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    運(yùn)用特殊化與一般化探究一道高考題

    2012-08-27 02:42:32江蘇省東臺市安豐中學(xué)金小進(jìn)
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2012年17期
    關(guān)鍵詞:極線特殊化射線

    ☉江蘇省東臺市安豐中學(xué) 金小進(jìn)

    一、探究的起因

    (1)略.

    (2)若|OG|2=|OD|·|OE|,①求證:直線l過定點;②略.

    簡析:不難計算,不論斜率k為何值,直線l恒過定點(-1,0),現(xiàn)改變直線x=-3或橢圓方程,直線l是否還過定點?如果是,所過定點與直線x=-3和橢圓方程有何關(guān)聯(lián)?帶著這個疑問,我們進(jìn)行以下探索.

    二、特殊化歸納

    題中要求直線l的斜率k>0,事實上,如果把該條件放寬,考慮特殊情況:直線l垂直于x軸.這即定點,正好也符合原題的結(jié)論.如果橢圓方程為=1,直線方程為x=m,那么D(m,0),G(a,0),E),又考慮到直線方程x=m與點E)的內(nèi)在聯(lián)系,于是把直線方程處理為,則其對應(yīng)點E(m,0),這樣就對應(yīng)著橢圓a=1的“類準(zhǔn)線”與“類焦點”的問題,于是我們大膽猜想:

    三、一般化探索

    證明:設(shè)E(p,q),

    ①充分性:因直線l過F(m,n),

    故q=n.

    ②必要性:由|OG|2=|OD|·|OE|,

    故q=±n.

    因OE為 射線,所以yE與yD的符號相同.

    q與n同號,q=n,所以直線l過F(m,n).

    另設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

    ①充分性:因直線l過點F(m,n),

    又因E、G、D三點共線,所以|OD|·|OE|=|OG|2.

    由OE為射線可知xD與xE同號,

    故直線l過極點F.

    至此,運(yùn)用特殊化的手段,發(fā)現(xiàn)了高考題的背景:類準(zhǔn)線與類焦點;通過一般化的手段得到更深層次的背景:極線與極點.進(jìn)一步地,還可以推廣到雙曲線與拋物線中去.

    結(jié)論4 拋物線C:y2=2px,極點F(m,n)對應(yīng)著極線:nyp(x+m)=0,不過原點的直線l交拋物線C與A、B兩點,弦AB的中點為E,射線OE交拋物線C于G點,交極線ny-p(x+m)=0于D點,則|OG|2=|OD|·|OE|的充要條件是直線l過極點F.

    四、再特殊化分析

    結(jié)論7 拋物線C:y2=2px,其極點F(m,n)對應(yīng)著的極線l1:ny-p(x+m)=0,不過原點的直線l交拋物線C與A、B兩點,弦AB的中點為極點F,射線OF交拋物線C于G點,點G處的切線為l2,則l∥l1∥l2.

    我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授曾說,復(fù)雜的問題要善于“退”,足夠地“退”,“退”到最原始而又不失重要性的地方,是學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)的一個訣竅.運(yùn)用特殊化找出結(jié)論成立的簡單情形正是華先生所講的“退”,由此獲得的啟示又將為探究問題的一般性提供某種對比,從而就有可能運(yùn)用一般化的手段發(fā)現(xiàn)問題的背景,揭示問題的本質(zhì).

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