例談從二次函數(shù)中培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維

●駱銀海 (牌頭中學(xué) 浙江諸暨 311825)

數(shù)學(xué)思維可以分為邏輯思維和直覺(jué)思維，邏輯思維用于證明，直覺(jué)思維用于發(fā)明.新課標(biāo)十分強(qiáng)調(diào)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，直覺(jué)思維是數(shù)學(xué)創(chuàng)造與創(chuàng)新的基礎(chǔ).因此，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺(jué)思維至關(guān)重要.從解題教學(xué)來(lái)看，數(shù)學(xué)直覺(jué)思維也可理解為一看到題目時(shí)的題感，題感在一定程度上是可以后天培養(yǎng)的，每個(gè)人的數(shù)學(xué)直覺(jué)通過(guò)訓(xùn)練可以不斷提高.

二次函數(shù)作為中學(xué)生應(yīng)用最廣泛的初等函數(shù)，也是最簡(jiǎn)單的非線(xiàn)性函數(shù)，具有許多優(yōu)美的性質(zhì)，是數(shù)學(xué)命題者感興趣的考點(diǎn)之一.試題中背景設(shè)計(jì)之精巧、過(guò)程之流利、答案之美妙常引起師生的共鳴.筆者有幸參與了諸暨市說(shuō)題展示和浙江省數(shù)學(xué)教師教學(xué)能力評(píng)比與觀摩活動(dòng)，頗有體會(huì)：在解決二次函數(shù)問(wèn)題中可大力培養(yǎng)學(xué)生的直覺(jué)思維，也就是說(shuō)增強(qiáng)學(xué)生的題感，迅速獲得接近正確答案的思路和方法.現(xiàn)舉例如下：

例1 已知函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|，若x2＞x1＞1且f(x1)=f(x2)，求x1+x2的取值范圍.

反思 本題是諸暨市高三數(shù)學(xué)二?？荚囋囶}，正確率不高，有些同學(xué)做了很長(zhǎng)時(shí)間也沒(méi)做對(duì)，有些同學(xué)一拿到題目，題感較好，馬上想到：是否存在2個(gè)極端位置，很快就有了答案.可見(jiàn)，數(shù)學(xué)直覺(jué)思維活動(dòng)在時(shí)間上表現(xiàn)為快速性，在過(guò)程上表現(xiàn)為跳躍性，在形式上表現(xiàn)為簡(jiǎn)約性，簡(jiǎn)約美體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì).直覺(jué)思維是一瞬間的思維火花，是長(zhǎng)期積累的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過(guò)程的高度簡(jiǎn)化.

圖1 圖2

不僅僅在二次函數(shù)背景中可考慮直覺(jué)思維，類(lèi)似地，在對(duì)數(shù)函數(shù)背景中也如出一轍.

2010年全國(guó)數(shù)學(xué)高考理科試題第10題是這樣設(shè)計(jì)的：

例2 已知函數(shù)F(x)=|lgx|，若0＜a＜b，且f(a)=f(b)，則a+2b的取值范圍是 ( )

直覺(jué)思維培養(yǎng) 顯然a+2b→+∞.若能考慮到a+2b的最小值是當(dāng)f(a)=f(b)→0時(shí)取到，再結(jié)合簡(jiǎn)單的證明，那解題就變得既快又準(zhǔn)，可以體會(huì)到直覺(jué)思維帶來(lái)的好處.

例3 設(shè)t為常數(shù)，函數(shù)f(x)=|x2-2x-t|在區(qū)間［0，3］上的最大值為2，求 t的值.

(2008年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題)

分析由函數(shù)g(x)=x2-2x-t的對(duì)稱(chēng)軸是x=1且 g(0)=g(2)=-t，可得 f(0)=f(2).分析可知，f(x)在區(qū)間［0，3］上的最大值是f(1)或f(3).

若 f(1)≥f(3)，則

從而當(dāng)t≥1時(shí)，-(-1-t)=2，解得t=1;若 f(3)≥f(1)，則

從而當(dāng) t≤1 時(shí)，|3-t|=2，解得 t=1.

綜上所述，t=1.

直覺(jué)思維培養(yǎng) 本題是在二次函數(shù)的基礎(chǔ)上加了絕對(duì)值函數(shù)，-t實(shí)質(zhì)是函數(shù)x2-2x的上下平移.結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)fmax(x)=max{端點(diǎn)值，極值}，由于對(duì)稱(chēng)軸x=1在已知的區(qū)間內(nèi)，因此翻折后無(wú)論產(chǎn)生怎么樣的形狀，f(x)取到的最大值一定產(chǎn)生于端點(diǎn)值f(0)，f(3)及極值f(1)中，即

圖3

如圖3，當(dāng)f(x)=2時(shí)，由直覺(jué)思維知，t=1滿(mǎn)足題意.

反思 直覺(jué)思維是基于研究對(duì)象的整體把握，不專(zhuān)于細(xì)節(jié)的推敲，是思維的大手筆，從而使認(rèn)知結(jié)構(gòu)向外擴(kuò)展，因此直覺(jué)思維具有反常規(guī)的獨(dú)創(chuàng)性.

例4 已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c，a∈N*，c≥1，a+b=c≥1 且方程 ax2+bx+c=0 有2個(gè)小于1的不等正根，求a的最小值.

解法1 如圖4，由根的分布知

由b2-4ac＞0得

圖4 圖5

解法2 如圖5，由題意設(shè)

反思 數(shù)學(xué)直覺(jué)思維的表現(xiàn)形式是以已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和技能為基礎(chǔ)，通過(guò)觀察、聯(lián)想、類(lèi)比、歸納、猜測(cè)之后，對(duì)研究對(duì)象作出較迅速直接的判斷，它不受固定的邏輯約束，能以高度省略、簡(jiǎn)化和濃縮的方式洞察數(shù)學(xué)關(guān)系，能快速解決有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題.

直覺(jué)思維對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力相當(dāng)重要，而二次函數(shù)又是非常好的訓(xùn)練背景，平時(shí)教師要強(qiáng)調(diào)：直覺(jué)思維雖具有創(chuàng)造精神，但由直覺(jué)思維得到的猜想需要經(jīng)過(guò)邏輯方法加以驗(yàn)證、猜想或被證明、被推翻.此外，直覺(jué)思維能力的形成是一個(gè)漸進(jìn)的過(guò)程，不能操之過(guò)急.學(xué)生的猜想錯(cuò)誤后，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生重新猜想.總之，只要長(zhǎng)期堅(jiān)持訓(xùn)練，學(xué)生的直覺(jué)思維能力就能不斷得到提高，同時(shí)學(xué)生敏捷的思維和較強(qiáng)的知識(shí)綜合運(yùn)用能力得到逐步培養(yǎng).這不僅有利于智力開(kāi)發(fā)，更有利于邏輯思維的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)能力的提高.

［1］ 沈志明.二次函數(shù)的另類(lèi)最值求法及其引申［J］.中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2010(5)：15-16.

［2］ 胡耀宇.抓住圖象就抓住了二次函數(shù)的關(guān)鍵［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2006(9)：20-21.

［3］ 唐恒鈞.案例的視角：幾何實(shí)驗(yàn)與幾何證明［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2005(4)：16-17.