回歸教材做什么

●吳國建 (東陽中學(xué) 浙江東陽 322100)

到了高考復(fù)習(xí)的最后階段，也就是自主復(fù)習(xí)階段，教師們都會提醒學(xué)生復(fù)習(xí)要回歸教材，即通過對教材的重新閱讀與理解，為高考的有效增分作最后的努力.但是，如何回歸教材，回歸教材做什么，卻是一個需要思考的問題.筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)最后階段的回歸教材必須做好以下4個方面.

1 理清知識網(wǎng)絡(luò)

圖1 立體幾何知識網(wǎng)絡(luò)圖

新課改的實(shí)施，首先變化的是教材的編寫體系.數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)不是一步到位，而是充分體現(xiàn)出新課程“螺旋上升”的理念，這就要求教師在復(fù)習(xí)教學(xué)中幫助學(xué)生理清教材各獨(dú)立板塊內(nèi)容的知識網(wǎng)絡(luò)，建立知識結(jié)構(gòu)體系.尤其到了復(fù)習(xí)最后階段，知識的系統(tǒng)性、網(wǎng)絡(luò)化對于命題者所青睞的主干知識和知識交叉點(diǎn)的把握顯得更為重要.以立體幾何為例，空間幾何體中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系和空間直角坐標(biāo)等知識分布在必修2的第1、第2、第4章和選修2-1的第3章，涉及的內(nèi)容、定理、性質(zhì)和結(jié)論眾多.如圖1所示，通過回歸教材構(gòu)建一個清晰的立體幾何知識網(wǎng)絡(luò)，可以讓人一目了然.立體幾何知識網(wǎng)絡(luò)可以概括為：平行垂直角距離，柱錐臺球面體積，想象推理加計算，垂直關(guān)系是主題.第1句概述了立體幾何的主要內(nèi)容;第2句突出了主要的空間幾何體;第3句說明了立體幾何學(xué)習(xí)的主要思想方法;第4句闡述了垂直關(guān)系在立體幾何學(xué)習(xí)中的重要性.

回歸教材，通過橫向聯(lián)系縱向深入，通過組合類比，溝通知識，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)，實(shí)現(xiàn)教材知識由“厚”到“薄”、由“散亂”到“有序”的轉(zhuǎn)化，可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識“螺旋式上升”的理解，明確考查的知識內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)注“知識交叉點(diǎn)”，從而提高復(fù)習(xí)效率.

2 重溫例題和習(xí)題

前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家奧加涅相說過“很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其教學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可能性……”.課本中的例題和習(xí)題不僅是教師施教、學(xué)生學(xué)習(xí)的主要材料，也是高考命題的重要依據(jù).近幾年的浙江省數(shù)學(xué)高考命題充分體現(xiàn)了“試題源于教材，略高于教材”的特點(diǎn).許多試題在設(shè)計時有意識地將教材中的例題、習(xí)題進(jìn)行了移植與改編，如2011年浙江省數(shù)學(xué)高考文理科第4題：

例1 下列命題中錯誤的是：

A.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β.

B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β.

C.如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β =l，那么 l⊥平面 γ.

D.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β.

此題直接移植于人教A版必修2第2章2.3.4節(jié)練習(xí)題.又如2011年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第5題也從人教A版必修5教材中的線性規(guī)劃例題改編而成，給人以“題在書外，根在其中”的感覺.

也有一些試題，表面上看并不來源于課本，但稍加分析轉(zhuǎn)化或者將條件逐一分解，可以發(fā)現(xiàn)其核心內(nèi)容全都來自于教材.如2010年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第22題的第(2)小題：

例2 設(shè)x1，x2，x3是f(x)的3個極值點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù) b，可找到 x4∈R，使得 x1，x2，x3，x4的某種排列 xi1，xi2，xi3，xi4(其中{i1，i2，i3，i4}={1，2，3，4})依次成等差數(shù)列?若存在，求所有的b及相應(yīng)的x4;若不存在，請說明理由.

問題經(jīng)過分析后可轉(zhuǎn)化為：已知3個數(shù)，再插入1個數(shù)，使4個數(shù)成等差數(shù)列.進(jìn)一步分析，這樣的情況有且只有以下4種：然后逐一進(jìn)行討論就可以解決了.

值得一提的是，近2年一些省份出現(xiàn)了直接來自于教材的高考題，如2011年陜西省數(shù)學(xué)高考文理卷第18題：敘述并證明余弦定理;2010年四川省數(shù)學(xué)高考的第19題：

例3 (1)證明兩角和的余弦公式 C(α+β)：

(2)由 C(α+β)推導(dǎo)兩角和的正弦公式 S(α+β)：

在“高考資料滿天飛、教輔用書代教材”的今天，這些試題的出現(xiàn)，起到了很好的導(dǎo)向作用，在復(fù)習(xí)教學(xué)中應(yīng)引起高度重視.回歸教材，重溫例題、習(xí)題，并不是去猜題、押題，而是通過發(fā)掘教材例題、習(xí)題潛在的教育教學(xué)功能，最大化地體現(xiàn)數(shù)學(xué)教材在高考復(fù)習(xí)中的重要地位，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，真正體現(xiàn)高考對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)正確的導(dǎo)向作用.

3 領(lǐng)悟思想方法

數(shù)學(xué)考試是通過解題的方式展現(xiàn)學(xué)生的知識水平，反映學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解程度，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和方法的掌握與運(yùn)用能力.《浙江省普通高考考試說明》指出：數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，注重對數(shù)學(xué)思想和方法的考查，注重對數(shù)學(xué)能力的考查.函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想每年必考，?？汲Ｐ?配方法、換元法、遞推法、定義法、反證法、等積法、向量法、參數(shù)法等解題方法屢有出現(xiàn)，各有千秋，這些數(shù)學(xué)思想和解題方法都蘊(yùn)含于教材中.以人教A版必修5第2章“數(shù)列”為例，主要的解題方法有：

(1)基本量法：在解等差數(shù)列(或等比數(shù)列)問題時，可以把求問題中的其他量轉(zhuǎn)化為求基本量a1和d(或q)，使求解的數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為求關(guān)于a1和d(或q)的等式或不等式問題.

(2)知三求二法：在等差數(shù)列(或等比數(shù)列)的研究中，常常會涉及到的 5 個相關(guān)量 a1，an，n，Sn，d(或q)之間有一些運(yùn)算公式，已知其中3個量就可以求出另外2個量.

(4)歸納猜想證明法：教材中根據(jù)數(shù)列前幾項(xiàng)寫出通項(xiàng)公式的例子和習(xí)題體現(xiàn)了遞推和歸納的方法，這樣得到的通項(xiàng)公式可以用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

(5)倒序相加法：對于一個有限項(xiàng)數(shù)列，若具備“凡與首末2項(xiàng)等距離的任意2項(xiàng)之和總等于同一個常數(shù)”的特點(diǎn)，則此數(shù)列的求和可用倒序相加法，這種方法運(yùn)用了“對稱性”的解題思路，展現(xiàn)了“求齊”的思想，可以避免因項(xiàng)數(shù)奇偶問題引起的討論，教材中等差數(shù)列的求和公式就是這樣推導(dǎo)的.

(6)錯位相減法：教材中等比數(shù)列前n項(xiàng)和的運(yùn)算是通過錯位相減法實(shí)現(xiàn)的，這種方法普遍適用于“由等差數(shù)列和等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)相乘而生成的新數(shù)列”，即如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，則數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和可以通過“乘公比錯位相減”求得.

(7)函數(shù)法：由于數(shù)列可以看作以正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})為定義域的函數(shù)an=f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一系列函數(shù)值，因此許多數(shù)列問題可以用函數(shù)的方法來處理.通過函數(shù)圖像與性質(zhì)的研究來解決數(shù)列問題，這就是函數(shù)法.教材“等差數(shù)列前n項(xiàng)的和”一節(jié)中的探究與課本例題都體現(xiàn)了這種方法.

(8)裂項(xiàng)相消法：教材通過一個研究性問題展現(xiàn)了裂項(xiàng)相消的求和技巧：研究一下，能否找到求Sn的一個公式.你能對這個問題作一些推廣嗎(習(xí)題2.3)?

因此，回歸數(shù)學(xué)教材，不是僅從認(rèn)知的角度熟悉教材，不能僅停留在表面重復(fù)“昨天的故事”，而是要從理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度審視教材，從知識綜合運(yùn)用的角度拓寬教材，從升華思想方法的角度用活教材，只有這樣，才能使數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)事半功倍.

4 關(guān)注細(xì)節(jié)規(guī)范

高考是一場全方位的競爭，比拼的不僅是知識的掌握程度和運(yùn)用能力，還有心理、習(xí)慣等綜合素質(zhì).高三復(fù)習(xí)教學(xué)和考試訓(xùn)練中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生會產(chǎn)生“會而不對、對而不全”的現(xiàn)象，這主要是與平時的思維習(xí)慣、解題規(guī)范甚至與心理品質(zhì)有關(guān).其實(shí)教材中有許多細(xì)節(jié)，對培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣、提升心理品質(zhì)很有幫助，這就要求回歸教材時重點(diǎn)關(guān)注這些細(xì)節(jié)，充分發(fā)揮這些細(xì)節(jié)的教學(xué)功能，努力達(dá)到有效增分的復(fù)習(xí)目的.以下是教材中解析幾何部分一些值得關(guān)注的細(xì)節(jié)，其中有些內(nèi)容是教材直接呈現(xiàn)的，有些內(nèi)容蘊(yùn)含在例題、習(xí)題中，有些內(nèi)容相對集中，有些內(nèi)容比較分散，回顧教材時需要?dú)w納整理.

(1)傾斜角的范圍，特別要注意傾斜角為90°時，直線的斜率不存在;直線的5種方程形式(點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式)各自有自己的適用范圍以及特殊直線的方程;截距可正可負(fù)也可以為0;2個坐標(biāo)軸上截距相等當(dāng)且僅當(dāng)直線的斜率為-1或過原點(diǎn);到2個點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)等距離的直線可以平行于直線AB，也可以過AB中點(diǎn);2條直線的位置關(guān)系判別應(yīng)當(dāng)注意斜率不存在的特殊直線方程.

(2)解析幾何中的對稱問題(中心對稱和軸對稱)，通?？捎么敕ń鉀Q.當(dāng)對稱軸方程形如y=±x+b時可直接代入，當(dāng)斜率不為±1時需要通過中垂線的性質(zhì)進(jìn)行代入.

(3)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件;已知圓的一條直徑的 2個端點(diǎn) A(x1，y1)，B(x2，y2)的圓的方程為

當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)位置不同時，方程

有不同含義;過圓外一點(diǎn)作圓的切線一定有2條，注意其中一條斜率可能不存在;2個圓相交時相交弦(根軸)所在直線的方程.

(4)平面上到2個定點(diǎn)的距離之和(或差的絕對值)等于定長的點(diǎn)的軌跡的不一定是橢圓(或雙曲線);離心率在圖形中的表示;如何根據(jù)雙曲線方程求漸近線和如何根據(jù)漸近線假設(shè)雙曲線，漸近線的夾角范圍，等軸雙曲線;形如y=ax2的拋物線的焦點(diǎn)確定.

(5)與圓錐曲線只有一個交點(diǎn)的直線與切線的區(qū)別與聯(lián)系;已知過x軸上一點(diǎn)A(x0，0)，假設(shè)直線y=k(x-x0)還是x=my+x0要視不同情況而定.

另外，回歸教材也是學(xué)習(xí)解題過程、培養(yǎng)解題規(guī)范的一個有效手段.筆者在高考閱卷中發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生因答題不規(guī)范而造成的丟分現(xiàn)象屢見不鮮.如概念符號的書寫不正確、結(jié)論表達(dá)不準(zhǔn)確、證明推理不嚴(yán)密、分類討論不完全、條件轉(zhuǎn)化不等價、幾何作圖不合理、解題過程不流暢、卷面表達(dá)不清楚等，這樣的丟分是十分可惜的.回歸教材，就是要充分發(fā)揮教材的示范作用，引導(dǎo)學(xué)生掌握3種數(shù)學(xué)語言(文字語言、符號語言、圖形語言)的準(zhǔn)確表述，學(xué)習(xí)推理計算過程的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，追求答題書面表達(dá)的清楚規(guī)范，從而達(dá)成“關(guān)注細(xì)節(jié)多得分、注意規(guī)范少丟分”的目標(biāo).

［1］ 浙江省高考命題咨詢委員會.2010年浙江省高考命題解析(數(shù)學(xué))［M］.杭州：浙江攝影出版社，2010.

［2］ 浙江省高考命題咨詢委員會.2011年浙江省高考命題解析(數(shù)學(xué))［M］.杭州：浙江攝影出版社，2011.

［3］ 虞濤.高中數(shù)學(xué)課本中的基本解題方法［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2007.