：ω變換.一般說來，這4種變換誰先誰后都沒關(guān)系，都能達(dá)到目標(biāo)，只是在不同的變換順序中，“變換量”不盡相同，解題的“風(fēng)險(xiǎn)性”也不一樣.

三、由f（x）=Asin（ωx+φ）的圖像確定解析式

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）已知在函數(shù)f（x）的圖像上的三點(diǎn)M，N，P的橫坐標(biāo)分別為－1，1，5，求sin∠MNP的值.

解析：（1）由圖2可知A=1，最小正周期T=4×2=8.π

所以M（-1，0），N（1，1），P（5，-1）.

點(diǎn)評(píng)：（1）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的一段圖像，求此函數(shù)的表達(dá)式，其表達(dá)式往往不唯一，要根據(jù)具體問題具體分析.這類問題中，A比較容易求，困難的是求ω和φ，一般地，由圖像定周期，由周期求出ω；確定φ時(shí)，通常從圖像上看清五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在什么地方，應(yīng)該是五點(diǎn)作圖法中的第幾個(gè)點(diǎn)，通過ωx+φ即可求出φ.

（2）A，ω決定“形變”，φ決定“位變”；A影響值域；A，ω，φ影響單調(diào)性.