為“數(shù)”配“形” 凸顯數(shù)學思想

●盧 明 (元濟高級中學 浙江海鹽 314300)

1 問題的提出

在高中數(shù)學中，許多問題單純用“數(shù)”的方法去解決較繁瑣，若能從“形”著手，則會事半功倍.這就是數(shù)形結合思想在解決實際問題時的經典運用，其核心就是為“數(shù)”配“形”.需要指出的是，為“數(shù)”配上什么樣的“形”，是運用數(shù)形結合思想解決實際問題時的一大難點.那么，有沒有規(guī)律可尋呢?本文將對此作一些探索，以拋磚引玉.

2 利用常見函數(shù)模型構圖

例1 設函數(shù)f(x)=(x-a)2lnx，a∈R.

(1)若x=e為y=f(x)的極值點，求實數(shù)a的值;

(2)求實數(shù)a的取值范圍，使得對任意的x∈(0，3e］，恒有 f(x)≤4e2成立.

(2011年浙江省數(shù)學高考理科試題)

下面僅對本題第(2)小題進行分析.

分析當 x=a∈(0，3e］時，f(x)=(xa)2lnx≤4e2顯然成立.

圖1 圖2

①若 a=3e，則

即函數(shù)g(x)與h(x)的圖像有公共點(e，1).又因

由圖2知，在(0，3e］上 g(x)的圖像是上凸且遞增的，h(x)的圖像是下凸且遞增的.因此，對任意的 x∈(a，3e］恒有 g(x)≤h(x)，即 f(x)≤4e2.

圖3 圖4

③若 a ＞3e，則由①知，在區(qū)間(0，3e)上，g(x)與h(x)的圖像有交點，故不滿足對任意的x∈(0，3e)恒有g(x)＜h(x)，如圖4所示.

能用為“數(shù)”配“形”思想來解的題目一般有2種情況：一種圖形是顯現(xiàn)的，例如“已知直線y=k(x-3)與圓x2+y2=1有公共點，求實數(shù)k的取值范圍”，解題時可以直接畫出直線和圓的圖形;另一種圖形是需要通過等價變形來構造的，不同的構造方法可以得到不同的圖形，如本文例1.

3 挖掘“數(shù)”的幾何背景

圖5 圖6

變式1 函數(shù)的值域是________.

點評例2與變式1的差別在于：例2中的動點P(x，y)所在的曲線是顯然的，即在函數(shù)f(x)=log2(x+1)的圖像上，而變式1中的動點P(x，y)所在的曲線不是一目了然的，需要通過換元、變形，才能將曲線的形狀顯現(xiàn)出來.

點評變式2經過換元得到單位圓的參數(shù)方程.若將sinx或cosx的系數(shù)作適當改變，則換元后得到橢圓的參數(shù)方程，變式2可以用類似的方法來處理，不過求切線斜率的難度會高一些.

4 轉化為曲線的位置關系

例3 不等式x2-2x＜logax-1對任意x∈(1，2)恒成立，則 a 的取值范圍是 .

圖7 圖8

分析將不等式變形為(x-1)2＜logax，此不等式左邊表示拋物線y=(x-1)2，右邊是對數(shù)函數(shù)y=logax的圖像.于是，原命題等價于在區(qū)間(1，2)內，對數(shù)函數(shù)的圖像恒在拋物線的上方，如圖7所示.因此，只要滿足loga2≥1即可，從而1＜a≤2.

變式1 函數(shù) f(x)=-x2+2，g(x)=|x-m|，若存在 x0∈(0，+∞)使得 f(x0)≥g(x0)成立，則m的取值范圍是 ( )

分析本題是一個存在性問題，函數(shù)f(x)，g(x)的圖像很容易畫出.函數(shù)g(x)=|x-m|的圖像為2條關于x=m對稱的射線，其方程分別為y=-x+m和y=x-m(y≥0).

當直線 y=x-m 過點 B(0，2)時，m=-2，這是圖像的另一個極端位置.當m≤-2時，不存在x0∈(0，+∞)滿足 f(x0)≥g(x0)，故 m ＞ -2.

點評不等式問題，從“形”的角度去考慮，等價于不等式2邊所對應的圖像的位置關系.

圖9 圖10

點評方程的根等于2個函數(shù)圖像的交點的橫坐標.因此，討論根的個數(shù)問題從“形”的角度去思考，就等價于討論2個圖像的交點個數(shù)問題.

5 利用向量加法的幾何意義構圖

例4 若非零向量a，b，滿足|a+b|=|b|，則( )

A.|2a|＞ |2a+b| B.|2a|＜ |2a+b|C.|2b|＞ |2a+b| D.|2b|＜ |2a+b|

(2007年浙江省數(shù)學高考理科試題)

分析本題用代數(shù)方法解非常困難.若能用向量加法運算的三角形法則來構圖，則問題可以變得非常直觀而簡單.

由條件得和向量a+b與向量b的模相等，但夾角不定.由于本題是選擇題，可以取特殊角，并結合排除法.讓(a+b)⊥b，構造等腰直角△OAB，如圖10 所示，其中|OA|=|b|，|AB|=|a|，|OB|=|a+b|.在鈍角△OAC中，

|AC|=2|a|，|OC|=|2a+b|.

顯然鈍角∠AOC所對的邊AC最長，故有|2a|＞|2a+b|.排除選項 B，C，D，故選 A.

例5 已知平面向量 α，β(α≠0，α≠β)滿足|β|=1，且α與β -α的夾角為120°，則|α|的取值范圍是_______.

分析由條件知β是單位向量，故其終點可以在單位圓上.又 α與 β-α的夾角為120°(定值)，根據向量運算的三角形法可以構造△OAB，讓AB=β-α，如圖11所示.

圖11 圖12

點評向量加法運算的幾何意義可用平行四邊形法則和三角形法則來刻畫，向量的模問題常與圓建立聯(lián)系，這些都是向量問題構造圖形的依據.

為“數(shù)”配“形”是一種重要的數(shù)學思想，它常與等價轉換、分類討論、函數(shù)與方程等數(shù)學思想有機地結合在一起.在為“數(shù)”配“形”時，還經常會用到換元法、構造法和極端原理等重要的數(shù)學方法.因此，筆者認為：有意識地對學生進行為“數(shù)”配“形”思想的教學和訓練，有利于培養(yǎng)學生創(chuàng)造性意識和創(chuàng)新能力.