淺談高考中的二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式

☉江蘇省海安高級(jí)中學(xué) 季林波

二項(xiàng)式定理在各省市歷年高考命題中基本上都有一道選擇或填空題，解題的關(guān)鍵是掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式.現(xiàn)對(duì)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式進(jìn)行歸納，希望能夠起到拋磚引玉的作用，以便于大家能熟練應(yīng)用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解題.

一、求二項(xiàng)展開(kāi)式中特定的項(xiàng)（或系數(shù)）

分析：本題主要運(yùn)用待定系數(shù)法求二項(xiàng)式中的指定項(xiàng)，然后根據(jù)所得的項(xiàng)得到對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，即先設(shè)第r+1項(xiàng)為所求項(xiàng)，然后根據(jù)通項(xiàng)公式表示出該項(xiàng)，再利用條件求出r，進(jìn)而找出該項(xiàng)（或該項(xiàng)的系數(shù)）.

小結(jié)：縱觀(guān)近幾年高考試題，對(duì)于二項(xiàng)展開(kāi)式問(wèn)題的考查，題型難度不大，要得到這部分分值，首先需要熟練掌握二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，其次需要強(qiáng)化差生的計(jì)算能力.

練習(xí)：（2012年高考四川文）（1+x）7的展開(kāi)式中x2的系數(shù)是（ ）.

A.21 B.28 C.35 D.42

二、利用“賦值法”求部分項(xiàng)系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)和

分析：在求展開(kāi)式中的各系數(shù)之和及組合數(shù)之和問(wèn)題時(shí)，一種非常有效的方法就是取特殊值，所以由二項(xiàng)展開(kāi)式求某些二項(xiàng)式系數(shù)的和時(shí)，要注意觀(guān)察二項(xiàng)式中的變量取哪個(gè)（或哪些特殊值），方可得到所需二項(xiàng)式系數(shù)的和.

小結(jié)：賦值法是解決二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和的有效方法，通過(guò)對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)式中的字母或代數(shù)式賦予允許值，以達(dá)到解題目的.

練習(xí)：（2012年高考上海春）若（2x-1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，則a0+a1+a2+a3+a4+a5=_______.

答案：1

解析：本題較為簡(jiǎn)單，我們可以采用“賦值法”，令已知式子中的自變量x的值為1，即可得到答案為1.

三、求二項(xiàng)式中的參數(shù)的值（或范圍）

例3 （2012年高考陜西理）（a+x）5的展開(kāi)式中x2的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_________.

分析：本題是已知二項(xiàng)式中某一項(xiàng)的系數(shù)，求解式子中的參數(shù)a，解答本題首先要寫(xiě)出通項(xiàng)公式，然后根據(jù)通項(xiàng)公式找出x2項(xiàng)的系數(shù)等于數(shù)字10，繼而可以解出參數(shù)的值.

解析：（a+x）5的展開(kāi)式中第k+1項(xiàng)為T(mén)k+1=Ck5a5-kxk，令k=2，x2的系數(shù)為C25a3=10，解得a=1.

小結(jié)：已知二項(xiàng)式定理展開(kāi)式中的某一項(xiàng)或指定項(xiàng)的系數(shù)，然后求解二項(xiàng)式中的某一個(gè)參數(shù)的問(wèn)題，實(shí)際上就是對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式的考查，此類(lèi)問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn).

四、求兩個(gè)（或多個(gè)）二項(xiàng)式的積的展開(kāi)式特定項(xiàng)（或系數(shù)）

例4（2012年高考浙江理）若將函數(shù)f（x）=x5表示為：f（x）=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，其中a0，a1，a2，…，a5為實(shí)數(shù)，則a3=_________.

分析：本題可以采用二項(xiàng)式定理展開(kāi)式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等來(lái)解決.等式左邊僅有五次方項(xiàng)，所以可以首先找出等式右邊的這一項(xiàng)（其余的次數(shù)的項(xiàng)系數(shù)都為零），兩者相等從而可以得到答案.

解析：（法一）由等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得：

（法二）對(duì)等式：f（x）=x5=a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+…+a5（1+x）5，兩邊連續(xù)對(duì)x求導(dǎo)三次得：60x2=6a3+24a4（1+x）+60a5（1+x）2，再運(yùn)用賦值法，令x=-1得：60=6a3，即a3=10.

小結(jié)：求二項(xiàng)展開(kāi)式中某一特定項(xiàng)的系數(shù)，我們常用通項(xiàng)公式法，待定系數(shù)法、對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等來(lái)加以解決，不過(guò)在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)注意不要遺漏情況，考慮問(wèn)題一定要全面.

練習(xí)：（2012年精選模擬）在（1-x）5+（1-x）6+（1-x）7+（1-x）8的展開(kāi)式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是（ ）.

A.74 B.121 C.-74 D.-121

本文利用今年的高考試題對(duì)有關(guān)二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式的問(wèn)題進(jìn)行了總結(jié)，旨在強(qiáng)化同學(xué)們解決此類(lèi)問(wèn)題的方向性，避免盲目性，從而提高解題能力.