一道中考壓軸題的磨制過程

●楊一麗 (寧波市教育局教研室 浙江寧波 315000) ●樊貞慧 (寧波市第七中學(xué) 浙江寧波 315000)

筆者多次組織并參加了寧波市數(shù)學(xué)中考試題的命制，深刻體會到一份優(yōu)秀試卷的形成凝聚了所有命題組教師的心血，而壓軸題的命制又是試卷命制的核心.本文以2010年寧波市數(shù)學(xué)中考壓軸題的磨制過程為例談?wù)勗囶}的命制歷程，希望能給大家?guī)硪稽c啟示.

1 創(chuàng)作來源

圖1

(1)請直接寫出點C，F(xiàn)的坐標(biāo).

(2)求直線EF的解析式.

(3)將△OEF沿邊OE所在直線翻折，點F能否與點G重合，請說明理由.

思考 本題包含一次函數(shù)、二次函數(shù)、圖形變換、三角形全等、運動過程、分類、數(shù)形結(jié)合等相關(guān)知識點和核心思想方法，綜合性強.然而，本題有下列缺點：原二次函數(shù)在后續(xù)問題中未使用，各問題間遞進關(guān)系不明顯，第(4)小題求出S關(guān)于t的關(guān)系式后不再使用，給人以意猶未盡的感覺.

2 粗磨階段

針對原題的缺點，命題組分別提出了4種改進方案.

原題 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點D在y軸上.已知∠DAB=60°，OA=2，拋物

方案1 不改變題目，增加一問，考查與拋物線有聯(lián)系的平移、旋轉(zhuǎn)問題.

(5)若將△OEF繞著點 O順時針旋轉(zhuǎn) α°(0＜α＜180)，當(dāng)△OEF的一邊與菱形ABCD的一邊垂直時，請直接寫出直線OF與拋物線的交點坐標(biāo)(除原點外).

思考 方案1雖然使得拋物線后續(xù)使用的問題得到解決，但其主要缺點為：題量增加后難度增加，第(5)小題與前面各小題缺少遞進關(guān)系，有拼湊痕跡，因此本方案被否決.

方案2 對第(4)小題補充與拋物線相關(guān)的問題.

①求S關(guān)于平移時間t的函數(shù)關(guān)系式;

②直接寫出當(dāng)重疊部分與△OEF相似時，直線OF與拋物線對稱軸交點的縱坐標(biāo)h的范圍.

思考 方案2內(nèi)容豐富了，且拋物線后續(xù)使用的問題也得到解決，但第(3)小題第②問的引出不夠自然，依然有拼湊痕跡.因此決定在保留原圖形模型條件下，另起爐灶，與其他核心知識方法結(jié)合，修改問題，于是又提出了以下的方案.

方案3 題目保留圖形模型，問題選擇從“三角形全等”入手，涉及“三角函數(shù)”等相關(guān)核心知識.原題變?yōu)椋?/p>

如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，菱形ABCD的邊長為4，邊AB在x軸上，OD =，OA=2.E為AD的中點，過點E的直線l與菱形ABCD的邊CD所在直線交于點G，與x軸交于點F，聯(lián)結(jié) OE.

(1)求證：點D在y軸上.

(2)直接寫出點C的坐標(biāo)和∠DAB的度數(shù).

(3)把△OEF沿OE所在直線翻折，點F落在點 F'上.

①點F的坐標(biāo)為(-4，0)時，求出直線l的解析式，并判斷F'，G是否重合，請說明理由;

②當(dāng)∠GEF'=30°時，求線段AF的長;

③如圖3，能否以點E，F(xiàn)'，G為頂點構(gòu)成直角三角形?如果能，直接寫出點F的坐標(biāo).

圖2 圖3

在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，菱形ABCD的邊長為4，邊AB在x軸上，OD =，OA=2.E為AD的中點，過點E的直線l與菱形ABCD的邊CD所在直線交于點G，與x軸交于點F，聯(lián)結(jié)OE.

(1)求證：點D在y軸上.

(2)直接寫出點C的坐標(biāo)和∠DAB的度數(shù).

(3)把△OEF沿OE所在直線翻折，點F落在點F'上.當(dāng)直線EF'與直線CD有交點時，記交點為H，如圖4所示.

①點F的坐標(biāo)為(-4，0)時，求出直線l的解析式，并判斷點F'，G是否重合，請說明理由;

②如圖5，當(dāng)點G與點C重合時，求DH的長;

思考 方案3增加了核心知識、核心方法的覆蓋量，但題設(shè)條件顯示不足，需要借助圖形以定位圖形中各點的位置.最后一問難度不夠，不足以區(qū)分學(xué)生的程度.最終命題組提出了以下方案：

方案4 題目保留圖形模型，問題選擇從“三角形相似”入手.原題變?yōu)椋?/p>

圖4 圖5

思考 方案4的立意明顯高于前面幾個方案，且跳出了命題思維的局限性，視野變得寬廣，特別是最后一問在思維層次上有了較大的提升，突出對學(xué)生探究能力、創(chuàng)新能力的考查，體現(xiàn)了壓軸題的效度.盡管如此，方案4還存在2點不足：題設(shè)條件不足，需要借助圖形以定位圖形中各點的位置;第(3)小題的前2問設(shè)置內(nèi)涵欠缺，有待改進.

3 細磨階段

3.1 方案4的修改稿(一)

原題變?yōu)椋涸谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，菱形ABCD的邊AB在x軸上，頂點A，D的坐標(biāo)分別為(-2，0)，(0，2)，點E為邊AD的中點，過點E的直線l與菱形ABCD的邊CD所在直線交于點G，與x軸交于點F，聯(lián)結(jié)OE.

(1)求菱形ABCD的邊長和∠DAB的度數(shù).

(2)把△OEF沿OE所在直線翻折得△OEF'，當(dāng)直線EF'與直線CD有交點時，記交點為H，如圖4所示.

①點F的坐標(biāo)為(-4，0)時，求出直線l的解析式，并判斷點F'是否線段CD的中點，請說明理由;

②如圖 5，當(dāng)點 G與點 C重合時，求證：△DHE∽△DEC，并求DH的長;

思考 如此改變，使條件的設(shè)置到位，修正了“需借助圖形以定位圖形中各點的位置”的不足.但第(2)小題的第①問與第(2)小題的條件沒有直接聯(lián)系;問題數(shù)量太多，需刪除部分問題;在不影響題目內(nèi)涵的前提下，減少第(2)小題第③問答案個數(shù)，以擺脫繁瑣的討論.因此，想到把點F規(guī)定在點A的左側(cè)，這樣符合條件的點F就減少為2個了.

3.2 方案4的修改稿(二)

原題變?yōu)椋涸谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，菱形ABCD的邊AB在x軸上，頂點A，D的坐標(biāo)分別為(-2，0)，(0，2)，點E為邊AD的中點，過點E的直線l與菱形ABCD的邊CD所在直線交于點G，與x軸交于點F，聯(lián)結(jié)OE.

(1)求∠DAB的度數(shù).

(2)當(dāng)點F的坐標(biāo)為(-4，0)時，求點G的坐標(biāo).

(3)把△OEF沿OE所在直線翻折得△OEF'，當(dāng)直線EF'與直線CD有交點時，記交點為H，如圖4所示.

①求證：△DHE∽△DEC;

思考 第(3)小題條件中的“如圖4”含義有含糊的地方，對第(3)小題第②問中分類考慮的2種情況有爭議，于是將“直線EF'與直線CD有交點H”改為“直線EF'與線段CD的交點為H”.

3.3 方案4的修改稿(三)

原題變?yōu)椋涸谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，菱形ABCD的邊AB在x軸上，頂點A的坐標(biāo)為(-2，0)，點D的坐標(biāo)為(0，2)，點E為線段AD的中點，聯(lián)結(jié)OE，過點E的直線l與CD所在直線交于點G，與x軸交于點F.

(1)求∠DAB的度數(shù).

(2)當(dāng)點F的坐標(biāo)為(-4，0)時，求點G的坐標(biāo).

(3)以O(shè)E所在直線為對稱軸，△OEF經(jīng)軸對稱變換后得到△OEF'.如圖4，記直線EF'與線段CD的交點為H.

①求證：△DHE∽△DEG.

思考 當(dāng)問題修改到此，原菱形中的邊長信息已不再需要，于是把菱形改為平行四邊形.為保證結(jié)果中2種分類情況，只需把“直線DC”改為“射線DC”即可.

4 定型階段

經(jīng)過以上磨制，最終確定考題如下：

在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，?ABCD的頂點 A的坐標(biāo)為(-2，0)，點 D的坐標(biāo)為(0，2)，點B在x軸的正半軸上，點E為線段AD的中點，過點E的直線l與x軸交于點F，與射線DC交于點G.

(1)求∠DCB的度數(shù).

(2)當(dāng)點F的坐標(biāo)為(-4，0)時，求點G的坐標(biāo).

(3)聯(lián)結(jié) OE，以 OE所在直線為對稱軸，△OEF經(jīng)軸對稱變換后得到△OEF'，記直線EF'與射線DC的交點為H.

①如圖4，當(dāng)點 G在點 H的左側(cè)時，求證：△DEG∽△DHE;

思考 一道亮麗的壓軸題終于新鮮出爐，本題重點考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形的相似和全等、圖形的對稱、面積、坐標(biāo)等核心知識，涉及了方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想，并且利用對稱巧妙地將代數(shù)與幾何結(jié)合起來，充分體現(xiàn)了新課程的理念.各小題梯度明顯，第(3)小題為一些優(yōu)秀學(xué)生提供了展示的舞臺，解決問題的關(guān)鍵是在圖形的變化中發(fā)現(xiàn)角與角之間的關(guān)系、線段與線段之間的關(guān)系，要認清問題的實質(zhì)就要求學(xué)生具有完整的知識儲備和較高的思維能力.

5 原問題的突破與反思

實際考題中已經(jīng)降低了第(3)小題第②問的分類次數(shù)，再深入思考，題目條件中除了平行的條件外，平行四邊形本身并不是必要的.去除這些因素，原題可變?yōu)橄旅娓硐氲男问?為便于與考題比較，以下不考慮字母順序)：

如圖6，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，點A的坐標(biāo)為(-2，0)，點D的坐標(biāo)為(0，2)，直線DC∥x軸，點E為線段AD的中點，過點E的直線l與x軸交于點F，與直線DC交于點G.

(1)求∠DAO的度數(shù).

(2)當(dāng)點F的坐標(biāo)為(-4，0)時，求點G的坐標(biāo).

(3)聯(lián)結(jié) OE，以 OE所在直線為對稱軸，△OEF經(jīng)軸對稱變換后得到△OEF'，記直線EF'與直線DC的交點為H.

①如圖7，當(dāng)點 G在點 H的左側(cè)時，求證：△DEG∽△DHE;

圖6 圖7

通過以上編制過程可知，命題時不僅要從知識、能力、思想方法層面考慮題目的綜合性、新穎性、深刻性，同時要符合數(shù)學(xué)內(nèi)在的規(guī)范性、科學(xué)性、嚴謹性，也要兼顧圖形的美感等呈現(xiàn)形式.復(fù)習(xí)資料中的習(xí)題往往難度較大、結(jié)構(gòu)混亂，問題的類型和情景的設(shè)置單一，從而增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)負擔(dān)，使學(xué)生的思維能力、學(xué)習(xí)熱情及態(tài)度、價值觀得不到較好地培養(yǎng).因此，編制出好的習(xí)題，通過對習(xí)題的剖析，有效地培養(yǎng)學(xué)生對知識的理解、運用和遷移能力尤顯重要.唯有命制出好題，才能提高教學(xué)效率，從本源上減輕學(xué)生負擔(dān).但是，會解題的不一定會編題，編題的過程不僅是一個解題的過程，更主要的是把解題引向深入的研究過程，是從一個簡單的問題出發(fā)，逐步演繹深化的過程，是探究創(chuàng)新的過程.一般來說，數(shù)學(xué)問題的演變需要深厚的數(shù)學(xué)功底、良好的思維素質(zhì)、熟練的編題技巧.這就需要全體教師的共同努力!