高考試題——優(yōu)質(zhì)的教學(xué)資源

☉浙江省天臺(tái)育英中學(xué) 潘日升

高考試題是命題組（一般由10多位高中名師和大學(xué)老師、命題專家組成）集體智慧的結(jié)晶，是經(jīng)過高考檢驗(yàn)的優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教學(xué)題材.

2008年重慶理科數(shù)學(xué)試卷（理）第21題是一道漂亮的試題，筆者曾經(jīng)把它與“問題探究教學(xué)法”進(jìn)行結(jié)合，設(shè)計(jì)了一堂“高考試題分析課”，現(xiàn)在把它整理出來供同行參考.

課前準(zhǔn)備：提前一天把2008年重慶高考數(shù)學(xué)試卷（理）第22題印發(fā)給學(xué)生，要求學(xué)生課前想一想、做一做.

（Ⅱ）記bn=a1a2…an（n∈N*），若bn≥對(duì)n≥2恒成立，求a2的值及數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式.

一、新課導(dǎo)入——“對(duì)數(shù)化”的概念

問題1：同學(xué)們還能準(zhǔn)確回答“指數(shù)式子”和“對(duì)數(shù)式子”的概念嗎？它們是什么關(guān)系？除了一般的應(yīng)用外誰還能說說有什么特別的應(yīng)用？

指導(dǎo)性答案：我們知道指數(shù)式ax=b（a＞0，a≠1）與對(duì)數(shù)式logab=x（a＞0，a≠1）是互相等價(jià)的，它們對(duì)a，b，x這三個(gè)數(shù)來說是同一關(guān)系的.

logaMN=logaM+logaN是對(duì)數(shù)中一個(gè)重要的公式，它具有把“積”的形式轉(zhuǎn)變?yōu)椤昂汀钡男问降墓δ埽虼?，解題時(shí)除了一般計(jì)算應(yīng)用外，還要重視它是數(shù)學(xué)“轉(zhuǎn)變”的重要工具.

問題2：大家想一想，在數(shù)列中經(jīng)常有這樣一個(gè)“轉(zhuǎn)變”，你能說出來嗎？

指導(dǎo)性答案：在數(shù)列這一章中，我們也學(xué)習(xí)過一個(gè)重要的結(jié)論：若正數(shù)等比數(shù)列{an}，令bn=logcan（c＞0，且c≠1），則數(shù)列{bn}就是等差數(shù)列.因?yàn)?，“等差?shù)列”總感覺到要比“等比數(shù)列”來得簡(jiǎn)單一點(diǎn)，所以，化“等比數(shù)列”為“等差數(shù)列”是我們常用的思想，是簡(jiǎn)化運(yùn)算的一個(gè)好辦法.

問題3：結(jié)合大家已經(jīng)做過重慶理科第22題，猜一猜，我們這一節(jié)課的主題應(yīng)該是什么？

指導(dǎo)性答案：引入課題，我們把上述的方法稱為對(duì)“積（冪）的形式”進(jìn)行“對(duì)數(shù)化”處理方法，即：對(duì)于n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an，要計(jì)算M=a1a2…an的積結(jié)果，有的時(shí)候很麻煩也很難，此時(shí)，我們就可以考慮把它兩邊取對(duì)數(shù)，變成了logbM=logba1+logba2+…+logban，這樣就把一個(gè)積的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為和的運(yùn)算，可能會(huì)使運(yùn)算更簡(jiǎn)單一點(diǎn).

二、切題

指導(dǎo)性答案：“歸納、猜想、證明”的方法.這一小題應(yīng)該是基礎(chǔ)的、送分的題.

指導(dǎo)性答案：應(yīng)該從條件“記bn=a1a2……an（n∈N*），若bn≥對(duì)n≥2恒成立”去求得.而且，題意也明確要求a2的大小，一旦a2求得，從理論上來說an就可以求得，那么bn自然可以求得了.

問題6：大家對(duì)解決第（Ⅱ）小題都是有困難嗎？你再看看、再體會(huì)條件“記bn=a1a2…an（n∈N*），若bn≥對(duì)n≥2恒成立”中關(guān)鍵字是什么？最困難的是什么？

指導(dǎo)性答案：關(guān)鍵字是“bn≥2對(duì)n≥2恒成立”中“恒成立”，即永遠(yuǎn)成立，這個(gè)可要理解到位.

最困難是由于bn=a1a2…an（n∈N*），bn是關(guān)于a1，…，an的積的形式，這樣，很難把bn與條件“bn≥對(duì)n≥2恒成立”聯(lián)系起來.

問題7：想想我們應(yīng)該怎么辦？

指導(dǎo)性答案：這里就步入我們這一節(jié)課的主題了.考慮到把bn進(jìn)行對(duì)數(shù)化處理，令xn=log2an，記Sn表示xn的前n項(xiàng)的和，則bn=2Sn，條件“bn≥2對(duì)n≥2恒成立”轉(zhuǎn)化為“S對(duì)n≥2恒成立”；條件“a

問題8：我們?yōu)槭裁慈∫?為底的對(duì)數(shù)？現(xiàn)在的條件明朗了，后面怎么辦？

指導(dǎo)性答案：由于不等式“bn≥2”中右邊的冪是以2為底.

此時(shí)，如果把a(bǔ)2即x2=log2a2看成已知的一個(gè)數(shù)，那么條件就很明朗了.

問題9：后面就是如何突破這個(gè)“恒成立”的條件了，也是涉及到不等式等綜合知識(shí)了，我們一起來想想辦法.

問題10：總算解決完整了！你有什么體會(huì)？，

指導(dǎo)性答案：作為壓軸題，總是有一定難度的，涉及到方方面面知識(shí)，也不是一般的同學(xué)能達(dá)到的，需要堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和較強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力.對(duì)“積（冪）的形式”進(jìn)行“對(duì)數(shù)化”處理方法在平時(shí)雖有應(yīng)用，卻不深刻，想不到高考中還是大有用武之地.

三、總結(jié)與鞏固

問題11：請(qǐng)大家舉一個(gè)例子：解題時(shí)含有對(duì)“積（冪）的形式”進(jìn)行“對(duì)數(shù)化”處理方法.

指導(dǎo)性答案：在遞推條件下求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法中有一種方法就是“對(duì)數(shù)變換法”.

例已知數(shù)列{an}各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足：a1=2，an+1=2an2（n∈N*），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：由an+1=2an2（n∈N*）得，lgan+1=lg2+2lgan，把lgan看成項(xiàng)，則數(shù)列{lgan}就是“an+1=Aan+D”型數(shù)列，所以有l(wèi)gan+1+lg2=2（lgan+lg2），因此，有l(wèi)gan+lg2=2n-1（lgan+lg2）=2nlg2，即an=2（2n-1）.

評(píng)注：對(duì)于遞推公式形如an+1=pan2（其中p＞0且a1＞0）或an+1-an=f（n）（其中f（n）＞0且a1＞0）的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，通?？梢钥紤]將其兩邊取對(duì)數(shù)式，得到lgan+1=lgp+mlgan或lgan+1=-lgan+lgf（n），則數(shù)列{lgan}符合“an+1=Aan+D”型數(shù)列形式，從而求解.

問題12：為了鞏固今天學(xué)習(xí)的效果，老師提供了下面一道高考試題，請(qǐng)大家在課外用今天所學(xué)習(xí)的方法來解決第1、2兩個(gè)問題.

（2012年浙江理第22題）已知a＞0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax3-2bxa+b.

（Ⅱ）若-1≤f（x）≤1對(duì)x∈0，［］1恒成立，求a+b的取值范圍.

答案：-1≤a+b≤3.結(jié)束本課程.

根據(jù)筆者的經(jīng)驗(yàn)，在高三各輪的教學(xué)復(fù)習(xí)中，經(jīng)常性地對(duì)高考試題從各個(gè)角度深入研究，能使考生熟悉和掌握近年高考試題的命題風(fēng)格、命題熱點(diǎn)、命題形式，有利于考生適應(yīng)高考情景，提高高考復(fù)習(xí)的針對(duì)性.